魯坤

【摘 要】靜電場(chǎng)能量公式有用場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)表達(dá)的兩種形式。兩種形式的意義不同，適用范圍也不相同。許多教材中都涉及了靜電場(chǎng)能量公式，但都沒有詳細(xì)說(shuō)明這兩種形式所適用的確切范圍。

【關(guān)鍵詞】靜電場(chǎng)；能量；適用范圍

0.引言

很多文章與教材中都涉及了靜電場(chǎng)能量公式，然而都沒有詳細(xì)說(shuō)明電場(chǎng)能量與電勢(shì)能這兩種形式所適用的確切范圍。如下題（例）在求解問(wèn)題時(shí)就存在著不妥。

如圖1 所示，設(shè)電容器的兩個(gè)帶電極板面積為S，分別帶電+q和- q ，板間距為x，求二板間“相互作用能”。

圖1 平行板電容器

取坐標(biāo)軸x軸與二板垂直，坐標(biāo)原點(diǎn)在下極板上。設(shè)上極板為研究體系（體系1），下極板為外部體系（體系2），并取下極板產(chǎn)生的電勢(shì)?的參考點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。那么用電勢(shì)表達(dá)的靜電場(chǎng)互能公式W=?ρ?dV（1）求得W=x此結(jié)果是否正確姑且不說(shuō)，我認(rèn)為所使用的公式（1）不妥。因?yàn)槿舭创祟惱斫猓部蓱?yīng)用電勢(shì)表達(dá)靜電場(chǎng)互能的另一公式W=?ρ?1dV（2）來(lái)求解（本文將給出?ρ?2dV=?ρ2?1dV的證明） ，其中?1為研究體系（上極板）產(chǎn)生的勢(shì)。因?yàn)樵谕粏?wèn)題中，若用不同的互能公式求解，再將結(jié)果進(jìn)行比較時(shí)，電勢(shì)參考點(diǎn)應(yīng)取同一個(gè)（坐標(biāo)原點(diǎn)），即?1在下極板處也為零，從而有Wi=0。同一問(wèn)題，所得互能不同（兩種求法參考點(diǎn)相同），在處理該問(wèn)題時(shí)認(rèn)識(shí)有誤。通過(guò)分析可知，其錯(cuò)誤是沒有弄清公式的適用范圍。

1.一些能量公式用于無(wú)限大均勻帶電平面時(shí)所得結(jié)果不唯一的根源

上述平行板電容器是在無(wú)限大均勻帶電平面模型上建立起來(lái)的。按上面的思路，計(jì)算該情形互能會(huì)算出不唯一的矛盾結(jié)果。究其根本，是因?yàn)樯鲜鏊霉降倪m用范圍與問(wèn)題中所使用的物理模型的適用范圍不相協(xié)調(diào)所致。眾所周知，對(duì)無(wú)限大均勻帶電平面這樣的理想物理模型，其適用范圍不含無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)。因?yàn)樵跓o(wú)限遠(yuǎn)處看，帶電平面不可能無(wú)限大，都應(yīng)是有限大小的；同理，無(wú)限大均勻帶電模型，只可以是在近點(diǎn)范圍觀測(cè)和抽象出來(lái)的結(jié)果。即無(wú)限大均勻帶電平面與無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)不能同時(shí)出現(xiàn)在同一問(wèn)題中?，F(xiàn)在我們?cè)購(gòu)挠嘘P(guān)教材出發(fā)，回顧總能Wt、互能Wi和自能Ws之間的關(guān)系及其物理含義。靜電場(chǎng)總能公式若用場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)為Wt=?E·DdV（3）

利用矢量分析，式（3）又可寫為Wt=?ρ?dV-?D·dS（4）

其中S是V的邊界面。因?yàn)閃t是靜電場(chǎng)總能量，所以可將V取成整個(gè)空間，即S 在無(wú)限遠(yuǎn)。對(duì)于電荷分布在有限范圍內(nèi)的情形，若取無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，即?S=0，而D～1/r2，面積S～r2，面積分當(dāng)r→∞時(shí)趨于零，則由式（4）得

Wt=?ρ?dV（5）若取有限遠(yuǎn)r0點(diǎn)當(dāng)做電勢(shì)零點(diǎn)，由于ф～（1/r-1/r0） ， D～1/r2，而面積S～r2，所以當(dāng)r→∞時(shí)面積分不再趨于零，則此時(shí)Wt≠?ρ?dV可見，當(dāng)取無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，并整個(gè)空間都是模型的適用范圍時(shí)，式（5）才成立。

