岳桂華，滕奇志，何小海，陳冬冬

（四川大學(xué)電子信息學(xué)院，610065，成都）

在石油地質(zhì)分析過(guò)程中，通常需要獲得三維巖心結(jié)構(gòu)來(lái)定量地研究滲流的微觀機(jī)理，但在實(shí)際工作中，有很多種因素造成巖心的缺失或缺損，導(dǎo)致很難獲得完整的可供分析的巖心三維圖像。如CT（computed tomography）機(jī)在巖石三維成像的應(yīng)用中，其分辨率和樣本尺寸是相矛盾的，為了得到高分辨率的孔隙結(jié)構(gòu)圖像，掃描的樣本尺寸受到很大限制，使巖樣的代表性有所欠缺。針對(duì)這一問(wèn)題，目前的主要解決方案是以二維薄片為基礎(chǔ)的三維重建［1-3］，得到具有與薄片特性相近的三維圖像。但是，該方法是基于圖像局部特性的數(shù)學(xué)建模，重建結(jié)果與真實(shí)巖心的形態(tài)結(jié)構(gòu)存在一定差異，且對(duì)于多相、非均質(zhì)以及原始灰度的巖心三維圖像的重建存在較大的困難。將大尺寸樣本切割為多個(gè)小樣本，用CT分別對(duì)小樣本進(jìn)行掃描，再將獲取的小樣本的高分辨率圖像拼接成較大的三維圖像，能有效地解決這一問(wèn)題。然而，由于物理切割導(dǎo)致三維圖像存在較大范圍的信息缺失，在小樣本圖像拼接成大樣本圖像的過(guò)程中需要恢復(fù)缺損的信息。因此，可考慮采用圖像修復(fù)的方法修復(fù)出缺損的信息，從而保持原始巖心三維圖像的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)特征。

圖像修復(fù)［4］目前多針對(duì)二維圖像，對(duì)于三維圖像修復(fù)的研究還較少，且主要是針對(duì)醫(yī)學(xué)圖像小范圍信息缺失的三維圖像修復(fù)以及視頻的修復(fù)。目前應(yīng)用較多的就是基于偏微分方程的圖像修復(fù)算法和基于樣例的圖像修復(fù)算法?；谄⒎址匠痰娜S圖像修復(fù)算法［5］只適合小范圍缺失且細(xì)節(jié)信息較少的三維圖像修復(fù)，對(duì)于較大范圍缺失圖像的修復(fù)會(huì)存在明顯的模糊現(xiàn)象，且不能修復(fù)圖像的紋理，因此不適合大范圍缺失的巖心三維圖像修復(fù)?；跇永膱D像修復(fù)算法［6-10］對(duì)于存在較大范圍缺失的二維圖像和視頻圖像取得了很好的效果，其中的Criminisi算法［6-7］及其改進(jìn)算法通過(guò)計(jì)算邊界點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)值來(lái)決定填充的順序，能夠有效地修復(fù)較大范圍缺失的圖像。目前的基于樣例的圖像修復(fù)算法較多地應(yīng)用在視頻修復(fù)中，然而視頻中每一幀都是具有完整結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)的二維圖像，算法主要是逐幀進(jìn)行，修復(fù)過(guò)程是針對(duì)二維結(jié)構(gòu)和紋理的修復(fù)［9-10］。巖心三維圖像的三維空間結(jié)構(gòu)與視頻序列圖像存在本質(zhì)的區(qū)別，因而不能采用傳統(tǒng)的針對(duì)視頻的基于樣例的圖像修復(fù)方法來(lái)修復(fù)巖心三維圖像。

本文針對(duì)存在較大范圍信息缺失的巖心三維圖像，提出了一種基于樣例的三維圖像修復(fù)算法，采用三維空間結(jié)構(gòu)的模板同時(shí)填補(bǔ)三維圖像缺失部分的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)，通過(guò)計(jì)算邊界體素相應(yīng)模板的優(yōu)先級(jí)值來(lái)決定填充的順序。同時(shí)，通過(guò)空間中的等照度面對(duì)優(yōu)先級(jí)值的影響，優(yōu)先合成與傳播圖像的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)三維圖像結(jié)構(gòu)的連接，且避免了對(duì)于等照度線方向的討論。針對(duì)Criminisi算法中采用全局搜索方法計(jì)算量大的問(wèn)題，本文使用匹配中心因子和最大距離來(lái)限制匹配塊搜索范圍，結(jié)合了局部搜索和全局搜索的優(yōu)點(diǎn)，大大減少了計(jì)算量。該算法不僅保持了原始巖心三維圖像的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)形態(tài)特征，而且保持了巖心的微觀統(tǒng)計(jì)特性［11］。

