李京效，辛小龍，賀鵬飛

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安 710127)

1965年，美國自動(dòng)控制專家 Zadeh［1］創(chuàng)立了模糊集。目前，模糊集已被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，成為解決不確定性問題的有力工具，但如Molodtsov指出的那樣，它仍存在一些局限性［2］。1999年，Molodtsov創(chuàng)立了軟集理論，開辟了一條解決不確定問題的全新的途徑［2］。軟集理論在許多領(lǐng)域都有潛在的價(jià)值，Molodtsov在文獻(xiàn)［2］中為我們做了一些初步的介紹，其他一些學(xué)者如Maji等在文獻(xiàn)［3－4］中又進(jìn)一步研究了軟集的性質(zhì)并將其用于決策等問題上。2001年，Maji等人發(fā)展了軟集理論［5］，給出了模糊軟集的定義和一些基本性質(zhì)，之后Roy等人又在文獻(xiàn)［6］中展示了它的一些應(yīng)用。同時(shí)，一些模糊軟代數(shù)結(jié)構(gòu)也相繼被定義并研究:Yang［7］介紹了模糊軟半群，Aygüno?lu 和 Aygün［8］定義了模糊軟群，Inan 和 ?ztürk［9］提出了模糊軟環(huán)等概念。

本文把模糊軟集理論應(yīng)用到格結(jié)構(gòu)上，推廣了(λ，μ)模糊子格(理想)的概念，定義了(λ，μ)模糊軟子格及(λ，μ)模糊軟理想，給出了它們關(guān)于α-水平截集的等價(jià)刻畫，并研究了它們的一些基本性質(zhì)。最后，討論了(λ，μ)模糊軟子格(理想)在模糊軟同態(tài)映射下的像和原像。

1 預(yù)備知識(shí)

這部分主要回顧文中將要用到的基本概念。

定義1［10］設(shè) S為格 L上的非空子集，若?a，b∈S，有a∧b∈S及a∨b∈S，則稱S為L的子格。

定義2［10］設(shè) I為格 L上的非空子集，若?a，b∈ L，有

則稱I為L的理想。

下面給出理想的等價(jià)定義。

定義3［11］設(shè) I為格 L上的非空子集，若?a，b∈ L，有

1)a，b∈ I?a∨b∈ I;

2)a∈L，b∈I?a∧b∈I，則稱I為L的理想。

定義4［1］給定非空集合L，一個(gè)映射f:L→［0，1］，被稱為L的模糊子集。

定義5［12］設(shè) f是格 L上的模糊子集，若?x，y ∈ L，有

則稱f是L的(λ，μ)模糊子格。

定義6［13］設(shè) f是格 L上的模糊子集，若?x，y ∈ L，有

則稱f是L的(λ，μ)模糊理想。

下面給出(λ，μ)模糊理想的等價(jià)定義。

定義7［11］設(shè) f是格 L上的模糊子集，若?x，y ∈ L，有

則稱f是L的(λ，μ)模糊理想。

定義8［1］設(shè)f為集合L上的模糊子集，α∈［0，1］，稱 fα={x∈L|f(x)≥α}為f的α-水平截集。

定理1［11］設(shè)f為格L上的模糊子集，則f為L的(λ，μ)模糊子格，當(dāng)且僅當(dāng) ?α ∈ (λ，μ］，fα非空時(shí)為L的子格。

定理2［11］設(shè)f為格L上的模糊子集，則f為L的(λ，μ)模糊理想，當(dāng)且僅當(dāng) ?α ∈ (λ，μ］，fα非空時(shí)為L的理想。

以下是軟集、模糊軟集及其基本運(yùn)算的定義。

定義9［2］給定一個(gè)序?qū)?F，A)，其中 A是參數(shù)集，F(xiàn)是A到集合L的冪集P(L)的一個(gè)映射，即F:A→P(L)，則稱(F，A)是L上的軟集。

定義10［5］給定一個(gè)序?qū)?f，A)，其中 A是參數(shù)集，f是A到集合L的模糊冪集F(L)的一個(gè)映射，即f:A→F(L)，則稱(f，A)為L上的模糊軟集。也就是說，?a∈A，f(a)=fa:L→［0，1］是L上的模糊集。