下面再證明式（1）和（2）相等，同時(shí)也能進(jìn)一步說(shuō)明其適用范圍與例模型的適用范圍不相協(xié)調(diào)。若用 ф1和ρ1分別為研究體系的所產(chǎn)生的勢(shì)和電荷分布；用ф2和ρ2分別表示外部體系的所產(chǎn)生的勢(shì)和電荷分布。當(dāng)取無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)時(shí)，式（5）可寫為Wt=?（ρ1+ρ2）（ф1+ф2）dV（6）則互能和自能分別為W=?ρ?2dV+?ρ2?1dV（7）、W=?ρ?1dV+?ρ2?2dV（8）

推廣到一般情況， Wt、Wi和Ws的物理意義為：設(shè)帶電體系由若干個(gè)帶電體組成，帶電體系的總靜電能Wt由各帶電體之間的相互作用能Wi每一個(gè)帶電體的自能Ws組成；把每一個(gè)帶電體看成一個(gè)整體，把各帶電體從無(wú)窮遠(yuǎn)移到現(xiàn)在位置所作的功，為它們之間的相互作用能；把每一個(gè)帶電體上的各部分電荷從無(wú)限分散的狀態(tài)聚集起來(lái)時(shí)所作的功，等于這個(gè)帶電體的自能；而式（6）、（7）和（8）都是取了無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)的結(jié)果。對(duì)整個(gè)空間都適用的物理模型，其電荷分布（以體分布為例，點(diǎn)、線、面分布與此相近，不再贅述） 應(yīng)在有限范圍。若電荷分布在有限范圍，可取無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)；反之，如果分布在無(wú)限遠(yuǎn)處的是無(wú)限多電荷，就不能選無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。設(shè)電荷分布在有限空間，取真空中的無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)（只有取真空中的無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，才可下述表示），則研究體系和外部電荷體系所產(chǎn)生的勢(shì)分別為：?1=?（9）、?2=?（10）把式（9）和（10）代入式（7），即可證得Wt=?ρ1?2dV=?ρ2?1dV（11）現(xiàn)在又可看出，只有對(duì)可取無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)的物理模型，式（1）、（2）、（5）和式（6）～（11）才成立。由以上分析可知，例出現(xiàn)的錯(cuò)誤是將取了無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)、且只適用于整個(gè)空間的靜電場(chǎng)能量公式用于了不能取無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)、也不適用于整個(gè)空間的物理模型（無(wú)限大均勻帶電平面）的結(jié)果。而且例用式（1）求得的均勻帶電平行板電容器的能量也不是相互作用能Wi，嚴(yán)格講，它是電勢(shì)能。

2.兩種靜電場(chǎng)能量公式的等價(jià)性

2.1靜電場(chǎng)能量公式可以寫作

U=??dVdV可進(jìn)一步寫為U=??dVdV'

設(shè)φ（r）=?dV'則U=?ρ（r）φ（r）dV

由真空中的高斯公式?·E= E=-?φ

可得靜電場(chǎng)的泊松公式-?2φ=

將上式帶入靜電荷的能力公式U=?ρ（r）ρ（r）dV可得U=?-εφ（r）?2φ（r）dV

由-?2φ=帶入，得U=?EdV

可見兩個(gè)計(jì)算靜電場(chǎng)能量的公式U=??dVdV'和U=?EdV是等價(jià)的。

2.2兩電荷組成的電場(chǎng)的總能量

電場(chǎng)的能量是根據(jù)能量分布在整個(gè)電場(chǎng)中，各處的（下轉(zhuǎn)第273頁(yè)）（上接第264頁(yè)）能量體密度為U=

2

計(jì)算得到總的能量為U=

2dV

兩個(gè)帶電體所形成的的合場(chǎng)強(qiáng)為應(yīng)該是各電荷分別產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng) 1，2的矢量和，即=1+2將合場(chǎng)強(qiáng)帶入總的能

U=?

2dV=?（1+2）2dV

=?

2dV+=?

2dV+=?21·2dV

因此U1=?

12dV、U2=?

22dV、U12=?21·2dV

U1、U2是二帶電體所具有的固有能量，U12二者的相互作用能，因?yàn)榇朔N能量的計(jì)算方式和利用點(diǎn)電荷計(jì)算能量的公式是等價(jià)的，所以相互作用能還可寫成

U12=

由于

12+

22≥2

1

·2，所以U總是大于0的，但是相互作用能U12=（ U12=?21·2dV）的正負(fù)卻是由兩個(gè)帶電體的帶電情況而定。

假如兩個(gè)點(diǎn)電荷是±q，那么相互作用能是負(fù)的。從上面的公式可知，相互作用能U12=（U12=?21·2dV）是總能量一部分，而系統(tǒng)的總能量U=?E2dV與±q之間的相互作用能U12=表面上看不相容，其根本原因是因?yàn)槎叩囊饬x不同。 [科]

【參考文獻(xiàn)】

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