宋麗平

(莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 莆田 351100)

百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略

宋麗平

(莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,福建 莆田 351100)

本文研究一個(gè)可以在n個(gè)離散時(shí)點(diǎn)上進(jìn)行轉(zhuǎn)換的百慕大可轉(zhuǎn)換公司債券(簡(jiǎn)稱可轉(zhuǎn)債)模型.采用基于公司價(jià)值的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型,在公司風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng),且股價(jià)具有稀釋效應(yīng)的情形下,對(duì)百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略進(jìn)行分析.研究結(jié)果表明,存在一個(gè)非負(fù)的常數(shù)臨界值,當(dāng)公司風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值高于這個(gè)臨界值時(shí),可轉(zhuǎn)債應(yīng)轉(zhuǎn)換；否則,不轉(zhuǎn)換.

百慕大可轉(zhuǎn)債；最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略；稀釋效應(yīng)；幾何Brown運(yùn)動(dòng)；無(wú)套利定價(jià)理論

0 引言

可轉(zhuǎn)換公司債券(簡(jiǎn)稱可轉(zhuǎn)債)的持有者可以選擇在規(guī)定的期間內(nèi)按事先約定的價(jià)格轉(zhuǎn)換成發(fā)行公司的股票,也可以選擇持有至到期日,要求公司還本付息.因此可轉(zhuǎn)債是一種具有債權(quán)性和期權(quán)性雙重性質(zhì)的混合型金融工具.

按可轉(zhuǎn)債持有者執(zhí)行的時(shí)限劃分,可轉(zhuǎn)債可分為歐式可轉(zhuǎn)債、百慕大可轉(zhuǎn)債和美式可轉(zhuǎn)債.對(duì)于歐式可轉(zhuǎn)債,主要采用Black和Scholes[1]和Merton(1973,1974)[2-3]關(guān)于期權(quán)及公司債券的定價(jià)模型.Ingersoll[4]和Brennan & Schwartz[5]最早采用基于公司價(jià)值的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型,他們假設(shè)公司價(jià)值遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng),可轉(zhuǎn)債的價(jià)值只與公司價(jià)值有關(guān),并在Black & Scholes的框架下對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià).最早建立了以股票價(jià)格為變量的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型的是Mc Connell & Schwartz[6],即在股票價(jià)格遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng)的情形下,假設(shè)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值只與股票價(jià)格有關(guān),由此利用Black & Scholes模型對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià).百慕大可轉(zhuǎn)債的持有者可以在到期日之前的若干時(shí)點(diǎn)上進(jìn)行實(shí)施,它介于歐式可轉(zhuǎn)債和美式可轉(zhuǎn)債之間.目前,對(duì)于百慕大可轉(zhuǎn)債的定價(jià)問(wèn)題,以二叉樹(shù)和蒙特卡羅模擬方法為主,相關(guān)的理論研究還比較少.化宏宇和程希駿[7]對(duì)二期百慕大權(quán)證進(jìn)行定價(jià),即存在2個(gè)可行權(quán)日：事先規(guī)定好的某一特定日期和到期日,首先在Black和Scholes模型的基礎(chǔ)上,分析了敲定價(jià)格為K、到期日為T的標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)在0時(shí)刻的價(jià)格,再進(jìn)一步推導(dǎo)其在0時(shí)刻的價(jià)格.

此外,可轉(zhuǎn)債與看漲股票期權(quán)不同,主要體現(xiàn)為實(shí)施后股價(jià)是否稀釋了.因?yàn)榭礉q股票期權(quán)實(shí)施時(shí)的股票已經(jīng)在金融市場(chǎng)上流通了,所以看漲股票期權(quán)的實(shí)施不會(huì)引起股票數(shù)量的增加,從而股價(jià)不會(huì)被稀釋.因?yàn)楣静荒艹钟凶约旱墓善?所以可轉(zhuǎn)債實(shí)施時(shí),公司必須發(fā)行新的股票,股票數(shù)量增加,引起股價(jià)的變化,即稀釋效應(yīng).因而,在研究可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)實(shí)施策略及其定價(jià)問(wèn)題,必須考慮股票的稀釋效應(yīng),否則,定價(jià)就會(huì)與實(shí)際的金融市場(chǎng)產(chǎn)生較大偏差.