顯然，按照這種定義方式，對(duì)于L上的軟集(F，A)，可以把它看作一個(gè)模糊軟集(f，A)，對(duì) a∈A，a在f下的像被定義為集合F(a)的特征函數(shù)，即

定義11［5］設(shè)(f，A)是集合 L上的模糊軟集，?α∈［0，1］，稱(f，A)α=(fα，A)為(f，A)的α-水平截集，其中 ?a∈ A，fα(a)={x∈ L|f(a)(x)≥ α}。顯然，(f，A)α是 L 上的軟集。

定義12［5］給定集合L上的兩個(gè)模糊軟集(f，A)和(g，B)，若存在模糊軟集(h，C)，使得 C=A∩B，且 ?c∈C，有hc=fc∧gc，則稱(h，C)為(f，A)和(g，B)的交集，記為(h，C)=(f，A)∩～(g，B)。

定義13［5］給定集合L上的兩個(gè)模糊軟集(f，A)和(g，B)，若存在模糊軟集(h，C)，使得 C=A∪B，且 ?c∈ C，有

則稱(h，C)為(f，A)和(g，B)的并集，記為(h，C)=(f，A)∪～(g，B)。

定義14［5］給定集合L上的兩個(gè)模糊軟集(f，A)和(g，B)，(f，A)與(g，B)的和定義為(h，A× B)，記為(f，A)∧～(g，B)，其中 ?(a，b)∈ A ×B，有 h(a，b)=ha，b=fa∧ gb。

2 (λ，μ)模糊軟子格

這部分引入(λ，μ)模糊軟子格，并討論了它的一些基本性質(zhì)。L，L1和L2均代表格。

定義15 設(shè)(f，A)是L上的一個(gè)模糊軟集，稱(f，A)為L上的(λ，μ)模糊軟子格，若?a∈A和 x，y∈ L，有

例1 設(shè)(f，A)是一個(gè)(λ，μ)模糊軟子格，若它的參數(shù)集A是一個(gè)單點(diǎn)集，則(f，A)也是一個(gè)(λ，μ)模糊子格。因此，可以說(λ，μ)模糊軟子格是(λ，μ)模糊子格概念的推廣。

例 2 設(shè) L={0，u，v，w，x，y，z，1}是一個(gè)如圖1所示的格，(f，A)是L上的模糊軟集，其中A={a，b}，且?a∈A，f(a)=fa:L→［0，1］。定義

0.6，則不難驗(yàn)證(f，A)是 L 上的(λ，μ)模糊軟子格，但不是L上的(λ，μ)模糊子格。

圖1 格Fig.1 Lattice

(λ，μ)模糊軟子格也可由截集來刻畫。

定理3 設(shè)(f，A)是L上的一個(gè)模糊軟集，(f，A)是L上的(λ，μ)模糊軟子格當(dāng)且僅當(dāng)?α∈ (λ，μ］，fα(a)非空時(shí)是 L 的子格。

證 明 必要性。假設(shè)(f，A)是L上的(λ，μ)模糊軟子格。?α∈(λ，μ］，a∈A和x，y∈fα(a)有f(a)(x)≥α和f(a)(y)≥α。由定義15得，f(a)是L上的(λ，μ)模糊子格，則有max{f(a)(x∨y)，λ}≥min{f(a)(x)，f(a)(y)，μ}≥α ＞ λ，即f(a)(x∨y)≥α，于是x∨y∈fα(a)，同理x∧y∈fα(a)，所以fα(a)是L的子格。

充分性。假設(shè) ?α ∈(λ，μ］，fα(a)非空時(shí)是L的子格，若 ?x0，y0∈ L，使得 max{f(a)(x0∨y0)，λ}＜ α =min{f(a)(x0)，f(a)(y0)，μ}，則有x0，y0∈fα(a)且α∈(λ，μ］，但f(a)(x0∨y0)＜ α，所以 x0∨y0?fα(a)，這與fα(a)是L的子格矛盾，故?x，y∈L，都有max{f(a)(x∨y)，λ}≥ min{f(a)(x)，f(a)(y)，μ}， 同 理 可 證max{f(a)(x ∧ y)，λ} ≥ min{f(a)(x)，f(a)(y)，μ}，所以(f，A)是 L 上的(λ，μ)模糊軟子格。