1 巖心三維圖像修復(fù)算法

本文提出的巖心三維圖像修復(fù)算法的基本思想是：從待修復(fù)區(qū)域（目標(biāo)部分）Ω的邊界δΩ上選取邊界體素p（p∈δΩ），以p為中心，設(shè)定固定大小的立方體模板Ψp，在p的匹配中心因子和最大距離限定的搜索范圍內(nèi)搜索其最優(yōu)匹配塊Ψq，并用Ψq中的已知體素填充Ψp中相應(yīng)位置上的未知體素。

對(duì)于原始三維圖像中的每一個(gè)體素q都存在一個(gè)灰度值（當(dāng)體素沒有被填充時(shí)為空）和置信度C（q）。C（q）表示q的灰度值的可信度，初始化為C（q）=0，?q∈Ω和C（q）=1，?q∈Φ。每一個(gè)邊界體素p的模板（邊界模板）Ψp都有一個(gè)優(yōu)先級(jí)值P（p）。本文提出的算法使用了Criminisi算法的關(guān)鍵思想，即由邊界模板的優(yōu)先級(jí)值來(lái)決定邊界體素的填充順序。文中提及的體素指三維數(shù)據(jù)場(chǎng)中的采樣點(diǎn)。Ψp的最優(yōu)匹配塊Ψq就是與Ψp最為相似的樣本塊，即

式中兩圖像塊的距離d（Ψp，Ψ^q）為邊界模板Ψp與樣本塊Ψ^q對(duì)應(yīng)位置的已知體素的灰度值之差的平方和。

1.1 填充順序

與Criminisi算法利用等照度線的傳播來(lái)引導(dǎo)紋理合成的過(guò)程［6-7］類似，為了向目標(biāo)區(qū)域傳播大尺度的結(jié)構(gòu)，本文的算法根據(jù)三維圖像的等照度面給邊界體素設(shè)定相應(yīng)的填充順序。等照度面指三維圖像中相同亮度或強(qiáng)度的面，等照度線指相同亮度或強(qiáng)度的線。邊界體素的填充順序由其相應(yīng)的邊界模板的優(yōu)先級(jí)值大小決定，每次都搜索優(yōu)先級(jí)值最大的邊界模板進(jìn)行填充。邊界模板Ψp的優(yōu)先級(jí)值定義為

式中：D（p）為數(shù)據(jù)項(xiàng)，表示等照度面在邊界面處的強(qiáng)度；C（p）為邊界模板的置信度，用于衡量體素p周圍模塊范圍內(nèi)可靠信息的數(shù)量，表示為

其中q∈Ψp∩表示Ψp中已被填充的體素，|Ψp|表示Ψp的體積。

在二維圖像修復(fù)中，Criminisi算法取等照度線在邊界垂直方向上的強(qiáng)度作為數(shù)據(jù)項(xiàng)D（p），等照度線的方向被定義為梯度方向的垂直方向。在三維圖像中，等照度線的軌跡是模糊不清的，且垂直于梯度的是一個(gè)平面，存在無(wú)限多個(gè)可能的方向［12］。如圖1所示，在某一小塊的三維空間中存在一連續(xù)的等照度面S，取以體素q為中心的任一等照度面塊ds，當(dāng)區(qū)域足夠小時(shí)，ds為平面或存在切面T 與梯度向量▽Ip垂直，等照度面切線方向具有不確定性，如都為ds切線，且都與▽Ip正交。在連續(xù)的邊界面上，取足夠小的區(qū)域得到邊界平面δΩ，如圖2所示，其與邊界體素p所在的等照度面存在一定的夾角θ，則δΩ的法線np與梯度向量▽Ip的夾角也為θ。同時(shí)，等照度面的強(qiáng)度||等于梯度▽Ip的大小|▽Ip|。因此，等照度面在邊界面法線方向上的強(qiáng)度可表示為

式中：α為歸一化因子，取灰度等級(jí)為255，這樣就避免了等照度線方向的討論。當(dāng)?shù)日斩让嬖綇?qiáng)且與邊界面越接近垂直狀態(tài)，數(shù)據(jù)項(xiàng)D（p）越大，算法會(huì)優(yōu)先選擇這樣的邊界體素進(jìn)行填充，即算法對(duì)結(jié)構(gòu)性較強(qiáng)的地方會(huì)優(yōu)先修復(fù)。數(shù)據(jù)項(xiàng)D（p）在算法中起著根本性的作用，通過(guò)D（p）實(shí)現(xiàn)了等照度面對(duì)填充順序的影響，使得圖像的結(jié)構(gòu)（也伴隨細(xì)節(jié)）優(yōu)先得到合成與傳播，從而將破損的結(jié)構(gòu)連接起來(lái)，達(dá)到視覺上的連續(xù)性。

