曹鴻泰，黃汝霖，姚纓英

(浙江大學電氣工程學院，浙江杭州310027)

0 引言

磁滯回線是描繪鐵磁性材料磁化性質的重要曲線，也是制造、選擇鐵磁材料的重要依據(jù)，在工程領域有著重要的應用。測量磁滯回線的方法包括霍爾法等直接測量法和RC 積分法等間接測量法。

目前學者對磁滯回線測量已經有一些研究，主要成果有:使用特斯拉計的磁滯回線測量［1-2］，采用反相積分器［3-4］或鎖相放大器［5］等運放電路測量磁滯回線，采用電容積分法PSpice 仿真非線性磁芯磁滯回線［6-7］，采用示波器的RC 積分法測量磁滯回線［8-9］，利用Matlab 進行電網合閘磁滯回線仿真［10-11］，也有利用啟發(fā)式算法測量和辨識磁滯回線［12-13］。從中可以看出，直接測量往往需要昂貴的實驗設備，操作較為繁瑣;而間接法通過測量電壓電流關系來獲得磁滯回線，其中積分測量法被廣泛采用。積分法雖然具有線性度好、準確度高、測量過程簡便等優(yōu)點，但是至今沒有明確的參數(shù)計算方法。

實物實驗往往需要昂貴的成本和較長的周期，而通過計算機軟件仿真測量過程則可大大降低實驗成本，提高測量效率。Simulink 是Matlab 中進行動態(tài)建模與仿真的集成軟件包，其中有針對電力系統(tǒng)的可視化建模與仿真工具庫電力系統(tǒng)模塊庫(power system blocksets，PSB)，是解決電力系統(tǒng)中一些復雜的非線性仿真問題的有效方法。

本研究基于RC 積分法測量磁滯回線，利用Matlab 的Simulink 仿真系統(tǒng)中的電力系統(tǒng)模塊庫(power system blocksets，PSB)里的飽和變壓器模型，并對RC積分測量方法進行深入分析后，通過求解時域微分方程，提出測量電路參數(shù)的確定方法。仿真結果的準確性分析以及簡易實驗結果表明，本研究提出的參數(shù)計算方法正確而且有效。

1 測量原理

為了測量飽和變壓器鐵芯的磁滯回線，本研究設計的RC 積分器測量電路如圖1所示。該電路在變壓器原邊接入一個電阻(R1)，通過電阻上的電壓取樣u1，反映鐵芯中磁場強度H 的變化;在副邊接入RC 積分器(R2、C2)，通過RC 參數(shù)的適當選取，利用電容C2上的電壓取樣u2，反映鐵芯中磁感應強度B 的變化。最后，利用虛擬示波器觀察u1和u2的李薩如圖形即得到了變壓器鐵芯的磁滯回線。由于是間接測量，需要分析u1，u2分別與H，B 呈線性關系的條件。

圖1 測量飽和變壓器磁滯回線電路原理圖

記原邊線圈N1匝，變壓器截面周長為l，記副邊線圈N2匝，內阻為r2，變壓器截面積為S。

對原邊由安培環(huán)路定律得:

若變壓器負載很小，即:

根據(jù)歐姆定律可得R1兩端電壓為:

上式表明:滿足條件式(2)時，u1與磁場強度H 為線性關系。

對副邊由法拉第電磁感應定律，感應電勢為:

若取原邊電流流進同名端，副邊電流流出同名端為參考方向，根據(jù)KVL，副邊回路滿足:

當且僅當以下不等式:

成立時:

解常微分方程，得:

上式表明:滿足條件(7)時u2與B 是線性關系。

在同時滿足條件式(2，7)時，以u1和u2分別為X軸與Y 軸作李薩如圖形，由于它們分別與H 和B 呈線性關系，則李薩如圖形就表示出飽和變壓器的磁滯回線。

2 基于Simulink 的仿真測試

本研究利用Matlab(R2010b 版本)中的Simulink進行建模，建模步驟如下:

(1)建立一個新的模型窗口，同時打開Simulink的電力電子(SimPowerSystems)模塊工具箱，進行仿真測量模型的搭建。

(2)打開元件(Elements)模塊組，復制一個飽和變壓器模型Saturable Transformer 到建模窗口中，模型參數(shù)不變。

2.1 飽和變壓器模型說明

打開Parameter 選項卡，調節(jié)參數(shù)顯示方式為SI(即國際單位制)，以下對飽和變壓器的參數(shù)作出說明。飽和變壓器模型參數(shù)如圖2所示。

第1 行數(shù)據(jù)表示飽和變壓器的設備容量和工作頻率，圖中參數(shù)表示變壓器的設備容量是250e6 VA，工作頻率是50 Hz。

圖2 飽和變壓器模型參數(shù)