定理4 設(shè)(f，A)和(g，B)是L上的兩個(gè)(λ，μ)模糊軟子格，若A∩B= ?，則(f，A)∪～(g，B)也是L上的一個(gè)(λ，μ)模糊軟子格。

證 明 設(shè)(f，A)∪～(g，B)=(h，C)，因?yàn)锳∩B= ?，?c∈C，c∈A－B或c∈B－A。若c∈A －B，則hc=fc是L上的(λ，μ)模糊子格，若c∈B －A，則hc=gc也是L上的(λ，μ)模糊子格，于是有，?c∈C，hc是L上的(λ，μ)模糊子格，所以(f，A)∪～(g，B)是L上的一個(gè)(λ，μ)模糊軟子格。

定理5 設(shè)(f，A)和(g，B)是L上的兩個(gè)(λ，μ)模糊軟子格，則(f，A)∩～(g，B)也是 L上的一個(gè)(λ，μ)模糊軟子格。

證 明 設(shè)(f，A)∩～(g，B)=(h，C)，由定義12 得，?c∈C=A∩B，hc=fc∧gc。?x，y∈L，因?yàn)閒c和 gc是L上的(λ，μ)模糊子格，則

max{(fc∧ gc)(x∨ y)，λ}=

max{min{fc(x∨ y)，gc(x∨ y)}，λ}=

min{max{fc(x∨ y)，λ}，

max{gc(x∨ y)，λ}}≥

min{min{fc(x)，fc(y)，μ}，

min{gc(x)，gc(y)，μ}}=

min{min{fc(x)，gc(x)}，

min{fc(y)，gc(y)}，μ}=

min{(fc∧ gc)(x)，(fc∧ gc)(y)，μ}。

同理可證 max{(fc∧ gc)(x∧ y)，λ}≥min{(fc∧gc)(x)，(fc∧gc)(y)，μ}，則fc∧gc是L上的(λ，μ)模糊子格，也即?c∈C，hc是L上的(λ，μ)模糊子格，所以(f，A)∩～(g，B)是 L上的(λ，μ)模糊軟子格。

定理6 設(shè)(f，A)和(g，B)是L上的兩個(gè)(λ，μ)模糊軟子格，則(f，A)∧～(g，B)也是 L上的(λ，μ)模糊軟子格。

證 明 設(shè)(f，A)∧～(g，B)=(h，A × B)，已知 ?a∈A，fa和?b∈B，gb都是L上的(λ，μ)模糊子格，且由定理5的證明可知兩個(gè)(λ，μ)模糊子格的交仍是(λ，μ)模糊子格，則?(a，b)∈A×B，h(a，b)=ha，b=fa∧ gb也是 L 上的(λ，μ)模糊子格。所以(h，A × B)=(f，A)∧～(g，B)是L上的(λ，μ)模糊軟子格。

3 (λ，μ)模糊軟理想

定義16 設(shè)(f，A)是格L上的一個(gè)模糊軟集，稱(f，A)為 L上的(λ，μ)模糊軟理想，若

?a∈ A 和 x，y∈ L，有

1)max{fa(x ∨ y)，λ}≥ min{fa(x)，fa(y)，μ}，

2)max{fa(x∧ y)，λ}≥ min{max{fa(x)，fa(y)}，μ}。

顯然，L上的(λ，μ)模糊軟理想都是L上的(λ，μ)模糊軟子格，但 L上的(λ，μ)模糊軟子格不一定是L上的(λ，μ)模糊軟理想。

例3 設(shè)L是一個(gè)如圖1所示的格，(f，A)是L上的模糊軟集，其中 A={a，b}，且 ?a∈ A，f(a)=fa:L →［0，1］。定義

若取 λ =0.2，u=0.6，不難驗(yàn)證 f(a)和f(b)都是L上的(λ，μ)模糊理想，則(f，A)是L上的(λ，μ)模糊軟理想。

類似地，可以用截集來刻畫(λ，μ)模糊軟理想，并對(duì)(λ，μ)模糊軟理想的一些性質(zhì)進(jìn)行研究。

定理7 設(shè)(f，A)是L上的一個(gè)模糊軟集，(f，A)是L上的(λ，μ)模糊軟理想，當(dāng)且僅當(dāng)?α∈ (λ，μ］，fα(a)非空時(shí)是 L 的理想。