圖1 三維空間中的連續(xù)等照度面

圖2 D（p）的說(shuō)明圖

圖3 匹配中心因子的原理和設(shè)置說(shuō)明圖

1.2 匹配中心因子和最大距離

通常圖像的結(jié)構(gòu)具有連續(xù)性［13］，圖像的某個(gè)體素值與其周圍的體素值存在一定的相關(guān)性，即圖像的某個(gè)體素（或像素）的鄰域具有充分的信息決定該體素值（或像素值）［8］。因此，若Ψq為邊界模板Ψp的最優(yōu)匹配塊，p′為Ψp填充后產(chǎn)生的邊界體素，則相應(yīng)的邊界模板Ψp′在Ψp周圍，如圖3所示，那么相應(yīng)的最優(yōu)匹配塊Ψq′也通常在Ψq的周圍，即體素q′通常在q的周圍。另一方面，填充Ψp后，新的邊界體素p′的邊界模板Ψp′中有1／8至1的已知體素與Ψp重疊，若Ψp與Ψq完全匹配，那么Ψp′與Ψq鄰近的相應(yīng)位置的樣本塊Ψq′的匹配度為1／8至1。當(dāng)修復(fù)圖像的結(jié)構(gòu)時(shí)，圖3中的p、p′1、p″，新產(chǎn)生的邊界模板中的所有已知體素都由剛填充的模板決定，與圖中相應(yīng)位置的樣本塊完全匹配。修復(fù)過(guò)程中，圖像的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)將不斷地向目標(biāo)區(qū)域傳播，新的邊界模板的信息將由周圍已填充的模板決定。因此，本算法提出了采用匹配中心因子來(lái)限定匹配塊的搜索范圍，將匹配塊搜索限定為局部搜索。匹配中心因子（MCF）是邊界體素相應(yīng)的匹配塊局部搜索區(qū)域的中心體素。當(dāng)MCF存在時(shí)，邊界體素的匹配塊局部搜索區(qū)域?yàn)橐訫CF為中心、大于或等于兩倍模板大小的立方體區(qū)域。在初始化時(shí)，各邊界體素的MCF為空，需全局搜索最優(yōu)匹配塊。當(dāng)填充邊界模板Ψp后，Ψp的最優(yōu)匹配塊Ψq的中心體素q即為新產(chǎn)生的邊界體素p′的匹配中心因子。

匹配中心因子的原理和設(shè)置過(guò)程如圖3所示。圖3a中的δΩ為初始邊界（白色缺損部分），算法會(huì)優(yōu)先修復(fù)圖像中結(jié)構(gòu)性較強(qiáng)的地方（如p點(diǎn)），p的MCF初始化為空，匹配塊的搜索區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)圖像的已知區(qū)域，搜索得到的最優(yōu)匹配塊是以點(diǎn)q為中心的樣本塊Ψq。填充完Ψp后，如圖3b所示，新的邊界點(diǎn)p′（如p′1和p′2）的 MCF設(shè)置為q，局部搜索得到的最優(yōu)匹配塊為以q′（如q′1和q′2）為中心的Ψq′。對(duì)于整個(gè)圖像而言，Ψq′為Ψp′的最優(yōu)匹配塊。匹配中心因子將匹配塊搜索限定為局部搜索，大大縮小了匹配搜索范圍。隨著修復(fù)的進(jìn)行，如圖3c所示，填充Ψp′后新產(chǎn)生的邊界體素p″的 MCF為q′1，最優(yōu)匹配塊為Ψq″。

最大距離表示在邊界體素p的匹配中心因子不為空的情況下，局部搜索得到的最優(yōu)匹配塊與其邊界模板的距離的最大范圍，作為跳出局部搜索的條件限制。即當(dāng)局部搜索得到的最優(yōu)匹配塊與邊界模板的距離大于最大距離時(shí)，表明此處的圖像結(jié)構(gòu)發(fā)生了突變，該匹配塊將不能作為其最優(yōu)匹配塊，需重新全局搜索其最優(yōu)匹配塊。邊界體素p′的最大距離表示為

