陳悅龍

（電子科技大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,四川 成都 610054）

1 MUSIC算法

1.1 陣列協(xié)方差矩陣的特征分解

由矩陣特征分解理論，可以特征分解陣列協(xié)方差矩陣.最初設(shè)想理想環(huán)境，即無(wú)噪聲的情況:

由均勻線(xiàn)陣得出，矩陣A是由上式所定義的范德蒙德(Vandemonde)矩陣，只需要:

則，此矩陣各列之間相互獨(dú)立，如果R為非奇異矩陣（各信號(hào)源兩兩不相關(guān)），且M＞D，則有：

即RX是Hemr tie矩陣，其特征值均為實(shí)數(shù).又因?yàn)镽S是正定矩陣，ARSAH是半正定矩陣，其中有D個(gè)特征值為正，M-D個(gè)特征值為零.

其次考慮有噪聲的情況

由于σ2＞0，RS為滿(mǎn)秩陣，所以RX有M個(gè)正的實(shí)數(shù)特征值 λ1，λ2,…,λM，分別相當(dāng)于 M個(gè)特征向量v1,,v2,…,vM.又因?yàn)镽X是Hemriet矩陣，所以特征向量互相是正交的[11]，即

只有D個(gè)特征值與信號(hào)相關(guān)，分別與矩陣ARSAH的各特征值與σ2之和相等，剩下的M-D個(gè)特征值為σ2，這表示，σ2是RX的最小特征值，它是M-D維的.相關(guān)的特征向量v1,v2,…,vM中，也同樣有D個(gè)與信號(hào)相關(guān)，此外M-D個(gè)與噪聲相關(guān)，在下一節(jié)里，將利用以上這些特征分解的理論求出信號(hào)源的波達(dá)方向θk.

1.2 MUSIC算法的實(shí)現(xiàn)

MUSIC算法的實(shí)現(xiàn)步驟:

(1)從N個(gè)接收信號(hào)矢量可以得出以下協(xié)方差矩陣的估計(jì)值:

對(duì)上式的協(xié)方差矩陣的特征值進(jìn)行分解

(2)按照特征值的大小順序排序，把同信號(hào)個(gè)數(shù)D等量的特征值和相關(guān)的特征向量當(dāng)作信號(hào)空間，余下的M-D個(gè)特征值和特征向量當(dāng)作噪聲空間。則得出噪聲矩陣En:

1.3 MUSIC算法程序代碼

由圖1-3所示，圖像呈現(xiàn)一個(gè)明顯的波峰，由上述公式推導(dǎo)得出，波達(dá)方向的估計(jì)值在12度左右.由此圖可以看出，MUSIC算法可以清晰和準(zhǔn)確的對(duì)信號(hào)源DOA進(jìn)行估計(jì).

1.4 修正MUSIC算法對(duì)信號(hào)DO A的估計(jì)

MUSIC算法是對(duì)信號(hào)源DOA的估計(jì)，通過(guò)對(duì)陣列接收到的信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解來(lái)估計(jì)波達(dá)方向的.然而，如果信號(hào)源中有某些源是相干的，相干的幾個(gè)信號(hào)就有可能合成一個(gè)信號(hào)，陣列接收的獨(dú)立的信號(hào)源將減少，即陣列輸出信號(hào)協(xié)方差秩序rank＜p，對(duì)信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解后，有些相干源的方向矢量不正交于噪聲子空間，信號(hào)零點(diǎn)不出現(xiàn).所以，有些源在空間譜曲線(xiàn)中將不呈現(xiàn)峰值，這就會(huì)引起系統(tǒng)誤差.對(duì)于小信噪比以及角度相隔比較近的信號(hào)，它們的陣列信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解后同樣會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似的情況，從而不能準(zhǔn)確地估計(jì)信號(hào)的DOA.因此要對(duì)MUSIC算法進(jìn)行改進(jìn)，就是要對(duì)陣列輸出信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，使信號(hào)協(xié)方差的秩恢復(fù)為rank=p，使之能有效地估計(jì)出信號(hào)的DOA.

如圖1-4所示，改進(jìn)算法有更明顯的譜峰，從而更有利于目標(biāo)的分辨，特別是對(duì)于小信噪比信號(hào).此外，利用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，隨著信號(hào)信噪比的提高，對(duì)于相隔比較近的來(lái)波信號(hào)的估計(jì)有明顯的改善.