證 明 必要性。假設(shè)(f，A)為L上的(λ，μ)模糊軟理想，則由定理3得?α∈(λ，μ］，fα(a)是 L的子格。任取 x∈ fα(a)，y∈ L則f(a)(x)≥ α 且 max{f(a)(x∧ y)，λ}≥min{max{f(a)(x)，f(a)(y)}，μ}≥ α ＞ λ，于是f(a)(x ∧y)≥ α，即x∧y∈fα(a)。所以fα(a)是L的理想。

充分性。假設(shè) ?α ∈(λ，μ］，fα(a)非空時(shí)是L的理想。則由定理3得?x，y∈ L，max{fa(x∨y)，λ}≥ min{fa(x)，fa(y)，μ}。若 ?x0，y0∈ L，使 得 max{f(a)(x0∧ y0)，λ} ＜ α =min{max{f(a)(x0)，f(a)(y0)}，μ}，則 α ∈ (λ，μ］，max{f(a)(x0)，f(a)(y0)}≥ α，于是 x ∈fα(a)或 y∈fα(a)，但 f(a)(x∧y)＜ α，即 x∧y?fα(a)，這與fα(a)是L的理想矛盾(x∧y∈L且x∧y≤x，x∧y≤y)，因此?x，y∈L，都有max{fa(x ∧ y)，λ}≥ min{max{fa(x)，fa(y)}，μ}，所以(f，A)是 L 上的(λ，μ)模糊軟理想。

定理8 設(shè)(f，A)和(g，B)是 L上的(λ，μ)模糊軟理想，若A∩B= ?，則(f，A)∪～(g，B)也是L上的(λ，μ)模糊軟理想。

證 明 與定理4的證明類似。

定理9 設(shè)(f，A)和(g，B)是 L上的(λ，μ)模糊軟理想，則(f，A)∩～(g，B)也是L上的(λ，μ)模糊軟理想。

證 明 設(shè)(f，A)∩～(g，B)=(h，C)，由定義12 得，?c∈C=A∩B，hc=fc∧gc。?x，y∈L，因?yàn)閒c和 gc是L上的(λ，μ)模糊理想，則

max{(fc∧ gc)(x∧ y)，λ}=

max{min{fc(x∧ y)，gc(x∧ y)}，λ}=

min{max{fc(x∧ y)，λ}，

max{gc(x∧ y)，λ}}≥

min{min{max{fc(x)，fc(y)}，μ}，

min{max{gc(x)，gc(y)}，μ}}=

min{min{max{fc(x)，fc(y)}，

max{gc(x)，gc(y)}}，μ}≥

min{max{min{fc(x)，gc(x)}，

min{fc(y)，gc(y)}}，μ}=

min{max{(fc∧ gc)(x)，

(fc∧ gc)(y)}，μ}。

同理可證 max{(fc∧ gc)(x∨ y)，λ}≥min{(fc∧gc)(x)，(fc∧gc)(y)，μ}，則fc∧gc是L上的(λ，μ)模糊理想，也即?c∈C，hc是L上的(λ，μ)模糊理想，所以(f，A)∩～(g，B)是 L上的(λ，μ)模糊軟理想。

定理10 設(shè)(f，A)和(g，B)是L上的(λ，μ)模糊軟理想，則(f，A)∧～(g，B)也是L上的(λ，μ)模糊軟理想。

證 明 設(shè)(f，A)∧～(g，B)=(h，A × B)，已知 ?a∈A，fa和?b∈B，gb都是L上的(λ，μ)模糊理想，且由定理9的證明可知兩個(gè)(λ，μ)模糊理想的交仍是(λ，μ)模糊理想，可得?(a，b)∈A × B，h(a，b)=ha，b=fa∧gb也是L上的(λ，μ)模糊理想。所以(h，A × B)=(f，A)∧～(g，B)是L上的(λ，μ)模糊軟理想。

