張文成 周穗華 陳聰聰 張 晨

（青島雷達(dá)聲吶修理廠1） 青島 266100） （海軍工程大學(xué)兵器工程系2） 武漢 430033）

0 引 言

關(guān)于水中物體聲散射問題，國內(nèi)外均有很多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究工作［1－3］．針對 Rayleigh簡正級數(shù)的嚴(yán)格理論解只適用于幾種簡單規(guī)則形狀物體的情況［4］，并且由于Rayleigh簡正級數(shù)解的形式是一個(gè)無窮級數(shù)，收斂性差，頻率越高需要計(jì)算的項(xiàng)越多，在高頻情況下導(dǎo)致計(jì)算量過大，結(jié)果也不準(zhǔn)確，學(xué)者們發(fā)展了許多近似方法，如T矩陣法、時(shí)域有限差分法、有限元／邊界元法和基于物理聲學(xué)法的板塊元法等．與直接數(shù)值積分法相比，由于板塊元法具有計(jì)算速度快、精度高、算法簡潔等特點(diǎn)，在計(jì)算目標(biāo)聲散射時(shí)得到了廣泛應(yīng)用［5－7］．

運(yùn)用板塊元法的關(guān)鍵在于對模型的面元劃分，因?yàn)槊嬖膭澐址椒ㄖ苯記Q定了算法計(jì)算的速度和精度．本文針對板塊元法中面元劃分問題，首先給出了基于Gordon積分的遠(yuǎn)場板塊元法．然后，借助球體模型，分析了模型面元劃分尺度對算法計(jì)算速度與精度的影響，并推導(dǎo)出面元劃分尺度的確定方法．最后，以圓柱模型為例，通過仿真計(jì)算驗(yàn)證了文中所提方法的正確性．

1 基于Gordon積分的遠(yuǎn)場板塊元法

1．1 遠(yuǎn)場板塊元公式

板塊元方法是一種對于水下復(fù)雜目標(biāo)回波特性進(jìn)行計(jì)算的有效方法，這種方法在應(yīng)用物理聲學(xué)法求解水下目標(biāo)散射聲場時(shí)，用一組平面板塊元近似目標(biāo)曲面，把板塊元上散射聲場的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，最后將所有板塊元的散射聲場疊加得到總散射聲場的近似值．文獻(xiàn)資料表明：板塊元法既可以推廣到目標(biāo)近場回波特性研究，也能應(yīng)用于敷設(shè)粘彈性材料的目標(biāo)散射特性研究［8］．與直接數(shù)值積分相比，板塊元法具有較快的計(jì)算速度，計(jì)算精度也能夠滿足要求．

圖1所示為收發(fā)合置時(shí)目標(biāo)散射示意圖和坐標(biāo)系統(tǒng)，對于遠(yuǎn)場情況，根據(jù)Kirchhoff散射公式，忽略入射聲波在每個(gè)面元上的不均勻性，目標(biāo)表面積分域內(nèi)每個(gè)面元的散射聲場可以表示為

因此，剛性目標(biāo)遠(yuǎn)場散射聲場和目標(biāo)強(qiáng)度TS的板塊元公式可以表示為

圖1 空間目標(biāo)散射示意圖

1．2 Gordon積分在板塊元求解中的應(yīng)用

由于Gordon積分可以有效解決常規(guī)積分中，當(dāng)入射波矢量垂直于平面多邊形的某個(gè)邊時(shí)，計(jì)算結(jié)果將出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的問題，而且還能避免大量的坐標(biāo)變換，可以減少算法工作量［9］，因此本文采用Gordon積分算法求解板塊元法中積分問題．

對于全局三維坐標(biāo)（0；X，Y，Z）下的空間多邊形平板，如圖2所示，Gordon積分算法給出［10］

式中：K為常數(shù)；ρ為平板上任意一點(diǎn)的位置矢量；ω 為空間三維矢量；在局部坐標(biāo)系（M；X′，Y′，Z′）中，向量ω′＝u′x′＋v′y′＋t′z′＝ω；T 為ω′在平板平面上的投影長度；M為平板上或平板附近源點(diǎn)，RM為源點(diǎn)位置矢量；是ω′在平板所在平面上投影的單位矢量；a′ij描述平板由頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j構(gòu)成的邊的長度和取向矢量，ρ′ij為相應(yīng)的邊中點(diǎn)的位置矢量．時(shí)也是有界的，該函數(shù)具有穩(wěn)定解，所以對于在常規(guī)積分算法不穩(wěn)定點(diǎn)處，即垂直入射時(shí)，Gordon積分算法依然有穩(wěn)定值，這就避免了常規(guī)積分算法中數(shù)值不穩(wěn)定的問題．假設(shè)平板的面積為S，可得到垂直入射時(shí)平板目標(biāo)散射勢函數(shù)

