周 雙，郭述峰

(1.中國科學(xué)院重慶綠色智能技術(shù)研究院 自動推理與認知重慶市重點實驗室,重慶 400714；2.廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

0 引言

目前，關(guān)于映射與回復(fù)性的研究已經(jīng)得到了很多有意義的結(jié)果，例如線段自映射與回復(fù)性的研究[1-9];圓周自映射的回復(fù)性[10-11];樹映射的回復(fù)性[12-15],集值映射的回復(fù)性[16]，“轉(zhuǎn)移自映射的回復(fù)性[17]以及斜積映射回復(fù)性點集中的周期點集研究[18]”.因為有界線性算子也是一種映射，而且線性算子是出現(xiàn)在各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有線性性質(zhì)的運算(例如線性代數(shù)中的線性變換、微分方程論、積分方程論中大量出現(xiàn)的微分、積分運算，積分變換等)的抽象概括.它是線性泛函分析研究的重要對象.關(guān)于線性算子的理論不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中有很好的應(yīng)用，同時也是量子物理學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一.但是對于有界線性算子的回復(fù)性研究很少，因此，本文對有界線性算子的回復(fù)性進行了研究.

1 預(yù)備知識

下面介紹與本文密切相關(guān)的一些基本概念和基本定理，它們均取自于文獻[19-22].

定義1.1設(shè)X，Y是兩個線性空間，D是x的一個線性子空間，f:D→Y是一種映射.D稱為f的定義域，有時記做D(f).R(f)={f(x)|?x∈D}稱為f的值域.如果f(αx+βy)=αf(x)+βf(y),(?α,β∈P)(其中P是數(shù)域)，那么稱f是一個線性算子.

定義1.2線性空間x上的范數(shù)‖·‖是一個非負值函數(shù),滿足

(1)‖x‖≥0(?x∈X),‖x‖=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0；

(2)‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖(?x,y∈X)；

(3)‖αx‖=|α|‖x‖(?α∈P,?x∈X)．

定義1.3設(shè)X，Y是兩個線性空間，稱線性算子f:X→Y是有界的.如果有常數(shù)M≥0,使得‖f(x)‖Y≤M‖x‖X(?x∈X).

定義1.4如果在一個非空集合G上定義了一個代數(shù)運算，稱為加法，記作a+b(或稱為乘法，記作a·b),而且它適合一下條件，那么G稱為一個群：

(1)對于G中任意元素a,b,c

a+(b+c)=(a+b)+c．

(2)在G中有唯一的元素0適合

0+a=a+0=a.(a是G中的任意元素)

(3)對于G中每一元素a，都有一元素-a使

(-a)+a=a+(-a)=0．

下面定義如果不特別說明，所說的空間X都是度量空間.

定義1.5設(shè)X是緊致度量空間，f是X上的連續(xù)自映射.f可以看作是X上的一個作用：每一個點x∈X在f作用下生成像點f(x).f(x)仍然是X中的點，可以對它連續(xù)作用，生成像點f(f(x))=f2(x).這個過程可以無限的下去，即f0=Id(即X上的恒等映射).f1=f,f2=f°f,一般地對n≥2，fn=fn-1°f,其中°表示映射的復(fù)合.

X上連續(xù)自映射序列{f0，f1，f2,…}叫做X上由連續(xù)自映射f經(jīng)迭代而生成的離散拓撲半動力系統(tǒng)，或稱單邊動力系統(tǒng).

當(dāng)f是X上的自同胚時，存在相反方向的迭代，因而得{…，f-n,…，f-1,f0,f1，…，fn,…}，這叫做X上由連續(xù)自同胚f經(jīng)迭代而生成的離散拓撲動力系統(tǒng)，或稱雙邊動力系統(tǒng).

下面定義的f是X上的連續(xù)自映射.

定義1.6若存在n∈X,使得fn(x)=x，且對任意的0

定義1.9設(shè)x∈X,若對x的任意領(lǐng)域U,存在整數(shù)n>0，使得fn(U)∩U≠?,則稱x為f的非游蕩點.f的全體非游蕩點的集合叫做f的非游蕩集，記作Ω(f).