由以上討論可知，修正MUSIC算法與普通MUSIC算法形式完全一樣，都是利用空間譜函數(shù)來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)地，只是修正MUSIC算法對(duì)用于求特征分解的協(xié)方差矩陣先進(jìn)行處理，對(duì)其進(jìn)行低秩逼近，使協(xié)方差矩陣滿(mǎn)秩，以使信號(hào)子空間不滲透到噪聲子空間去，從而使它們能夠充分正交，達(dá)到對(duì)信號(hào)DOA進(jìn)行有效估計(jì).這樣其實(shí)等效于提高了信噪比，同時(shí)也對(duì)特征根重新進(jìn)行了排列，因而有助于減小DOA估計(jì)的方差.

2 ESPRIT算法

2.1 E SPRI T算法的實(shí)現(xiàn)

假設(shè)一個(gè)包含M個(gè)陣元的非立體傳感器接收陣列.每個(gè)陣元偶包含兩個(gè)相同響應(yīng)特點(diǎn)的陣列，這兩個(gè)陣元間有已知位移矢量Δ的距離.若有K≤M個(gè)獨(dú)立、足夠遠(yuǎn)的信號(hào)源同時(shí)以同一平面入射到此陣列上，通過(guò)空間譜估計(jì)理論，若這些信號(hào)源的中心角頻率w0相同，且w0已知，此外所有信號(hào)源都為零均值的隨機(jī)過(guò)程.則不同信號(hào)源可用其到達(dá)方向θk來(lái)表征.假設(shè)所有2M個(gè)陣元上都有與信號(hào)獨(dú)立的零均值，方差為σ2的獨(dú)立白高斯隨機(jī)過(guò)程[4].

為了直觀的敘述陣列的移不變特性，我們把陣列分成兩個(gè)平移矢量為Δ的子陣Zx和Zy，分別的x1,x2,…,xM和y1,y2,…,yM來(lái)表示陣源偶.第i個(gè)陣元偶上兩個(gè)陣元的輸出信號(hào)可分別表示為：

其中Sk(t)，k=1，2，…，k為子陣Zx的參考陣元接收到的第k個(gè)信號(hào)，θk為第k個(gè)信號(hào)的相對(duì)平移矢量Δ的到達(dá)方向.αi(θk)為任意一個(gè)子陣列中的第i個(gè)陣元對(duì)第k個(gè)信號(hào)源的幅度響應(yīng)，C為電波在介質(zhì)中的傳播速度，將兩個(gè)子陣列的每個(gè)陣元t時(shí)刻的輸出信號(hào)進(jìn)行重組，兩個(gè)子陣列的輸出信號(hào)矢量表達(dá)式即可表示為[14]：

矩陣Φ為K×K的對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素為K個(gè)信號(hào)的波在任意一個(gè)陣元偶之間產(chǎn)生的相位延遲，表示為：

矩陣Φ為把子陣Zx和Zy的輸出聯(lián)系起來(lái)的一個(gè)酉陣，也就是旋轉(zhuǎn)算子.矩陣Φ為酉陣是因子陣互為平移陣列對(duì)，假設(shè)的信號(hào)為窄帶信號(hào).因而，子陣的移不變性促成了兩子陣信號(hào)的旋轉(zhuǎn)不變性，子陣信號(hào)即為所得.等效于Zx陣的輸入信號(hào)與一個(gè)旋轉(zhuǎn)因子Φ相乘得到，或通過(guò)信號(hào)子空間旋轉(zhuǎn)得到.由上式可見(jiàn)，若能得到Φ矩陣，其對(duì)角元素通過(guò)計(jì)算即可得到信號(hào)到達(dá)角θk.把兩個(gè)子陣的輸出加以組合，即可得到整個(gè)陣列的輸出信號(hào)矢量Z(t)為：

根據(jù)數(shù)據(jù)矩陣Z我們可以估計(jì)信號(hào)源的個(gè)數(shù)K以及到達(dá)角θK，因此必須對(duì)矩陣Φ進(jìn)行估計(jì).ESPRIT算法的基本思想是研究因?yàn)殛嚵械囊撇蛔兲匦远鸬男盘?hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變性來(lái)確定信號(hào)源的方向.而信號(hào)子空間是由上面提到的矩陣X和Y張成的，X和Y組成了維數(shù)相同的K維信號(hào)子空間，即矩陣A的列向量組成的空間，但Y組成的信號(hào)子空間比X組成的信號(hào)子空間多旋轉(zhuǎn)了一個(gè)空間相位μK.當(dāng)然噪聲的干擾，數(shù)據(jù)矩陣X和Y也組成了另一個(gè)信號(hào)子空間，即噪聲子空間，此空間為正交子空間.