本文將在一個(gè)任意給定的有限個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)上均可以實(shí)施的百慕大可轉(zhuǎn)債模型下,采用基于公司價(jià)值的定價(jià)模型,并考慮股價(jià)的稀釋效應(yīng),對(duì)百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略進(jìn)行研究.

1 模型

設(shè)市場(chǎng)是完備的(如無(wú)交易費(fèi)等等)和無(wú)套利的,(Ω，G，=(Gt)0≤t≤T，P)為帶σ-代數(shù)流的完備的概率空間,滿足通常的條件,其中Gt表示直到時(shí)刻t為止所獲得的信息,Gt=σ(Zs,0≤s≤t)．

假設(shè)公司通過(guò)發(fā)行股票和可轉(zhuǎn)債來(lái)融資,在時(shí)刻0發(fā)行M份可轉(zhuǎn)債和N份股票.公司資產(chǎn)結(jié)構(gòu)如下：

公司總資產(chǎn)=公司風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)+公司無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)=股票+可轉(zhuǎn)債

(1.1)

可轉(zhuǎn)債持有者根據(jù)股票價(jià)值和可轉(zhuǎn)債價(jià)值的大小關(guān)系選擇轉(zhuǎn)換策略,若股票價(jià)值大于可轉(zhuǎn)債價(jià)值,則轉(zhuǎn)換成股票；否則不轉(zhuǎn)換.若在到期日T可轉(zhuǎn)債沒(méi)有被轉(zhuǎn)換,則在時(shí)刻T每份可轉(zhuǎn)債可獲得R的支付.考慮一個(gè)可以在n個(gè)時(shí)點(diǎn)上實(shí)施的百慕大可轉(zhuǎn)債模型,其可實(shí)施時(shí)刻為tn,tn-1，…，t2,t1,其中0=tn+1

圖1 n期百慕大可轉(zhuǎn)債(圓點(diǎn)“·”表示可實(shí)施時(shí)刻)

由(1.1),有

Vt+L0ert=NSt+MDt,0=tn+1≤t

(1.2)

(1.3)

其中mti表示時(shí)刻ti的轉(zhuǎn)換量,mti=0，M(i=1，2，…，n),Vt、Dt和St分別表示時(shí)刻t公司風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值、可轉(zhuǎn)債的價(jià)值和股票的價(jià)值,L0為公司無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的初始價(jià)值,r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.

由于可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換時(shí),會(huì)使市面上流通的上市公司的股票數(shù)量增加,引起股票價(jià)格的變化(稀釋效應(yīng)),即股價(jià)變化不再遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng).本文采用基于公司價(jià)值的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型,并假設(shè)公司風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值遵循幾何Brown運(yùn)動(dòng),可轉(zhuǎn)債的價(jià)值只與公司價(jià)值有關(guān).此外,不考慮違約情形,即假設(shè)公司價(jià)值足以支付在到期日T沒(méi)有被轉(zhuǎn)換的可轉(zhuǎn)債的面值.設(shè)Q為與P等價(jià)的鞅測(cè)度(風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度),在Q下,公司風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值遵循如下過(guò)程：

dVt=Vt(r-δ)dt+VtσdZt,0≤t≤T．

(1.4)

其中δ為分紅率,σ為波動(dòng)率,Zt為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),且r，δ,σ均為正常數(shù).

2 最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略

本節(jié)研究百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略,考慮股價(jià)的稀釋效應(yīng),即可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換為公司股票后,會(huì)使公司股票的數(shù)量增加,引起股價(jià)下跌.