圖2 多邊形平板與坐標(biāo)系統(tǒng)

在以上計(jì)算積分項(xiàng)過程中，需要將全局坐標(biāo)系（0；X，Y，Z）轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)系（M；X′，Y′，Z′）．為了減小工作量，將該坐標(biāo)變換分為旋轉(zhuǎn)和平移兩步進(jìn)行，就可以避免常規(guī)積分算法傅立葉變換積分和Barmett方法中的大量坐標(biāo)變換，式（4）可以簡化成：

2 板塊元求解中的面元劃分方法

基于Gordon積分的板塊元方法求解目標(biāo)散射場時(shí)，面元的劃分尺度直接決定了算法的計(jì)算速度與精度．文獻(xiàn)［9］提到板塊元法在面元劃分均勻的情況下，為保證計(jì)算精度要求L＜，即面元尺寸不應(yīng)大于0．2λ，對于面元劃分不均勻的復(fù)雜目標(biāo)，為保證計(jì)算精度面元尺寸應(yīng)更精細(xì)．但是如果為高頻情況，或者目標(biāo)曲率半徑與波長相比很大時(shí)，要求L＜將導(dǎo)致計(jì)算量過大，因此本文通過研究面元尺度波長比對計(jì)算結(jié)果的影響，統(tǒng)籌考慮計(jì)算精度和計(jì)算量，最終確定了面元劃分的方法和劃分尺寸．

2．1 面元尺寸對算法結(jié)果的影響

圖3 球體模型

利用ANSYS建立球體模型，設(shè)半徑r＝0．3668m，如圖3所示．為了研究板塊元法中劃分的面元尺寸對算法精度和速度的影響，首先研究目標(biāo)強(qiáng)度與面元的尺度波長比）之間的關(guān)系．分別按照L＝50，30，15，10，5mm對球體模型進(jìn)行了面元劃分，不同尺寸劃分對應(yīng)的面元數(shù)（element）和結(jié)點(diǎn)數(shù)（node）見表1．

表1 各面元尺寸對應(yīng)的面元參數(shù)

由表1可見，當(dāng)按不同的面元尺寸對模型進(jìn)行劃分時(shí)，其對應(yīng)的面元數(shù)（或結(jié)點(diǎn)數(shù)）存在如下平方關(guān)系，面元尺寸的減小將導(dǎo)致運(yùn)算量大幅增加，因此選擇合適的面元尺寸是非常有必要的．圖4～6分別給出了不同面元尺寸時(shí)，由板塊元法求得的模型目標(biāo)強(qiáng)度與尺度波長比的關(guān)系，面元為不同尺寸時(shí)在＝1處計(jì)算結(jié)果及與解析解的誤差見表2，其中r是模型曲率半徑．

表2 ＝1時(shí)不同尺寸計(jì)算結(jié)果

表2 ＝1時(shí)不同尺寸計(jì)算結(jié)果

面元尺寸／mm rL Lλ＝1對應(yīng)頻率／kHz計(jì)算值／dB相對誤差／%50 7．34 30 17．69 20．69 30 12．23 50 14．08 4．48 15 24．45 100 14．52 1．48 10 36．68 150 14．78 0．28 5 73．36 300 14．78 0．24

分析以上計(jì)算結(jié)果可以看出，在圖4中當(dāng)L＝50mm時(shí)需要L≤才能取得很高的計(jì)算精度，而當(dāng)L＝30mm時(shí)則需要L≤；圖5～6中當(dāng)L＝15mm時(shí)，只要L≤就能取得較高的計(jì)算精度，而對于L＝10mm和L＝5mm 2種情況，滿足L≤λ都能得到足夠高的計(jì)算精度．表2進(jìn)一步表明：隨著頻率的增加，當(dāng)劃分的面元尺寸為一個(gè)波長時(shí)，由板塊元法所得計(jì)算結(jié)果越來越精確；但是提高到一定程度后，這種隨頻率變化的趨勢就會減弱，如表中L＝10mm和L＝5mm 2種情況．

圖4 L＝50，30mm模型目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果

圖5 L＝15，5mm模型目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果

圖6 L＝10mm模型目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果

2．2 面元尺寸的選擇標(biāo)準(zhǔn)