用陣列求出的自相關(guān)矩陣的特征分解來(lái)描述信號(hào)子空間和噪聲子空間的概念也是可行的.陣列輸出信號(hào)矩陣Z的自相關(guān)矩陣為：

其中，E{.}表示求期望，Rzz為到達(dá)的空間信號(hào)的自相關(guān)矩陣，σ2為每個(gè)陣元上的噪聲方差.為K維滿(mǎn)秩矩陣（假設(shè)各信號(hào)互不相關(guān)），且矩陣A的列向量之間線(xiàn)性獨(dú)立（假設(shè)各信號(hào)到達(dá)角θk互不相同），即子陣列流形是非模糊的.自相關(guān)矩陣的特征分解為:

其中Ψ=T-1ΦT.至此可知，Ex和Ey組成的子空間相似，且矩陣Φ的對(duì)角元素為Ψ的特征值.如果陣列流型A是滿(mǎn)秩矩陣，則可以得到:

所以上式中Ψ的特征值組成的對(duì)角陣一定等于Φ，而矩陣T的各列就是矩陣Ψ的特征矢量.所以一旦得到上述的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系矩陣Ψ，就可以直接得到信號(hào)的入射角度.

2.2 E SPR I T算法程序代碼

從圖2-1，圖2-2，圖2-3中可以看出，隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加，估計(jì)誤差會(huì)越來(lái)越小，得到的信號(hào)到達(dá)角度會(huì)越來(lái)越接近真實(shí)值，即估計(jì)精度會(huì)越來(lái)越高.

2.3 各參數(shù)對(duì)分析誤差的影響

2.3.1 信噪比SNR對(duì)估計(jì)誤差的影響分析

首先對(duì)信噪比SNR離散化取值，然后求得不同信噪比下的誤差，從而繪制出誤差隨信噪比改變的函數(shù)曲線(xiàn)如上圖所示，上圖中中信噪比SNR從-15取到15，間隔為1，運(yùn)行次數(shù)為100次，從中可以清晰的看出，隨著信噪比的增大，估計(jì)的誤差會(huì)減小，估計(jì)精度會(huì)越來(lái)越好.

2.3.2 陣元數(shù)L對(duì)估計(jì)誤差的影響分析

首先對(duì)陣元數(shù)L離散化取值，然后求得不同陣元數(shù)下的誤差，從而繪制出誤差隨陣元數(shù)改變的函數(shù)曲線(xiàn)如上圖所示，上圖中陣元數(shù)從K+1取到K+25，間隔為1運(yùn)行次數(shù)為100次.隨著陣元數(shù)的增加，估計(jì)誤差會(huì)越來(lái)越小，即估計(jì)精度會(huì)越來(lái)越高，但當(dāng)陣元數(shù)大到一定程度后，對(duì)估計(jì)精度的影響則會(huì)慢慢的減小.

2.3.3 兩信號(hào)之間的角度差（GAP）對(duì)估計(jì)誤差的影響分析

由于采用ESPRIT算法對(duì)DOA進(jìn)行估計(jì)，若兩信號(hào)的方位距離較近時(shí)，雖然能得出估計(jì)結(jié)果，但估計(jì)的精度會(huì)大受影響.因此，為了分析兩信號(hào)之間的不同間隔會(huì)對(duì)估計(jì)精度造成多大的影響，繪制不同GAP下的估計(jì)誤差曲線(xiàn)如上圖所示.其中GAP（單位為度）從0.1取到5，間隔為0.1，獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)為100次。由圖可知，GAP越大估計(jì)越準(zhǔn)確，但當(dāng)GAP大到一定程度后則估計(jì)精度趨于穩(wěn)定.

2.3.4 快拍數(shù)對(duì)估計(jì)誤差的影響分析

為了分析快拍數(shù)會(huì)對(duì)估計(jì)精度造成什么影響，繪制在不同快拍數(shù)下的估計(jì)誤差曲線(xiàn)如下圖所示。其中快拍數(shù)從0到200間隔為20，獨(dú)立運(yùn)行次數(shù)為100次快拍數(shù)K越大估計(jì)越準(zhǔn)確，但當(dāng)K大到一定程度后則估計(jì)精度趨于穩(wěn)定.

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