徐曉惠， 張繼業(yè)， 趙 玲

(1. 西華大學交通與汽車工程學院，四川 成都610039;2. 西南交通大學牽引動力國家重點實驗室，四川 成都610031)

眾所周知，神經(jīng)網(wǎng)絡在信號處理、模式識別、聯(lián)想記憶等領域取得了廣泛的應用［1-2］. 神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的存在性與穩(wěn)定性是其應用的前提條件，因此學者們對不同類型的神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的動力學行為進行了深入研究，并取得了很多重要的研究成果［3-10］.文獻［1-10］的研究成果都是針對實值神經(jīng)網(wǎng)絡進行展開的. 然而，實值神經(jīng)網(wǎng)絡在一些領域里應用時具有一定的局限性. 例如在交通系統(tǒng)中，當采用復值神經(jīng)網(wǎng)絡取代實值神經(jīng)網(wǎng)絡進行路牌識別后，由于復值信號攜帶的信息較實值信號更加豐富，可明顯減少錯誤，提高路牌識別的準確度［11］.鑒于復值神經(jīng)網(wǎng)絡應用越來越廣泛，并且具有比實值神經(jīng)網(wǎng)絡更加復雜的性質，因此對復值神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的動力學行為研究是非常必要的.文獻［12］研究了一類離散復值神經(jīng)網(wǎng)絡，并給出了判定平衡點存在性、唯一性和指數(shù)穩(wěn)定的判定定理.文獻［13］在假設復值激活函數(shù)關于神經(jīng)元狀態(tài)分別滿足有界或Lipschitz 條件的情況下，利用LMI 方法研究了一類具有固定時滯的復值神經(jīng)網(wǎng)絡平衡點的動態(tài)行為. 此外文獻［14-16］也對復值神經(jīng)網(wǎng)絡的動態(tài)行為進行了深入研究.

綜上分析，雖然關于復值神經(jīng)網(wǎng)絡動態(tài)行為的研究已經(jīng)取得了一些成果，然而所研究的復值神經(jīng)網(wǎng)絡模型都較為簡單.在實際應用時，一方面，在網(wǎng)絡的硬件實現(xiàn)中，由于信號傳輸速度的有限性，使網(wǎng)絡系統(tǒng)中時間滯后不可避免.在神經(jīng)網(wǎng)絡中引入時間滯后參量，有利于移動目標的圖像處理、移動物體速度的確定和模式分類. 另一方面，一般情況下，在神經(jīng)元較少的時滯神經(jīng)網(wǎng)絡中，有限時滯是一種較好的近似模型. 然而，由于網(wǎng)絡中各種并行通道的存在，使網(wǎng)絡具有一定的空間特征，這使得學者們試圖通過分布時滯來模擬網(wǎng)絡的時滯.目前關于復值神經(jīng)網(wǎng)絡動態(tài)行為的研究尚未在模型中考慮混合時滯的情形. 因此，本文將在一類復值神經(jīng)網(wǎng)絡模型中同時考慮可變時滯和分布時滯，利用矢量Lyapunov 函數(shù)法和M 矩陣理論，研究其平衡點的存在性、唯一性以及指數(shù)穩(wěn)定性.

1 模型描述、基本假設以及引理

考慮如下混合時滯復值神經(jīng)網(wǎng)絡:

式中:μkj(β)是［0，δ)上的連續(xù)函數(shù)，且μkj(0)=1，這里δ ＞0.

假設系統(tǒng)(1)的初始條件是zk(s)=φk(s)，其中φi(s)為(-∞，0］上的有界連續(xù)函數(shù).

記z#=(，…)T為系統(tǒng)(1)的平衡點.

定義1 若存在常數(shù)Γ ＞0 和λ ＞0，對于所有J∈Cn及t≥0，有

成立，則稱系統(tǒng)(1)的平衡點z#是指數(shù)穩(wěn)定的.

令L=diag(l1，l2，…，ln).

引理1［2］對于矩陣A =(akj)n×n∈Rn×n，如果所有非對角元素akj≤0，k≠j，則下面陳述是等價成立的:

(1)A 是M 矩陣;

(2)A 的各階順序主子式均為正;

(3)存在u∈Rn＞0，使得Au ＞0;

(4)A 的所有特征根的實部為正.

定義H(z)=［H1(z)，H2(z)，…，Hn(z)］T是與系統(tǒng)(1)相關的一個映射，其中

若H(z)是Cn上的同胚映射，那么顯然系統(tǒng)(1)具有唯一平衡點z#.

2 主要結論

定理1 若假設1 是成立的，且矩陣W =(wkj)n×n是M 矩陣，那么對于任意輸入J∈Cn，系統(tǒng)(1)存在唯一平衡點z#，其中

證明 由于矩陣W=(wkj)n×n是M 矩陣，根據(jù)引理1 可知，存在正向量ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，使得

那么存在一個充分小的正數(shù)使得不等式(4)成立:

下面將證明映射H(z)是一個同胚映射.