第2 行數(shù)據(jù)表示飽和變壓器的原邊線圈的飽和電壓、電阻和電感，圖中參數(shù)表示變壓器原邊線圈的飽和電壓是7.35e5 V，電阻是4.321 8 Ω，電感是0.458 56 H。

第3 行數(shù)據(jù)表示飽和變壓器的副邊線圈的飽和電壓、電阻和電感，圖中參數(shù)表示變壓器副邊線圈的飽和電壓是3.15e5 V，電阻是0.793 8 Ω，電感是0.084 425 H。

第5 行數(shù)據(jù)表示飽和變壓器的模型參數(shù)，保持不變即可;第6 行數(shù)據(jù)表示鐵芯損耗電阻Rm，保持不變即可。

2.2 電路模塊搭建與參數(shù)設定

打開電源(Electrical Sources)模塊組，復制交流電壓源模塊AC Voltage Source 到建模窗口中。仿真磁滯回線，AC 參數(shù)應當滿足超過變壓器的原邊額定電壓，才能使變壓器磁路飽和。AC 交流電源參數(shù)可以分別設定為10e5* sqrt(2)(單位:V)，90(單位:deg)，50(單位:Hz)，Sample time 為0(單位:s)。

打開元件(Elements)模塊組，復制3 個串聯(lián)RLC支路模塊到建模窗口中，下面對器件參數(shù)選擇進行說明。R1為原邊取樣電阻，不應很大，可取1e3(單位:Ω)，L 為0(單位:H)、C 為inf(單位:F)，作為原邊取樣電阻R1。其余兩個串聯(lián)RLC 支路模塊參數(shù)可以先設置R2參數(shù)為R 為400e3(單位:Ω)、L 為0(單位:H)、C 為inf(單位:F)，設置C2參數(shù)R 為0(單位:Ω)、L 為0(單位:H)、C 為10e-6(單位:F)，作為副邊的RC積分器的電阻R2和電容C2。

打開測量(Measurements)模塊組，復制兩個電壓測量模塊Voltage Measurement 到建模窗口中，分別用于測量原邊取樣電阻R1和副邊RC 積分器的電容C2上的電壓。

打開基本仿真(Simulink)模塊工具箱，從輸出(Sinks)模塊組，復制一個XY 型通道示波器XY Graph，設置X 軸為±6e4，Y 軸為±6e2，用于觀察原邊取樣電阻R1和副邊RC 積分器的電容C 上的電壓所形成的李薩如圖形，即B-H 曲線。

打開電源系統(tǒng)(SimPowerSystems)工具箱，復制一個powergui 模塊，雙擊打開，設置Configure parameters中的Simulation type 為Discrete，Sample time 設置為50e-6(單位:s)。這是因為仿真類型選擇離散型，可以得到更加平滑的磁滯回線，仿真速度也更快。

在菜單欄Simulation 中，設置Configuration Parameters 中的Stop time 至少大于0.04(單位:s)。設置Solver 為ode23tb 算法。

進行適當連接后，即得到利用RC 積分器觀測磁滯回線電路的模型。

3 RC 積分器的參數(shù)設置

積分器測量方法需要滿足式(3)和式(8)兩個線性關系，則必須有式(2)和式(6)成立。當實驗參數(shù)不滿足線性關系時，虛擬示波器中不能得到正確的磁滯回線。下面具體分析測量電路的參數(shù)選取。

飽和變壓器模型鐵芯電路模型中的有功損耗電阻，即為渦流損耗，由式(2)成立，則有i2≈0 A，這表明應使變壓器工作在接近空載狀態(tài)，此時滿足u1與H 為線性關系。

在時域上求解微分方程，可找出不等式(6)成立的條件。電源電壓可用uS=Amsin(ωt+90)表示，則電容電壓可表示為u2=Kmsin(ωt +φ)，則不等式(6)可化簡為:

則應使后兩項與第一項的比值盡可能小，如下式所示:

由于式(10)右邊三角函數(shù)tan(ωt +φ)在一個周期內是發(fā)散的，為使比值盡可能小，只能令其系數(shù)趨近于0，才能滿足式(8)，從而電容電壓u2與磁感應強度B 為線性關系。

通過Simulink 進行飽和變壓器磁滯回線的仿真采用離散仿真模式，因此只需滿足正切函數(shù)p(R2，C2)在一個周期里有足夠長的時間近似為零，就可以得到飽和變壓器鐵芯的磁滯回線。為了保證仿真準確性，可取上述條件的一個近似等價條件為|p| ＜0.1 在99%的周期內成立，即:

