葉修松，何雨帆，曾 光，郭 海

（1.宇航動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710043；2.中國(guó)西安衛(wèi)星測(cè)控中心，西安 710043）

1 引言

由于地球自轉(zhuǎn)參數(shù)（Earth rotation parameters，ERP）的解算過(guò)程比較復(fù)雜，甚長(zhǎng)基線干涉測(cè)量（very long baseline interferometry，VLBI）、衛(wèi)星激光測(cè)距（satellite laser ranging，SLR）等高精度觀測(cè)手段往往需要幾天甚至更長(zhǎng)的時(shí)間才能獲取其變化值；全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）盡管解算速度較快（約3h），但GPS解算有較大的系統(tǒng)影響，長(zhǎng)期穩(wěn)定性不好，需要用VLBI和SLR解來(lái)進(jìn)行修正［1］。因此，這些參數(shù)實(shí)際上是無(wú)法實(shí)時(shí)獲得的。由于極移和日長(zhǎng)的變化受眾多激發(fā)源的影響，其變化不僅具有一定的線性趨勢(shì)及多種周期變化趨勢(shì)，同時(shí)還包括了復(fù)雜的不規(guī)則變化特性，這給預(yù)測(cè)工作帶來(lái)了極大的困難。往往是預(yù)測(cè)幾天之后，其預(yù)測(cè)誤差便遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其觀測(cè)誤差。因此，對(duì)ERP的預(yù)測(cè)算法進(jìn)行研究，建立更為合理、有效的預(yù)測(cè)模型，提高地球自轉(zhuǎn)參數(shù)的預(yù)報(bào)精度，具有十分重要的意義［2－4］。

為此，本文擬采用自回歸滑動(dòng)平均模型（autoregressive moving average，ARMA）對(duì)ERP進(jìn)行短期預(yù)報(bào)。該算法在于它不受地球自轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型等因素的制約，具有計(jì)算速度快、算法穩(wěn)定可靠等優(yōu)點(diǎn)。

2 長(zhǎng)自回歸白噪化方法

ARMA（p，q）序列參數(shù)估計(jì)的較為有效且簡(jiǎn)便的方法是 “長(zhǎng)自回歸白噪化方法”。長(zhǎng)自回歸白噪化方法的基本思想是認(rèn)為隨機(jī)序列｛Xt｝ 可以用階數(shù)較低的自回歸模型擬合，擬合的殘差作為白噪聲的估計(jì)，再用最小二乘法的原理，估計(jì)出參數(shù)＝ （φ1，…，φp）和＝ （θ1，…，θp）。這一方法的特點(diǎn)是全部求解過(guò)程都是解線性方程組，避免了非線性運(yùn)算。

長(zhǎng)自回歸白噪化方法的步驟為：

設(shè)有ARMA（p，q）序列 ｛Xt｝的一段樣本X1，X2，…，XN。

（1）先用AR（pN）模型擬合一段樣本，pN取適當(dāng)?shù)牡碗A，AR（pN）的參數(shù)是φ1，…，φpN。按照AR（p）序列參數(shù)的矩估計(jì)，由樣本值X1，X2，…，XN，可以求出φ1，…，φpN的矩估計(jì)量，…，［5－7］。

（2）由于 AR（pN）模型為

將，…代入此式左端，就得到αt的估計(jì)值：

如果AR（pN）擬合的好，就應(yīng)當(dāng)是白噪聲序列，如果擬合的不好，就不是白噪聲序列。是否為白噪聲序列，可以直接用 “周期圖法”進(jìn)行檢驗(yàn)。如果不是白噪聲序列，就要改變pN的值，直到｝ 為白噪聲序列為止。

（3）對(duì)于 ARMA（p，q）序列：

有

記

在S（）的表達(dá)式中，Xt，Xt－1，…，Xt－p是已知的樣本值，αt－1，…，αt－q是由（4）式算得的αt的估計(jì)值，求和符號(hào)Σ的下標(biāo)取為p＋q＋1是由于要計(jì)算出αt－q必需要求t≥p＋q＋1。

按最小二乘法的原理來(lái)確定未知參數(shù)φ1，…，φp，φ1，…，φp的估計(jì)值，…，，，…，。即要求

3 計(jì)算策略

3.1 日長(zhǎng)變化的預(yù)報(bào)

日長(zhǎng)（length of day，LOD）與 UT1－UTC是可以相互轉(zhuǎn)換的，即扣除UT1－UTC的跳秒后，再作差分，結(jié)果的相反數(shù)即為L(zhǎng)OD。UT1為世界時(shí)（universal time）、UTC為協(xié)調(diào)世界時(shí)（coordinated universal time）、TAI為原子時(shí)（international atomic time）、UT1R－TAI為從 UT1－TAI序列中減去潮汐分量的部分為，UT2R－TAI為從UT1RTAI序列中減去地球自轉(zhuǎn)的周期性季節(jié)變化的部分。因此，對(duì)LOD的預(yù)報(bào)可以轉(zhuǎn)換為對(duì)UT1－UTC的預(yù)報(bào)［1］。UT1－UTC的預(yù)報(bào)流程如圖1所示［8］。