對(duì)k=1,2,…，n,設(shè)可轉(zhuǎn)債在時(shí)刻tk之前沒(méi)有轉(zhuǎn)換,即mti=0(i=1，2，…，k-1)，以Stk表示時(shí)刻tk轉(zhuǎn)換之后(即mtk=M)對(duì)應(yīng)的股票價(jià)格.設(shè)在時(shí)刻tk可轉(zhuǎn)債還沒(méi)有轉(zhuǎn)換(即可轉(zhuǎn)債還存在,這時(shí)mtk=0),用Dtk表示時(shí)刻tk的可轉(zhuǎn)債價(jià)格,其中Dt1≡R.

由(1.3)知,

Vtk+L0ertk=(N+M)Stk(Vtk)，k=1，2，…，n．

(2.1)

為了研究最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略,需要比較在可轉(zhuǎn)換時(shí)刻tk(k=1，2，…，n)的股票價(jià)格(須是轉(zhuǎn)換之后的價(jià)格)Stk與Dtk的大小關(guān)系,為此令

fk(Vtk)≡(N+M)(Stk(Vtk)-Dtk(Vtk))，k=1，2，…，n．

(2.2)

則由(2.2)知,當(dāng)fk(Vtk)>0(k=1,2,…,n)時(shí),在可轉(zhuǎn)換時(shí)刻tk(k=1,2,…，n)應(yīng)實(shí)施轉(zhuǎn)換；否則不轉(zhuǎn)換.又由(2.1)-(2.2),有

fk(Vtk)≡Vtk+L0ertk-(N+M)Dtk(Vtk)，k=1，2，…，n．

(2.3)

引理2.1fj(Vtj)，Dtj(Vtj)(j=1，2，…，n)具有如下性質(zhì)：

fj(Vtj)∈C1(0,+∞)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Dtj(Vtj)∈C1(0，+∞)

(2.9)

(2.10)

其中導(dǎo)數(shù)除了個(gè)別點(diǎn)外均存在,Cj(j=1，2，…，n)表示不同的正常數(shù).

證明(利用數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)j=1時(shí),由(2.3)和Dt1≡R,(2.4)-(2.10)顯然成立. 假設(shè)當(dāng)j=k時(shí),(2.4)-(2.10)成立,下證當(dāng)j=k+1時(shí),(2.4)-(2.10)也成立.

由無(wú)套利定價(jià)理論[8],

Dtk+1(Vtk+1)=e-r(tk-tk+1)Etk+1[max(Stk，Dtk)]

將(2.2)代入上式,

(2.11)

由于(2.4)和(2.8)-(2.10)對(duì)j=k成立,因而由(2.11),知(2.9)-(2.10)對(duì)j=k+1成立.結(jié)合(2.3)和(2.10),易知(2.8)對(duì)j=k+1成立.下證(2.4)-(2.7)對(duì)j=k+1成立,分為兩種情形來(lái)證明.

10當(dāng)L0ert1-(N+M)R<0時(shí),由于(2.4)-(2.7)對(duì)j=k成立,因此,存在唯一的正常數(shù)λk,使得

(2.12)

由(2.11)及(2.8)和(2.10)對(duì)j=k成立,有

(2.13)

又由(2.12),

(2.14)

由(2.3),

(2.15)

由(1.4)知,e-(r-δ)tVt是Q-鞅,因此

Etk+1[Vtk]=e(r-δ)(tk-tk+1)·Vtk+1

(2.16)

將(2.16)代入(2.15)得,

(2.17)

由(2.17)、(2.5)和(2.16),

(2.18)

再由(2.3)和(2.18),

(2.19)

即(2.4)-(2.5)對(duì)j=k+1成立.

類似于(2.17)的證明,由(2.3)和(2.11),可得

(2.20)

從而(2.6)-(2.7)對(duì)j=k+1成立.

20當(dāng)L0ert1-(N+M)R≥0時(shí),λk=0.

