姜玉秋，韓 璐，華極鑫

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引言

假設(shè)放養(yǎng)雞和草原昆蟲(chóng)在同一環(huán)境中(內(nèi)蒙古大草原)，兩種群之間由于生育、死亡，相互作用，放養(yǎng)雞和草原昆蟲(chóng)的數(shù)量，將隨時(shí)間的變化而變化．以內(nèi)蒙古大草原為例我們用數(shù)學(xué)模型來(lái)描述和研究草原上放養(yǎng)雞和草原昆蟲(chóng)數(shù)量隨時(shí)間的變化趨勢(shì).

設(shè)在給定的小生境D中，在t時(shí)刻時(shí)，食餌(草原昆蟲(chóng))和捕食者(放養(yǎng)雞)的數(shù)量分別為x(t),y(t)．假設(shè)個(gè)體不分大小，而且沒(méi)有個(gè)體向D輸入或輸出.在此理想條件下，建立模型：

(0.1)

本文將對(duì)此模型進(jìn)行分析.為了方便討論，首先給出其中符號(hào)的含義：

1 系統(tǒng)分析

(1.1)

利用x*，y*滿足方程

(1.2)

將(1.2)代入(0.1)中 得

=-x[a(x-x*)+b(y-y*)] =y[c(x-x*)-d(y-y*)]

將模型化為

(1.3)

選取V函數(shù)

(1.4)

其中m，n都是待定的正常數(shù)

經(jīng)計(jì)算

=-max2+2maxx*-max*2-mbxy-mbxy*+mbx*y-mbx*y*
-ndy2+2ndyy*-ndy*2+ncxy-ncxy*-ncx*y+ncx*y*
=-ma(x2-2xx*+x*2)-mb(xy-xy*-x*y+x*y*)
-nd(y2-2yy*+y*2)+nc(xy-xy*-x*y+x*y*)
=-ma(x-x*)2-nd(y-y*)2+(nc-mb)(x-x*)(y-y*)
=-[ma(x-x*)2+nd(y-y*)2+(mb-nc)(x-x*)(y-y*)]

Δ=(mb-nc)2-4mnad<0

(1.5)

(1.6)

根據(jù)定理，可得到如下結(jié)論：

當(dāng)abcd>0r1d+r2b>0cr1-ar2>0 時(shí)

即當(dāng)cr1-ar2>0時(shí)，系統(tǒng)(0.1)有惟一的正平衡解.

C(x*,y*)，它是全局一致漸近穩(wěn)定的.

2 對(duì)系統(tǒng)模型利用Matlab軟件進(jìn)行演示

利用Matlab軟件對(duì)系統(tǒng)(0，1)模型進(jìn)行圖像模擬，，取r1=1,r2=1，c=2,a=1，b=3,d=1,在Matlab的命令窗口輸入相應(yīng)的語(yǔ)句可以畫(huà)出系統(tǒng)(0，1)分別過(guò)初值點(diǎn)(2，8，0.25)、(2.8，0.5)、(2.8，1.0)，(2.8，1.8)、(2.8，2.4)、(1.5，0.2)、(0.1，2.9)、(1.2，2.9)、(0，2.9)、(2.9，0)、(0.01，0)、(2.5，2.9)的曲線積分圖像如下：

由圖1可以看出，第一象限內(nèi)部軌線無(wú)限逼近于一點(diǎn)(0.5，0)，達(dá)到平衡位置，與實(shí)際分析相吻合[4].

圖1 草原昆蟲(chóng)和放養(yǎng)雞兩種群數(shù)量變化圖

對(duì)系統(tǒng)(0.1)模型的Matlab圖像顯示與理論分析相吻合.系統(tǒng)(0.1)存在唯一的正平衡點(diǎn).

3 主要結(jié)果的生物意義

放養(yǎng)雞是一種真正回歸自然的養(yǎng)雞模式.它不僅為優(yōu)美清新的大自然環(huán)境增添活力，而且真正達(dá)到了綠色食品的標(biāo)準(zhǔn).在當(dāng)今社會(huì)人們生活水平日益提高的情況下，放養(yǎng)雞的肉、蛋品質(zhì)無(wú)可挑剔.在國(guó)內(nèi)國(guó)際市場(chǎng)上具有較強(qiáng)的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力.

經(jīng)過(guò)理論分析和Matlab圖像顯示，在內(nèi)蒙古大草原上當(dāng)食餌(草原昆蟲(chóng))對(duì)捕食者(放養(yǎng)雞)的供養(yǎng)數(shù)量大于捕食者放養(yǎng)雞消耗資源時(shí),食餌本身增長(zhǎng)受到抑制，有利于放養(yǎng)雞的生長(zhǎng).同時(shí)捕食者(放養(yǎng)雞)增加時(shí)，食餌(草原昆蟲(chóng))會(huì)減少，二者之間有相互抑制的作用.最終草原生長(zhǎng)，放養(yǎng)雞養(yǎng)殖，草原昆蟲(chóng)都能達(dá)到一個(gè)平衡發(fā)展的狀態(tài).無(wú)論生態(tài)系統(tǒng)的起始狀態(tài)如何，最后放養(yǎng)雞和草原昆蟲(chóng)會(huì)最終達(dá)到平衡狀態(tài).在養(yǎng)殖過(guò)程中，我們就可以利用這個(gè)平衡點(diǎn)C(x*,y*),當(dāng)捕食者或食餌在突發(fā)情況下急劇減少(增加)時(shí)，我們可以人為的干預(yù)，使兩種群可以在它們各自環(huán)境容納量以下，特定密度下達(dá)到種群共同生存的生活狀態(tài)，達(dá)生物種群穩(wěn)定發(fā)展的目的[2].

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