通過上文的計(jì)算和分析可知，對于曲率半徑r＝0．366 8m的球體，當(dāng)≥25時(shí)，一個(gè)波長內(nèi)劃分一個(gè)面元就可以得到較高的計(jì)算精度（誤差Δ＜1．5%）．為了驗(yàn)證此結(jié)論是否具有一定的普適性，本文又建立了半徑r＝1m的球體模型，分別以L＝33mm≈30）和L＝40mm（＝25）對模型進(jìn)行了面元劃分，用板塊元法的計(jì)算結(jié)果見圖7．

3 驗(yàn)證仿真

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上文提出方法的正確性，下面利用ANSYS建立其他模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證．以圓柱模型為例，假設(shè)面元劃分最大尺寸L＝10mm，根據(jù)上文分析確定模型幾何參數(shù)為r＝0．25m，h＝1m，共劃分面元33 550個(gè)，結(jié)點(diǎn)16 777個(gè)，見圖8．

當(dāng)入射波位于xoy平面并垂直柱軸入射（θ＝90°且收發(fā)合置）時(shí)，計(jì)處頻率范圍是100Hz～150kHz，圖8圓柱模型的目標(biāo)強(qiáng)度與入射頻率的關(guān)系見圖9．圖中f＝100kHz時(shí)目標(biāo)強(qiáng)度板塊元解與解析解的相對誤差Δ＝0．76%，f＝150kHz時(shí)相對誤差是Δ＝1．27%．這一結(jié)果說明，當(dāng)模型曲率半徑與面元尺度之間滿足≥25時(shí)，1個(gè)波長內(nèi)劃分1個(gè)面元求得的模型板塊元解具有足夠的計(jì)算精度，也說明本文對劃分面元尺寸的分析是正確的．

圖9 圓柱模型目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)束語

本文研究利用基于Gordon積分的板塊元法求解目標(biāo)聲散射特性時(shí)面元劃分問題，文中給出了基于Gordon積分的遠(yuǎn)場板塊元公式，借助ANSYS建立了球體模型該模型分析了模型面元劃分的不同尺度對算法計(jì)算速度與精度的影響．然后針對低頻和高頻的不同情況，推導(dǎo)出模型面元劃分尺度的確定方法，并利用不同尺寸的球體模型和圓柱模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證．本文得出以下結(jié)論：用板塊元法求解目標(biāo)散射強(qiáng)度時(shí)，對于低頻情況，可以增加波長內(nèi)的面元數(shù)（如L≤）以提高計(jì)算精度，且不會導(dǎo)致計(jì)算量過大；對于高頻情況，可以減小波長內(nèi)所含面元數(shù)，以降低運(yùn)算量，若能保證目標(biāo)曲率半徑與面元最大尺寸之比滿足≥25，波長尺度比可以降至1并具有足夠高的計(jì)算精度．

圖7 半徑r＝1m，L＝33，40mm目標(biāo)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果

圖8 圓柱模型

［1］WATERMAN P C．New formulation of acoustic scattering［J］．J．Acoust．Soc．Am，l992，92（1）：670－679．

［2］范 軍．復(fù)雜目標(biāo)回波特性預(yù)報(bào)［D］．上海：上海交通大學(xué)，2002．

［3］FAWCETT J A．Modeling of high－frequency scattering from objects using a hybrid Kirchoff／diffraction approach［J］．Journal of the Acoustical Soceity in A－merica，2001，109（4）：1313－1319．

［4］馮玉田．水中目標(biāo)聲散射特性研究［D］．上海：上海大學(xué)，2006．

［5］GORM W，F(xiàn)INN J，JUDITH M B．A numerically accurate and robust expression for bistatic scattering from a plane triangular facet［J］．Journal of the A－coustical Soceity in America，2006，119（2）：701－704．

［6］考 英，范 軍．標(biāo)準(zhǔn)潛艇回波特性計(jì)算［J］．聲學(xué)技術(shù)，2005，21（2）：65－69．

［7］張玉玲．敷設(shè)吸聲層的水下復(fù)雜目標(biāo)回波特性研究［D］．上海：上海交通大學(xué)，2009．

［8］張文成，周穗華，蔣安林．聚脲涂層結(jié)構(gòu)模型吸聲性能及應(yīng)用研究［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2011，35（3）：583－586．

［9］劉成元，張明敏，程廣利．一種改進(jìn)的板塊元目標(biāo)回聲計(jì)算方法［J］．海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，20（1）：25－27．

［10］ GORDON W B．Far－field approximations to the kirchhoff－h(huán)elmholtz representations of scattered fields［J］．IEEE Trans．Antennas Propagat，1975，23（5）：590－592．