由(2.20),

fk+1(Vtk)=Vtk+1(1-e-δ(tk-tk+1))

(2.21)

由(2.21),易知(2.4)-(2.7)對(duì)j=k+1成立.

定理2.1在可轉(zhuǎn)換時(shí)刻tk(k=1,2,…，n),百慕大可轉(zhuǎn)債的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略為

其中常數(shù)λk滿足：

證明當(dāng)L0ert1-(N+M)R<0時(shí),由引理2.1中的(2.5)-(2.7)知,對(duì)k=1，2，…，n,存在唯一的正常數(shù)λk,滿足

即λk>0,且λk是方程fk(Vtk)=0的唯一解.

再由可轉(zhuǎn)債的定義,可得其最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略為

3 結(jié)論

本文研究百慕大可轉(zhuǎn)換公司債券(可轉(zhuǎn)債)的最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略問(wèn)題.按照可轉(zhuǎn)債的定義知,在可轉(zhuǎn)換時(shí)刻tk(k=1，2，…，n),若Stk>Dtk(Dt1≡R),則轉(zhuǎn)換；否則不轉(zhuǎn)換. 本文的研究結(jié)果表明,在可轉(zhuǎn)換時(shí)刻tk(k=1，2，…，n),若Vtk>λk(λk為某一非負(fù)常數(shù)),則轉(zhuǎn)換；否則不轉(zhuǎn)換. 也就是,下述等價(jià)關(guān)系成立：

Stk>Dtk(Dt1≡R)??常數(shù)λk≥0，s.t.Vtk>λk,(k=1，2，…，n)

(3.1)

[1]F.Black,M.Scholes.The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3):637～654.

[2]R.Merton.Theory of Rational Options Pricing[J].Bell Journal of Economics and Management Science,1973,4(1):141～183.

[3]R.Merton.On the Pricion of Corporate Debt:The Risk Structure of Interest Rate[J].The Journal of Finance,1974,29(2):449～470.

[4]J.Ingersoll.A Contingent-claims Valuation of Convertible Securities[J].Journal of Financial Economics,1977,4(3):289～321.

[5]M.J.Brennan,E.Schwartz.Convertible Bonds: Valuation and Optimal Strategies for Call and Conversion[J].The Journal of Finance,1977,32(5):1699～1715.

[6]J.Mc Connell,E.Schwartz.LYON Taming[J].The Journal of Finance,1986,41(3):561～576.

[7]化宏宇和程希駿.分離交易可轉(zhuǎn)債研究[J].中國(guó)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào),2008,25(4)：439～444.

[8]T.Bjork.Arbitrage Theory in Continuous time,Second Edition[M].Oxford university press,Oxford,2003.

TheOptimalConversionStrategiesforBermudaConvertibleBonds

SONGLi-ping

(School of Mathematics,Putian College,Putian 351100,China)

This paper is concerned with the model of Bermuda convertible corporate bonds (convertible bonds for short) with n discrete conversion times.By use of the pricing model of convertible bonds based on the company's value,the optimal conversion strategies for Bermudian convertible bonds are analyzed in the case when the value of the company's risk asset follows a geometric Brownian motion and the stocks have dilution effect.Results confirm that there is a non-negative constant threshold.Moreover,when the company's risk asset value is higher than this threshold,convertible bonds should be converted;otherwise,they should not be converted.

Bermuda convertible bonds;optimal conversion strategies;dilution effect;geometric Brownian motion;arbitrage-free pricing theory

梁懷學(xué))

2014-03-25

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1001142);福建省教育廳資助項(xiàng)目(JB12171);莆田學(xué)院教學(xué)改革項(xiàng)目(JG201316)

宋麗平(1979-)，女，福建省莆田市人，現(xiàn)為莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師，博士．研究方向：金融數(shù)學(xué)．

O211.6；F830.9

A

1674-3873-(2014)03-0075-04