祝禎禎，盧 濤

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

完全分配格上矩陣的若干研究

祝禎禎，盧 濤

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

在完全分配格上定義了格矩陣，以及對稱矩陣、冪等矩陣、逆矩陣等，通過給出了格矩陣的若干運算性質(zhì)，討論了有關(guān)對稱矩陣、冪等矩陣的一些性質(zhì)和定理，并給出證明．

格矩陣；對稱矩陣；冪等矩陣

0 引言及預(yù)備知識

矩陣是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中非常重要的概念，人們不僅關(guān)心數(shù)環(huán)與數(shù)域上的矩陣，還關(guān)心格上的矩陣．本文利用在完全分配格L上定義的矩陣各種運算，給出了格上矩陣的一些性質(zhì)．

設(shè)L(∧，∨)是一個有最小元0與最大元1的完全分配格，用Mn(L)(n∈Z+)表示L上所有n×n矩陣的集合，用aij表示格矩陣A的第i行第j列元素，aij∈L，

以下矩陣均屬于Mn(L)．

1 基本概念

定義2若L是一個偏序集，A，B∈Mn(L),當(dāng)aij≤bij，aij,bij∈L，(i,k=1,2…n)時，稱A≤B．

定義3對于任意的A，B，E∈Mn(L),

2)若A=(aij)，則稱AT=(aji),(i，j=1,2…n)為A的轉(zhuǎn)置．

3)A∩AT=(aijaji)，(i,j=1,2…n)

4)A+B=(aij)+(bij)=(aij∨bij)，(i，j=1,2…n)．

定義4ⅰ)若AT=A，則稱A為對稱矩陣；

ⅱ)若A2=A，則稱A為冪等矩陣；

ⅲ)若AB=E，則稱B為A的逆矩陣，記為A-1；

2 主要結(jié)果

性質(zhì)1(1)E2=E； (2)EA=AE； (3)(AB)C=A(BC);

(4)(AB)T=BTAT； (5)(A+B)T=AT+BT； (6)A(B+C)=AB+AC；

(7)(B+C)A=BA+CA; (8)A+A=A； (9)Ak+1=AAk；

(10)(AT)-1=(A-1)T；

證明略

事實上，由以上性質(zhì)可驗證(Mn(L)，·)關(guān)于加法運算“∨”與乘法運算“∧”構(gòu)成一個半群(含單位元)．

定理1設(shè)B∈Mn(L)，則B∩BT,B+BT是對稱矩陣；若B是對稱矩陣，則B∩BT=B，B+BT=B．

定理2設(shè)B∈Mn(L)，若B是對稱矩陣，則Bk(k∈Z+)是對稱矩陣．

證明由性質(zhì)1(4)，(Bk)T=(BB…B)T=BT(Bk-1)T=…=(BT)k，又B是對稱矩陣，所以(Bk)T=Bk．

定理3設(shè)B∈Mn(L)，則BBT，BTB是對稱矩陣．

定理4設(shè)B∈Mn(L)，則(B∩BT)k，(B∪BT)k，(B+BT)k，(BBT)k，(BTB)k，(k=1,2…n)是對稱矩陣．

證明由定理1,2,3易證．

定理5設(shè)B∈Mn(L)，B是對稱矩陣，若B可逆，則B-1，(B-1)k是對稱矩陣．

證明因為B可逆，BT=B，所以(BT)-1=(B-1)T，故B-1=(B-1)T,即B-1是對稱矩陣，所以(B-1)k也是對稱矩陣．

定理6設(shè)B∈Mn(L)，B是對稱矩陣，則對任意的A∈Mn(L)，ATBA是對稱矩陣，從而(ATBA)k是對稱矩陣．

定理7設(shè)B∈Mn(L)，若BBT=E，則B是對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)B2=E．

證明必要性：顯然．

充分性：B=BE=B(BBT)=B2BT=EBT=BT,所以B是對稱矩陣．

定理8設(shè)A，B∈Mn(L)，且A，B是對稱矩陣，則AB是對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA．

證明必要性：因為A，B是對稱矩陣，所以(AB)T=BTAT=BA，又AB是對稱矩陣，所以(AB)T=AB，故AB=BA．

充分性：因為A，B是對稱矩陣，所以AB=ATBT=(BA)T，又AB=BA，故AB=(AB)T,得證．

推論1設(shè)A，B∈Mn(L)，且A，B是對稱矩陣，則ABT=BTA當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA．

定理9設(shè)B∈Mn(L)，若B為冪等矩陣，則Bk=B(k∈Z+)．

證明因為B為冪等矩陣，所以B2=B，故BB2=BB，即B3=B2=B，假設(shè)對n=k-1時，Bk-1=B成立，則n=k時，則Bk=Bk-1B=BB=B2=B，由歸納法得證．

定理10設(shè)B為冪等矩陣，且B可逆，則B為單位矩陣．

證明由B2=B，所以B-1B2=B-1B=E，又B-1B2=B，故B=E．

定理11設(shè)A，B∈Mn(L)，AB=A且BA=B，則A2=A，B2=B．

證明因為AB=A，所以(AB)A=AA=A2，又A(BA)=AB=A，故由A(BA)=(AB)A得A2=A，同理可證B2=B．

定理12設(shè)B∈Mn(L)，若B為冪等矩陣，則BT也是冪等矩陣．

[1]田振際.完全分配格上的矩陣的行列式[J]．甘肅工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2002,28(4):44～47．

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[3]張 慧.對冪等矩陣的研究[J]．陜西科技大學(xué)學(xué)報，2012，30(6):140～142．

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[5]張和瑞.高等代數(shù)(第二版)[M].北京:高等教育出版社，1979．

[6]祝禎禎 盧 濤.格上矩陣的乘積運算性質(zhì)[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報,2014，(2):55～57.

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[9]張麗梅；趙建立等.用二值矩陣表示研究格矩陣的{1}-廣義逆與{1，2}-廣義逆[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2009,3(23):36～39.

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SeveralStudiesofMatricesOverCompletelyDistributiveLattice

ZHUZhen-zhen，LUTao

(School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,Huaibei 235000,China)

The definitions of lattice matrices,symmetric matrix idempotent matrix,inverse matrix over completely distributive lattices are given.Through giving some operational properties of lattice matrices,some properties and theorem of idempotent matrix and the symmetric matrix are discussed,and proved.

lattice matrix;symmetric matrix;idempotent matrix

梁懷學(xué))

2014-05-28

安徽省自然科學(xué)研究項目(KJ2012Z358)；國家自然科學(xué)基金項目(11171156)

祝禎禎(1990-)，女，安徽省淮北市人，現(xiàn)為淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.研究方向：格上拓?fù)鋵W(xué)．

*通訊作者：盧 濤 (1974-)，男，山東省諸城市人，現(xiàn)為淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，博士.研究方向：拓?fù)鋵W(xué)，范疇論．

O151.21

A

1674-3873-(2014)03-0085-02