(1)首先證明Hk(z)是單葉映射.

若存在u，v ∈Cn，且u ≠v，使得Hk(u)=Hk(v)，即

將式(5)兩邊同時乘以(uk-vk)*，整理有

將式(6)兩邊同時取模，并考慮到假設條件1，有

將式(7)進一步整理，有

其中

即

將式(9)兩邊同時取共軛，有

進一步，將式(9)和式(10)相加，并考慮到假設1，有

將式(11)兩邊同時乘以ξk，k =1，2，…，n，并求和得到

利用Holder 不等式，進一步整理式(12)，有

綜合(1)、(2)可知映射H(z)是Cn上的一個同胚映射，因此系統(tǒng)(1)存在唯一平衡點.

接下來將給出判定系統(tǒng)(1)的平衡點z#指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.

定理2 若假設1 是成立的，且矩陣W =(wkj)n×n是M 矩陣，那么任意外部常輸入J∈Cn，系統(tǒng)(1)的平衡點z#是指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 令～z=z-z#，則系統(tǒng)(1)可改寫為

式中:gj(～zj)=fj(zj)-fj().

方程(14)的初始條件為ψk(s)=φk(s)-，-∞＜s≤0.由定理2 條件可知系統(tǒng)(1)的平衡點z#存在且唯一，故方程(14)存在唯一平衡點～z=0.

構造函數(shù):

根據(jù)式(3)可知:

由于Fk(β)是關于β 的連續(xù)函數(shù)，必然存在常數(shù)λ ＞0，使得Fk(λ)＜0，即

選擇如下向量Lyapunov 函數(shù):

在不引起混淆的情況下，將Vk(～zk(t)，t)記作Vk(t)，k=1，2，…，n.

計算Vk(t)沿方程(14)的導數(shù)，并考慮到假設1，有

定義曲線ζ={η(χ)∶ηk=ξkχ，χ ＞0，k =1，2，…，n}和集合Ω(η)={h∶0≤h≤η，η∈ζ}.顯然當χ ＞χ'，Ω(η(χ))?Ω(η(χ')).

根據(jù)定義1 知，系統(tǒng)(14)的零解～z =0 是指數(shù)穩(wěn)定的，也就是說系統(tǒng)(1)的平衡點～z#=0 是指數(shù)穩(wěn)定的.

當系統(tǒng)(1)中矩陣P =0 時，該系統(tǒng)僅含有可變時滯，即

當系統(tǒng)(1)中矩陣B =0 時，該系統(tǒng)僅含有無窮時滯，即

系統(tǒng)(19)和(20)中的符號定義與系統(tǒng)(1)是相同的.進而，由定理1 和定理2 很容易得到如下推論:

推論1 若假設1 是成立的，且矩陣W =(wkj)n×n是M 矩陣，那么對于任意輸入J∈Cn，系統(tǒng)(19)存在唯一指數(shù)穩(wěn)定的平衡點z#，其中

推論2 若假設1 是成立的，且矩陣W =(wkj)n×n是M 矩陣，那么對于任意輸入J∈Cn，系統(tǒng)(20)存在唯一指數(shù)穩(wěn)定的平衡點z#，其中

注1 當系統(tǒng)(19)中可變時滯τkj為固定常數(shù)τj(j=1，2，…，n)時，文獻［13］采用LMI 方法對此類復值神經(jīng)網(wǎng)絡的動態(tài)行為進行了研究，并得到了相應的穩(wěn)定性判定條件，見定理4［13］. 由于基于LMI 方法(本質上屬于加權Lyapunov 函數(shù)法)所得到的穩(wěn)定性判據(jù)含有待定矩陣，即文獻［13］中的判據(jù)是隱式的，因此不便于應用. 本文所得到的判據(jù)是基于向量Lyapunov 函數(shù)法所得到的顯式判據(jù)，不但形式簡單且應用方便.

注2 當系統(tǒng)(1)中的神經(jīng)元狀態(tài)定義在實數(shù)域時，模型(1)與文獻［2］所研究的實值神經(jīng)網(wǎng)絡模型相同，故本文所研究的模型更具有一般性. 此時，本文的研究方法和所建立的判據(jù)對相應的實值神經(jīng)網(wǎng)絡仍然適用.

3 算 例

考慮如下復值神經(jīng)網(wǎng)絡:

其中:z1(t)=x1(t)+y1(t)i，

z2(t)=x2(t)+y2(t)i.

假設自反饋矩陣

加權矩陣分別為

激活函數(shù)為

外部輸入J1=J2=0.

經(jīng)計算，有

進一步計算，有

由引理1 可知矩陣W 是M 矩陣. 根據(jù)定理1和定理2 可以得出結論:系統(tǒng)(21)存在唯一平衡點，且該平衡點是指數(shù)穩(wěn)定的.