式中：μ為比例參數(shù)，通常設(shè)定為1或臨近的值；p′為填充邊界模板Ψp后新產(chǎn)生的邊界體素，根據(jù)Ψp和其最優(yōu)匹配塊Ψq的距離，設(shè)置p′的最大距離。在設(shè)置p′的匹配中心因子的同時(shí)，設(shè)置其最大距離。該方法結(jié)合局部搜索和全局搜索的優(yōu)點(diǎn)，大大縮小了匹配搜索范圍，同時(shí)保證了匹配結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1.3 三維圖像修復(fù)算法的主要步驟

步驟1：設(shè)定模板大小、局部搜索區(qū)域大小，并提取待修復(fù)區(qū)域Ω的初始邊界δΩ0。

步驟2：計(jì)算邊界輪廓上所有體素的邊界模板的優(yōu)先級(jí)值P（p）。

步驟3：搜索最大優(yōu)先級(jí)值的邊界模板Ψp。

步驟4：根據(jù)邊界體素p的MCF和最大距離搜索最優(yōu)匹配塊Ψq，并填充相應(yīng)體素的灰度值。

步驟5：更新或設(shè)置置信度、邊界、新產(chǎn)生的邊界體素的MCF和最大距離，以及邊界模塊的優(yōu)先級(jí)值的相關(guān)信息。

步驟6：重復(fù)步驟3～5直至δΩ=?。

選取的模板具有三維空間結(jié)構(gòu)，通常為固定大小的立方體，其大小設(shè)定需有一定經(jīng)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中，我們將局部搜索區(qū)域設(shè)置為2倍模板大小的立方體區(qū)域。Ψp中新填充的體素的置信度設(shè)置為Ψp模板的置信度，即

當(dāng)填充完邊界模板Ψp后，只有Ψp周圍體素的缺損情況和信息發(fā)生了變化，其余邊界體素不變，因此只需搜索Ψp內(nèi)及其相鄰體素產(chǎn)生的新的邊界體素，并去除已填充的邊界體素，從而得到新的邊界，然后計(jì)算在以p為中心、2倍模板大小的立方體鄰域內(nèi)的所有邊界體素的模板的優(yōu)先級(jí)值。整個(gè)三維圖像修復(fù)算法的主要過(guò)程就是對(duì)步驟3～5的迭代，只需在算法的開始設(shè)定模板大小和局部搜索區(qū)域大小，并提取出初始邊界，修復(fù)過(guò)程將會(huì)自動(dòng)進(jìn)行直至修復(fù)完成。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

首先將算法應(yīng)用于存在較大范圍信息缺失且結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的三維圖像的修復(fù)，從而展示算法的修復(fù)過(guò)程和結(jié)果，以此驗(yàn)證算法的正確性。在此基礎(chǔ)上，再對(duì)存在較大范圍信息缺失的巖心三維圖像進(jìn)行修復(fù)。為了更加直觀、準(zhǔn)確地評(píng)估巖心三維圖像的修復(fù)結(jié)果，將真實(shí)的巖心CT序列圖人為地去除中間部分，模擬巖心三維圖像的信息缺失，并將修復(fù)結(jié)果與真實(shí)的原始巖心CT序列圖進(jìn)行直觀地對(duì)比觀察。同時(shí)，用文獻(xiàn)［5］中的三維圖像修復(fù)算法對(duì)巖心三維圖像進(jìn)行了相應(yīng)的修復(fù)實(shí)驗(yàn)，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與本文提出的算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了簡(jiǎn)單、直觀的對(duì)比。巖心三維圖像的修復(fù)不僅要保持視覺上的連續(xù)性，達(dá)到圖像修復(fù)的目的，同時(shí)要保持原始巖心的微觀統(tǒng)計(jì)特征。由于實(shí)際應(yīng)用中時(shí)常需要獲取巖心三維圖像的孔隙特性，且為了定量地統(tǒng)計(jì)分析各組實(shí)驗(yàn)的巖心微觀統(tǒng)計(jì)特征，本文計(jì)算了修復(fù)結(jié)果的孔隙結(jié)構(gòu)的兩點(diǎn)能量，以及對(duì)比了修復(fù)結(jié)果與原始巖心三維圖像的絕對(duì)孔隙度和有效孔隙度。