4 (λ，μ)模糊軟子格(理想)在模糊軟同態(tài)下的像和原像

定義17 設(shè)(f，A)和(g，B)分別為L1和L2上的兩個(gè)模糊軟集，φ:L1→L2和ψ:A→B是兩個(gè)函數(shù)，A，B分別為 L1，L2上的參數(shù)集，則稱序?qū)?φ，ψ)為L1到L2的模糊軟函數(shù)。

定義18 設(shè)(f，A)和(g，B)分別為L1和L2上的兩個(gè)模糊軟集，(φ，ψ)是L1到L2的模糊軟函數(shù)。

1)(f，A)在(φ，ψ)下的像，記為(φ，ψ)(f，A)，它是 L2上的一個(gè)模糊軟集，定義為(φ，ψ)(f，A)=(φ(f)，ψ(A))，這里

?k∈ ψ(A)，y∈ L2。

2)(g，B)在(φ，ψ)下的原像，記為 (φ，ψ)－1(g，B)，它是 L1上的一個(gè)模糊軟集，定義為(φ，ψ)－1(g，B)=(φ－1(g)，ψ－1(B))，這里

φ－1(g)a(x)=gψ(a)(φ(x))，?a∈ψ－1(B)，

x∈L1。若φ和ψ是單射(滿射)，則稱(φ，ψ)是單射(滿射)。

定義19 設(shè)(φ，ψ)是L1到L2的模糊軟函數(shù)，若φ是從L1到L2的同態(tài)，則稱(φ，ψ)是模糊軟同態(tài)。若φ是從L1到L2的同構(gòu)，且ψ是從A到B的一一映射，則稱(φ，ψ)是模糊軟同構(gòu)。

定理11 設(shè)(f，A)是L1上的(λ，μ)模糊軟子格，(φ，ψ)是從L1到 L2的模糊軟同態(tài)，則(φ，ψ)(f，A)是 L2上的(λ，μ)模糊軟子格。特別地，若(φ，ψ)為滿射，且(f，A)是 L1上的(λ，μ)模糊軟理想，則(φ，ψ)(f，A)是 L2上的(λ，μ)模糊軟理想。

證 明 令 k ∈ ψ(A)，y1，y2∈ L2，若φ－1(y1)= ? 或 φ－1(y2)= ?，則max{φ(f)k(y1∨ y2)，λ}≥ 0=min{φ(f)k(y1)，φ(f)k(y2)，μ}，結(jié)論顯然成立。所以，這里只證明φ－1(y1)≠φ和φ－1(y2)≠?的情況。假設(shè)?x1，x2∈L1，使得 φ(x1)=y1，φ(x2)=y2，則

max{φ(f)k(y1∨ y2)，λ}=

sup{sup{max{fa(t)，λ}|φ(t)=

y1∨y2}|ψ(a)=k}≥

sup{sup{max{fa(x1∨ x2)，λ}|φ(x1)=

y1，φ(x2)=y2}|ψ(a)=k}≥

sup{sup{min{fa(x1)，fa(x2)，μ}|φ(x1)=

y1，φ(x2)=y2}| ψ(a)=k}=

min{sup{sup{fa(x1)|φ(x1)=

y1}|ψ(a)=k}，sup{sup{fa(x2)|φ(x2)=y2}|ψ(a)=k}，μ}=

min{φ(f)k(y1)，φ(f)k(y2)，μ}。

同 理 可 證 max{φ(f)k(y1∧ y2)，λ} ≥min{φ(f)k(y1)，φ(f)k(y2)，μ}。所以 (φ，ψ)(f，A)是L2上的(λ，μ)模糊軟子格。

