張月梅

(1.長江大學 工程技術學院基礎部，湖北 荊州 434020；2.長江大學 信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434020)

0 引言

向量值函數(shù)[1]是現(xiàn)代數(shù)學分析的基礎，而向量值函數(shù)的導數(shù)在數(shù)學各研究領域中起著不可或缺的作用.向量值函數(shù)的導數(shù)有很多不同的定義，本文將主要討論應用較為廣泛的方向?qū)?shù)、Gateaux導數(shù)和Frechet導數(shù)[2-7]的有關概念、相互聯(lián)系及一些簡單的結(jié)果.

定義設向量值函數(shù)f:Rn→Rm，x,h∈Rn，t∈R且t>0，有如下定義：

(2)若f(x)在x處是方向可微的，且

則稱f(x)在x處是Frechet意義方向可微的.

(3)若存在一個線性算子A∈L(Rn,Rm)，使得對任何h∈Rn，有

(4)若存在一個線性算子A∈L(Rn,Rm)，使得對任何h∈Rn，有

首先要說明的是，由有限維空間范數(shù)的等價性可知，以上定義與所取范數(shù)無關；其次，和一維的情形一樣，以上定義的導數(shù)都是唯一的．我們以Gateaux導數(shù)為例，來說明這一點.

事實上，如果A1，A2都是f(x)在x處的Gateaux導數(shù)，則對任給的ε>0和任一h∈Rn存在充分小的t>0，使得

故A1=A2.同理可證方向?qū)?shù)和Frechet導數(shù)得唯一性.

1 主要結(jié)論

下面討論以上三種導數(shù)之間的聯(lián)系.從定義不難得出以下結(jié)論：

定理1設向量值函數(shù)f:Rn→Rm，x∈Rn，則有

(1)若f(x)在x處是Gateaux可微，則f(x)在x處是方向可微的；

(2)若f(x)在x處是Frechet可微，則f(x)在x處是Gateaux可微的.

證明：(1)可直接由定義得出，此時f(x)在x處沿任意方向h∈Rn的方向?qū)?shù)f′(x;h)都等于f(x)在x處的Gateaux導數(shù)A；

(2)設A是f(x)在x處是Frechet導數(shù)，則對于任意的h∈Rn，有

需要注意的是，上面兩條反過來都不成立，見如下例子：

例1定義f:R2→R如下：f(x)=sgn(x2)min(|x1|,|x2|)，則對任何h=(h1,h2)∈R2，有

即f(x)在x=0處方向可微，且沿方向h=(h1,h2)∈R2的方向?qū)?shù)為f′(0,h)=f(h)；但是由于f′(0,h)=f(h)寫成Ah(A∈L(R2,R))的形式，故f(x)在x處不是Gateaux可微的.

例2定義R2→R如下：

則對任何h=(h1,h2)∈R2，有

故f(x)在x=0處是Gateaux可微的，且Gateaux導數(shù)是0；但由于(以歐式范數(shù)為例)

不存在，故而函數(shù)f(x)在x=0處不是Frechet可微的.

事實上，有如下結(jié)論：

定理2設向量值函數(shù)f:Rn→Rm，x∈Rn，則有

(1)若f(x)在x處是方向可微的，且沿任意方向h∈Rn的方向?qū)?shù)f′(x,h)是h的線性函數(shù)，即f′(x，h)=Ah(A∈L(Rn,Rm))，則f(x)在x處是Gateaux可微的；

(2)若f(x)在x處是Gateaux可微的，且是Frechet意義方向可微的，則f(x)在x處是Frechet可微的.

證明：直接由定義可得.

由以上兩個定理，可得如下關系圖：

下面討論向量值函數(shù)的各種導數(shù)幾個重要性質(zhì)．作為一維情形的一個自然推廣，以Gateaux可微為例，其他類似，有：

定理4若函數(shù)f:Rn→Rm在x∈Rn處是Frechet可微的，則f在x處連續(xù).

‖f(x+h)-f(x)-Ah‖<ε‖h‖

由三角不等式有

‖f(x+h)-f(x)‖ ≤‖f(x+h)-f(x)-Ah‖+‖Ah‖

<ε‖h‖+‖A‖‖h‖=(ε+‖A‖)‖h‖

然而該結(jié)論對Gateaux可微不成立，如下例.

例3定義f:R2→R如下，其中x=(x1,x2)∈R2，

則對任何h=(h1,h2)∈R2，h1≠0，有

最后一個簡單結(jié)論是關于鏈式法則的：

定理5若f:Rn→Rm在x∈Rn處是Gateaux可微的，g:Rm→Rp在f(x)∈Rm處是Frechet可微的，則復合函數(shù)h=g°f在x處是Gateaux可微的，且有鏈式法則：

證明見文獻[8].

本文簡單討論了向量值函數(shù)的三種常用導數(shù)，以及他們之間的聯(lián)系和一些簡單的結(jié)論，關于向量值函數(shù)的導數(shù)還有其它一些定義形式，它們的性質(zhì)和應用是十分廣泛的，可參看相關文獻，如[9]、[10].

[1] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]沈 雁,王 瑋.關于向量值函數(shù)導數(shù)的若干結(jié)論[J].南京審計學院學報,2004,1(4):99～100.

[3]董立華,劉德金，等.向量值函數(shù)連續(xù)與可導的關系[J].廣西師范學院學報(自然科學版),2005,22(2):10～13.

[4]魏戰(zhàn)線.向量值函數(shù)的微分法在線性代數(shù)中的兩個應用[J].高等數(shù)學研究,2009,12(4):54～55.

[5]劉玉波,張鳳敏，等.關于有限維向量值函數(shù)一些注記[J].天津理工大學學報，2010,26(1)：53～57.

[6]王拉省,薛紅聶,贊 坎.向量值函數(shù)的Riemann-Stieltjes積分[J].數(shù)學的實踐與認識,2007,37(7):129～137.

[7]孔芳第,吳德芳.無窮區(qū)間上向量值函數(shù)的(H)積分[J].2008,34(1):164～167.

[8]Ortega J M,Rheinbdalt W C.Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables[M].New York:Academic Press,1970.

[9]張 強.廣義脈沖響應函數(shù)模型及其在我國貨幣的策略對程性方面的研究[J].吉林師范大學學報(自然科學版)，2012，33(4)：112～115.

[10]王 申，楊天茁.向量值函數(shù)的洛天定理及等價值[J].吉林師范大學學報(自然科學版)，2003，24(2)：68～70.