通常r2?R2可忽略，且在該測量中，L2≈0.08 H，ω=314 rad/s，考慮變壓器接近似空載運行，可設定R2為1 000 倍飽和變壓器滿容量負載電阻，即:

作為積分器電阻值，則解得C2＞4.9 μF。因此，可用C2=10 μF，R2=400 kΩ 作為積分器參數(shù)。

上述參數(shù)仿真結果如圖3所示。

圖3 積分器R2=400 kΩ，C2=10 μF 時測得磁滯回線

4 仿真結果與分析

為了考察RC 積分器測量磁滯飽和變壓器磁滯回線的準確性，可以用多組磁滯回線繪出飽和變壓器的基本磁化曲線，并與Simulink 中的磁滯回線的原始數(shù)據(jù)對比，以說明本研究所提出的實驗模型的正確性和仿真結果的準確度。

筆者分別調整AC 電壓源電壓(單位:V)為9e5*sqrt(2)，9.5e5* sqrt(2)，10e5* sqrt(2)，10.5e5* sqrt(2)，11e5* sqrt(2)和11.5e5* sqrt(2)進行仿真，可以得到一組磁滯回線。將這些磁滯回線繪在一張圖中，并將磁滯回線的拐點標出，用折線段擬合，再經過放大得到的磁滯回線圖如圖4所示，圖4 中包圍面積即為鐵芯損耗。由于變壓器工作在輕負載狀態(tài)，包圍面積變化很小。

圖4 飽和變壓器磁滯回線仿真結果(局部)

Simulink 中飽和變壓器的磁化曲線數(shù)據(jù)在hysteresis.mat 文件中，可以繪出模型的基本磁化曲線。根據(jù)仿真結果得到的拐點可以繪出測量結果的基本磁化曲線。由于存在線性關系，可將兩幅圖的坐標軸比例變換，合并為一張圖，測量結果與模型值吻合，基本磁化曲線測量誤差對比如圖5所示。

圖5 基本磁化曲線測量誤差對比

利用折線插值方法可以得到對應拐點處的相對誤差值，其相對誤差表明本研究提出的方法的測量結果與飽和變壓器模型值非常接近。根據(jù)本研究提出的計算RC 積分器參數(shù)方法得到的測量誤差小于1.6%，而且這個誤差由式(15)控制。

因此，只有當R2、C2滿足式(11，12)時，才滿足測量要求中的線性關系，才能滿足適用RC 積分法的前提條件。

5 實驗驗證

為了進一步驗證仿真方法的可操作性與正確性，根據(jù)本研究提出的參數(shù)確定方法，筆者設計了RC 積分法測量電路，通過實驗室測量得到了工頻變壓器的磁滯回線。

實驗所用變壓器為上海祥華電器廠生產的BK -50 控制變壓器，高壓側選擇額定電壓220 V 線圈，低壓側選擇額定電壓36 V 線圈。高壓側經單相調壓器接入市電，串聯(lián)電阻R1=240 Ω。低壓側串聯(lián)RC 積分法測量電路，其中R2=200 kΩ，C2=4.7 μF。本研究利用Tektronix TDS 3054C 示波器測量磁滯回線，其中CH1 測量R1兩端電壓，CH2 測量C2兩端電壓。觀測李薩如圖形，BK -50 變壓器磁滯回線如圖6所示。

實驗中測得磁滯回線與仿真結果相一致，從而驗證了仿真方法的可操作性與RC 積分器參數(shù)確定方法的正確性。

圖6 BK-50 變壓器磁滯回線

6 結束語

在工程實踐過程中，為了得到電力變壓器的磁滯回線，需要經過復雜繁瑣的操作過程，且往往受到試驗條件、測量手段等方面的限制。電力變壓器由于額定電壓在千伏以上，難以直接實驗測量，而通常采用仿真方法得到其磁滯回線。本研究基于Matlab 的Simulink 仿真系統(tǒng)，利用電力系統(tǒng)模塊庫PSB，采用RC 積分法實現(xiàn)磁滯回線測量。本研究提出的確定參數(shù)方法使得最終測量相對誤差在1%左右，具有很高的實用價值。

由于Simulink 中飽和變壓器模型給出的參數(shù)是基本磁化曲線，原邊電壓存在較小的取值范圍。如何解決因原邊電壓取值問題引起的仿真錯誤還有待進一步的研究。

在有關交流電量電路分析中，常常需要結合時域分析與頻域分析。本研究借鑒頻域分析的思想，并就求解時域微分方程和Simulink 仿真方法提出了確定參數(shù)的方法，為電路設計提供了參考依據(jù)。

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