令系統(tǒng)(21)中的可變時延為

令

令初始條件為

圖1 給出了系統(tǒng)(21)的神經(jīng)元實部狀態(tài)曲線和虛部狀態(tài)曲線，圖2 給出了該系統(tǒng)的神經(jīng)元狀態(tài)幅值曲線.由仿真結果可以看出系統(tǒng)(21)的平衡點是唯一存在且穩(wěn)定的.

圖1 神經(jīng)元狀態(tài)曲線Fig.1 The state curves of neuro of Eq. (21)

圖2 神經(jīng)元狀態(tài)幅值曲線Fig.2 The amplitude curves of neuro states of Eq. (21)

4 結束語

本文研究了一類具有可變時滯和無窮時滯的復值神經(jīng)網(wǎng)絡的動態(tài)行為. 假設神經(jīng)元狀態(tài)、加權矩陣以及激活函數(shù)定義在復數(shù)空間.首先利用同胚映射相關引理以及M 矩陣理論，分析了系統(tǒng)平衡點的存在性和唯一性. 然后利用向量Lyapunov 函數(shù)法，研究了該系統(tǒng)平衡點指數(shù)穩(wěn)定性，并得到了判定該系統(tǒng)存在性、唯一性和指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件.最后通過一個數(shù)值仿真算例驗證了所得到結論的正確性.

致謝:西華大學重點科研基金項目(No.zl320312);汽車工程四川省高等學校重點實驗室開放研究基金資助項目(szjj2013-030).

［1］ LAMPINEN J，VEHTATI A. Bayesian approach for neural networks:review and case studies［J］. Neural Networks，2001，14(3):257-274.

［2］ ZHANG Jiye， SUDA Y， IWASA T. Absolutely exponential stability of a class of neural networks with unbounded delays［J］. Neural Networks， 2004，17(3):391-397.

［3］ 龍?zhí)m，徐曉惠，張繼業(yè). 時滯Cohen-Grossberg 神經(jīng)網(wǎng)絡的全局穩(wěn)定性［J］. 西南交通大學學報，2008，43(3):381-386.LONG Lan，XU Xiaohui，ZHANG Jiye. Global stability analysis in Cohen-Grossberg neural networks with unbounded time delays［J］. Journal of Southwest Jiaotong University，2008，43(3):381-386.

［4］ SHAO Jinliang，HUANG Tingzhu，ZHOU Sheng. Some improved criteria for global robust exponential stability of neural networks with time-varying delays［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2010，15(12):3782-3794.

［5］ ZHANG Huaguang，WANG Zhanshan，LIU Derong.Global asymptotic stability of recurrent neural networks with multiple time-varying delays［J］. IEEE Transactions on Neural Networks，2008，19(5):855-873.

［6］ LIN Da，WANG Xingyuan. Self-organizing adaptive fuzzy neural control for the synchronization of uncertain chaotic systems with random-varying parameters［J］.Neurocomputing，2011，74(12/13):2241-2249.

［7］ HUANG Yujiao， ZHANG Huaguang， WANG Zhanshan. Dynamical stability analysis of multiple equilibrium points in time-varying delayed recurrent neural networks with discontinuous activation functions［J］. Neurocomputing，2012，91(1):21-28.

［8］ BAO Gang， ZENG Zhigang. Analysis and design of associative memories based on recurrent neural network with discontinuous activation functions［J］.Neurocomputing，2012，77(1):101-107.

［9］ ZHU Song，LOU Weiwei，SHEN Yi. Robustness analysis for connection weight matrices of global exponential stability of stochastic recurrent neural networks［J］. Neural Networks，2013，38(1):17-22.

［10］ ENSARI T，ARIK S. New results for robust stability of dynamical neural networks with discrete time delays［J］. Expert Systems with Applications，2010，37(8):5925-5930.

［11］ 楊杰，王直杰，董宗祥. 復數(shù)Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡在路牌識別中的應用［J］. 微計算機信息，2010，26(8):161-163.YANG Jie，WANG Zhijie，DONG Zongxiang. Road sign recognition using complex-valued Hopfield neural network［J］. Microcomputer Information， 2010，26(8):161-163.

［12］ SREE H R V，MURTHY G R. Global dynamics of a class of complex valued neural networks［J］.International Journal Neural Systems，2008，18(2):165-171.

［13］ HU Jin，WANG Jun. Global stability of complexvalued recurrent neural networks with time-delays［J］.IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2012，23(6):853-864.

［14］ LEE D Q. Relaxation of the stability condition of the complex-valued neural networks［J］. IEEE Transaction on Neural Networks，2001，12(5):1260-1262.

［15］ LIU Xiaoyu，F(xiàn)ANG Kangling，LIU Bin. A synthesis method based on stability analysis for complex-valued Hopfield neural network［C］∥Proceedings of the 7th Asian Control Conference. Hong Kong:［s. n.］，2009:1245-1250.

［16］ DUAN Chengjun，SONG Qiankun. Boundedness and stability for discrete-time delayed neural network with complex-valued linear threshold neurons［J］. Discrete Dynamics in Nature and Society，2010:368379-1-368379-19.