定義1.11設(shè)x,y∈X，ε>0,若存在{x0,x1,…,xn}?X,使得x0=x,xn=y，且對于任意的0≤i≤n-1都有d(f(xi),xi+1)<ε成立，則稱{x0,x1,…,xn}為x到y(tǒng)的一個ε鏈，其長度為n+1.若存在從x到x自身的一個ε鏈，則稱x為f的鏈回歸點.f的全體鏈回歸點的集合叫做f的鏈回歸集，記作CR(f).

定理1.12設(shè)X，Y是兩個線性空間，線性算子f:X→Y是有界當(dāng)且僅當(dāng)f連續(xù).

2 主要結(jié)果

設(shè)X為緊致的賦范性空間,f是X上的有界線性算子. 則有以下定理

定理2.1若x∈F(f)，則αx∈F(f)，其中α∈P.

證明：因為x∈F(f),有f(x)=x，所以f(αx)=αf(x)=αx.從而αx∈F(f).

同理可證定理2.2

定理2.2若x∈P(f)，則αx∈P(f)，其中α∈P.

定理2.3若x∈AP(f)，則αx∈AP(f)，其中α∈P.

即αx∈AP(f).

定理2.4若x∈W(f)，則αx∈W(f)，其中α∈P.

fnk(αz)=αfnk(z)→αx(nk→∞)．

即αx∈W(f)．

同理可證下面兩個定理：

定理2.5若x1∈w(x,f)，則αx1∈w(αx,f)，其中α∈P.

定理2.6若x∈R(f)，則αx∈R(f)，其中α∈P.

定理2.7若x∈Ω(f)，則αx∈Ω(f)，其中α∈P.

即αx∈Ω(f).

2.當(dāng)α=0時，結(jié)論顯然成立.

定理2.8若x∈CR(f)，則αx∈CR(f)，其中α∈P.

(其中x0=xn=x).進而有

即αx∈CR(f).

2.當(dāng)α=0時，結(jié)論顯然成立.

定理2.9F(f),P(f)都是X中的線性子空間.

證明：1.?x∈F(f),?y∈F(f),則αx∈F(f),βy∈F(f).由于

f(αx+βy)=f(αx)+f(βy)=αx+βy．

故αx+βy∈F(f)，進而F(f)是X中的線性自空間.

2.?x∈F(f),?y∈F(f),則αx∈F(f),βy∈F(f)<故?nki，nk2使得

fnk1(αx)=αx,fnk2(βy)=βy．

取n=nk1nk2，有

fn(αx+βy)=fn(αx)+fn(βy)=fnk1nk2(αx)+fnk1nk2(βy)=αx+βy．

即αx+βy∈P(f)，進而P(f)是X中的線性子空間.

定理2.10(P(f),+),(F(f),+)都是群.

證明：由于P(f)對于加法運算是封閉的，又有(1)結(jié)合性：?x,y,z∈P(f),有(x+y)+z=x+(y+z);(2)單位元：?x∈P(f),0∈P(f),有x+0=0+x=x;(3)逆元：?x∈P(f),則-x∈P(f),進而有x+(-x)=(-x)+x=0；(4)單位元唯一：假設(shè)單位元不唯一，則存在e∈P(f)且e≠0．?x∈P(f),滿足x+e=e+x=x.現(xiàn)在取x=0，則0=0+e=e+0=e,這與e≠0矛盾，故單位元唯一.由以上可知(P(f),+)是群.

同理可證(F(f),+)是群.

定理2.11αw(x,f)=w(αx,f),其中α∈P且α≠0.

證明：“?”?x1∈w(x,f)，則αx1∈w(αx,f)，即aw(x,f)?w(αx,f).

2.當(dāng)α=0時，結(jié)論顯然成立.

綜上所述αw(x,f)=w(αx,f).

證明：由定理2.11 可以容易得出該結(jié)論.

定理2.13當(dāng)X為緊致的賦范性空間，對于?x,y∈X，有w(αx+βy,f)?aw(x,f)+βw(y,f),但反過來未必成立.

即w(αx+βy,f)?αw(x,f)+βw(y,f).

反過來不一定成立.

設(shè)x≠y,因為Ank1x→x(nk1→∞)這里nk1是偶數(shù).Ank2y→-y(nk2→∞)這里nk2是奇數(shù)，所以x∈w(x,A),-y∈w(y,A).但x-y?w(x+y,A),即

w(x,A)+w(y,A)?w(x+y,A).故w(αx,f)+w(βy,f)?w(αx+βy,f)．

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