圖1 日長(zhǎng)變化預(yù)報(bào)的流程圖

3.2 極移的預(yù)報(bào)

極移變化的預(yù)報(bào)算法如圖2所示，包括建立預(yù)測(cè)模型和外推預(yù)測(cè)兩個(gè)部分。在建立預(yù)測(cè)建模時(shí)，用最小二乘法計(jì)算出趨勢(shì)項(xiàng)和周期項(xiàng)的擬合系數(shù)，計(jì)算公式為［9－10］

對(duì)于極移殘差序列的預(yù)報(bào)也采用ARMA算法實(shí)現(xiàn)，極移序列ARMA預(yù)報(bào)的原理類同于日長(zhǎng)變化的預(yù)報(bào)。

圖2 極移序列預(yù)報(bào)的流程圖

4 計(jì)算與分析

計(jì)算與分析的數(shù)據(jù)來(lái)源于地球自轉(zhuǎn)服務(wù)（international Earth rotation service，IERS）官方網(wǎng)站公布的ERP時(shí)間序列。該序列包含1962－01－01至今的地球定向參數(shù)值，采樣間隔為1d。實(shí)際計(jì)算選取6a極移時(shí)間作為基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度，因?yàn)?a接近Chandler周期與周年的最小公倍數(shù)，這樣更能體現(xiàn)地球自轉(zhuǎn)參數(shù)的周期特征。采用ARMA模型要求時(shí)間序列必須為平穩(wěn)的隨機(jī)序列，通過(guò)上述的ERP計(jì)算策略分析發(fā)現(xiàn)，僅對(duì)ERP時(shí)間序列扣除周期項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)之后所得的ERP殘差子時(shí)間序列隨機(jī)序列的波動(dòng)性較明顯、平穩(wěn)性較差，而基于殘差作二次差分后的子時(shí)間序列的波動(dòng)更趨于平穩(wěn)，更接近零均值。因此，本文基于自主編寫的ERP短期預(yù)報(bào)軟件分析了ERP殘差子時(shí)間序列與殘差作二次差分后的子時(shí)間序列對(duì)ARMA模型的適用性。

圖3 PX殘差序列預(yù)報(bào)7d的結(jié)果

圖4 PX二次差分后殘差序列預(yù)報(bào)7d的結(jié)果

圖5 PY殘差序列預(yù)報(bào)7d的結(jié)果

圖6 PY二次差分后殘差序列預(yù)報(bào)7d的結(jié)果

圖7 UT1－UTC殘差序列預(yù)報(bào)7d的結(jié)果

圖8 UT1－UTC二次差分后殘差序列預(yù)報(bào)7d的結(jié)果

從圖3～圖8可以得出，基于殘差二次差分后的預(yù)報(bào)結(jié)果明顯要優(yōu)于直接使用殘差預(yù)報(bào)的結(jié)果，其主要原因是剔除周期項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)的殘差（包括一次殘差差分）序列沒(méi)有明顯的規(guī)律特征，其平穩(wěn)性還不能滿足平穩(wěn)隨機(jī)序列的條件。而基于殘差二次差分后的殘差子時(shí)間序列的波動(dòng)更趨于平穩(wěn)，更接近零均值。

表1 基于ARMA算法的ERP 短期預(yù)報(bào)結(jié)果

從表1可知，直接采用殘差時(shí)間序列預(yù)報(bào)1d的ERP精度約為：PX＝10mas，PY＝0.9mas，UT1－UTC＝0.5ms；采用殘差殘二次差分后的時(shí)間序列預(yù)報(bào)1d的ERP精度約為：PX＝0.1ms，PY＝0.4mas，UT1－UTC＝0.003ms。綜上所述，本文采用的基于非線性自回歸的ERP短期預(yù)報(bào)精度與IERS公布的結(jié)果相當(dāng)。

5 結(jié)論與分析

本文采用線性自回歸方法對(duì)地球自轉(zhuǎn)參數(shù)進(jìn)行短期預(yù)報(bào)，并與EOPPCC的結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證預(yù)報(bào)模型的有效性。本文提出的基于ARMA的ERP短期預(yù)報(bào)技術(shù)已達(dá)到國(guó)際水平。本文還通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，基于ARMA方法進(jìn)行ERP時(shí)間序列預(yù)報(bào)時(shí)，要求ERP時(shí)間序列不能過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短，其主要原因是數(shù)據(jù)精度不一致，從而影響預(yù)報(bào)精度。本文同時(shí)還驗(yàn)證了文獻(xiàn) ［2］提出的采用6a極移時(shí)間作為基礎(chǔ)序列長(zhǎng)度的有效性。另外，本文僅采用ERP時(shí)間序列本身來(lái)進(jìn)行預(yù)報(bào)，沒(méi)有考慮與之有極強(qiáng)相關(guān)性的大氣角動(dòng)量，這也是本文的不足之處。

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