圖4 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的三維圖像的修復(fù)過(guò)程圖

2.1 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的三維圖像

圖4為簡(jiǎn)單規(guī)則的三維圖像的修復(fù)過(guò)程圖，第1幅圖為原始缺損圖，最后1幅圖為修復(fù)結(jié)果，其大小為64×64×64體素，缺失大小為20×64×64體素，設(shè)置的模板大小為7×7×7體素。由圖4的修復(fù)結(jié)果可以看出，三維圖像的缺失部分得到了很好地修復(fù)，保證了三維圖像空間結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，視覺上幾乎看不出原有的缺損，從而證明了算法對(duì)于三維圖像結(jié)構(gòu)修復(fù)的準(zhǔn)確性。圖4中的系列圖是按照一定的時(shí)間間隔選取的，清晰地展示了算法的修復(fù)過(guò)程，可以看出等照度面強(qiáng)度對(duì)于填充順序的影響，算法優(yōu)先選擇圖像的結(jié)構(gòu)進(jìn)行填充，很好地傳播了等照度面，有效地修復(fù)了圖像的結(jié)構(gòu)。同樣，由于置信度的影響，在等照度面的影響相同的情況下，算法將會(huì)優(yōu)先填充可靠信息較多的邊界模塊。

圖5 巖心三維圖像修復(fù)實(shí)驗(yàn)

2.2 巖心三維圖像

我們對(duì)多組存在較大范圍缺失的巖心三維圖像進(jìn)行了相應(yīng)的修復(fù)實(shí)驗(yàn)，圖5展示了其中1組比較典型的巖心三維圖像的修復(fù)。完整的原始巖心三維圖像的三維顯示和各個(gè)方向的切片如圖5a所示，其大小為128×128×128體素，該巖心圖像噪聲量較大，結(jié)構(gòu)不清晰，且有一定的紋理信息，是具有一定代表性的巖心三維圖像。目標(biāo)部分（缺失）大小為192 704體素，其結(jié)構(gòu)不規(guī)則，缺失后的圖像如圖5b，其中的zy切片為全白色，表示信息全部缺失的情況。圖5c為本文算法得到的修復(fù)結(jié)果，使用的模板大小為9×9×9體素。圖5d為采用基于PDE的三維圖像修復(fù)算法所得到的修復(fù)結(jié)果，其中的迭代步長(zhǎng)dt=0.001，迭代次數(shù)為104。由圖5d可以看出，基于PDE的三維圖像修復(fù)算法對(duì)大范圍缺失的巖心三維圖像的修復(fù)結(jié)果會(huì)存在明顯的模糊現(xiàn)象，且不能修復(fù)圖像的紋理細(xì)節(jié)，嚴(yán)重影響到巖心的紋理分析和滲流特性分析，直觀地說(shuō)明了該算法不適用于大范圍缺失的巖心三維圖像修復(fù)。本文的修復(fù)結(jié)果很好地填充了缺失部分，保證了三維圖像空間結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，保持了原始三維圖像中已知部分的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)特征。

表1給出了使用本文算法進(jìn)行的8組修復(fù)實(shí)驗(yàn)的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，其中的有效孔隙度［14］在一定程度上表示了孔隙的連通性。兩點(diǎn)概率函數(shù)S（r）常用于描述巖心孔隙結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特征，表示三維圖像中任意相隔距離為r體素的兩點(diǎn)都為同一相的概率。兩點(diǎn)能量［2-3］相當(dāng)于修復(fù)結(jié)果和原始三維圖像的兩點(diǎn)概率函數(shù)的差的平方和，在一定程度上描述了修復(fù)結(jié)果與原始三維圖像的微觀統(tǒng)計(jì)特性的差異。圖6展示了修復(fù)結(jié)果與原始三維圖像在x、y、z各個(gè)方向上的兩點(diǎn)概率函數(shù)S（r）。由表1中的兩點(diǎn)能量和圖6的兩點(diǎn)概率函數(shù)比較可以看出，修復(fù)結(jié)果與原始巖心圖像的兩點(diǎn)概率十分相近，修復(fù)結(jié)果保持了原始完整巖心圖像的統(tǒng)計(jì)特征，說(shuō)明此三維圖像修復(fù)算法對(duì)于巖心三維圖像的修復(fù)是準(zhǔn)確有效的。

表1 8組實(shí)驗(yàn)的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

圖6 表1中第3組實(shí)驗(yàn)兩點(diǎn)概率函數(shù)

3 結(jié) 論

本文提出的三維圖像修復(fù)算法能夠修復(fù)較大范圍缺失的巖心三維圖像，修復(fù)結(jié)果保持了三維圖像的空間連續(xù)性以及原始圖像的結(jié)構(gòu)和細(xì)節(jié)特征，修復(fù)結(jié)果與真實(shí)完整的三維圖像的形態(tài)結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計(jì)特性都極為相似。

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