若(φ，ψ)為滿射，且(f，A)是 L1上的(λ，μ)模糊軟理想，則 ?y1，y2∈ L2，φ－1(y1)≠ ?，φ－1(y2)≠ ?，于是

max{φ(f)k(y1∧ y2)，λ}=

max{sup{sup{fa(t)|φ(t)=

y1∧ y2}|ψ(a)=k}，λ}=

sup{sup{max{fa(t)，λ}|φ(t)=

y1∨y2}|ψ(a)=k}≥

sup{sup{max{fa(x1∨ x2)，λ}|φ(x1)=

y1，φ(x2)=y2}|ψ(a)=k}≥

sup{sup{min{max{fa(x1)，

fa(x2)}，μ}|φ(x1)=

y1，φ(x2)=y2}| ψ(a)=k}=

min{max{sup{sup{fa(x1)|φ(x1)=

y1}|ψ(a)=k}，

sup{sup{fa(x2)|φ(x2)=

y2}| ψ(a)=k}}，μ}=

min{max{φ(f)k(y1)，φ(f)k(y2)}，μ}，所以(φ，ψ)(f，A)是 L2上的(λ，μ)模糊軟理想。

定理12 設(shè)(g，B)是L2上的(λ，μ)模糊軟子格(理想)，(φ，ψ)是從L1到L2的模糊軟同態(tài)，則(φ，ψ)－1(g，B)是 L1上的(λ，μ)模糊軟子格(理想)。

證 明 僅證(λ，μ)模糊軟子格的情況。

令a∈ψ－1(B)，x1，x2∈L1，假設(shè)φ(x1)=y1，φ(x2)=y2，則

max{φ－1(g)a(x1∨ x2)，λ}=

max{gψ(a)(φ(x1∨ x2))，λ}=

max{gψ(a)(φ(x1)∨ φ(x2))，λ}≥

min{gψ(a)(φ(x1))，gψ(a)(φ(x2))，μ}=

min{φ－1(g)a(x1)，φ－1(g)a(x2)，μ}。

同理 可 證 max{φ－1(g)a(x1∧ x2)，λ}≥min{φ－1(g)a(x1)，φ－1(g)a(x2)，μ}， 所 以 (φ，ψ)－1(g，B)是 L1上的(λ，μ)模糊軟子格。

5 結(jié) 語

本文把模糊軟集理論應(yīng)用到格代數(shù)結(jié)構(gòu)上，推廣了(λ，μ)模糊子格和(λ，μ)模糊理想的概念，引入了(λ，μ)模糊軟子格和(λ，μ)模糊軟理想的定義，通過截集給出了它們的等價(jià)刻畫，初步研究了它們的基本性質(zhì)，得出了一些有用的結(jié)論。

［1］ ZADEH L A.Fuzzy sets［J］.Inform Control，1965，8:338－353.

［2］ MOLODTSOV D.Soft set theory － first results［J］.Comput Math Appl，1999，37(4 －5):19－31.

［3］ MAJI P K，ROY A R.An application of Soft set in decision making problem［J］.Comput Math Appl，2002，44:1077－1083.

［4］ MAJI P K，BISWAS R，ROY A R.Soft set theory［J］.ComputMath Appl，2003，45:555－562.

［5］ MAJI P K，BISWAS R，ROY A R.Fuzzy soft sets［J］.JFuzzy Math，2001，9(3):589－602.

［6］ ROY A R，MAJIP K.A fuzzy soft set theoretic approach to decisionmaking problems［J］.JComput Appl Math，2007，203:412－418.

［7］ YANGC F.Fuzzy soft semigroups and fuzzy soft ideals［J］.Comput Math Appl，2011，61:255－261.

［8］ AYGüNOGLU A，AYGüN H.Introduction to fuzzy soft groups［J］.Comput Math Appl，2009，58:1279－1286.

［9］˙INAN E，?ZTüRK M A.Fuzzy soft rings and fuzzy soft ideals［J］.Neural Comput Appl，2012，21(1):1－8.

［10］ DAVEY B A，PRIESTLEY H A.Introduction to Lattices and Order［M］.Cambridge:Cambrid－ge University Press，1990.

［11］ FENG Y M，DUAN H L，ZENG Q S.(λ，μ)－fuzzy sublattices and(λ，μ)－fuzzy subhyperlatti－ces［J］.Fuzzy Inf Eng，2010，78:17－26.

［12］ DAVVAZ B，KAZANCIO.A new kind of fuzzy sublattice(ideal，filter)of a lattice［J］.Int JFuzzy Syst，2011，13(1):55－63.

［13］ KAZANCIO，DAVVAZB.More on fuzzy lattices［J］.ComputMath Appl，2012，64:2917－2925.