黃澤霞，胡勁松*，鄭克龍

(1.西華大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，成都 610039;2.西南科技大學(xué) 理學(xué)院，四川 綿陽 621002)

對稱矩陣和實二次型緊密相關(guān)，它常常出現(xiàn)在計量經(jīng)濟學(xué)和一些經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型［1－5］中。對任意n階實對稱矩陣A，一定存在正交矩陣Q，使得Q－1AQ=QTAQ為對角矩陣，即實對稱矩陣一定可以正交對角化［1－11］。在線性代數(shù)理論中，實對稱矩陣的正交對角化問題(相似變換)和用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)形(合同變換)的實質(zhì)是一樣的。

實對稱矩陣的正交對角化問題在教學(xué)中既是重點又是難點。由于實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，且不同特征值所對應(yīng)的特征向量相互正交，按照教材［1－3］里的常規(guī)方法和步驟，若要將一個具體的 n階實對稱矩陣A正交對角化，則必須先找出不同特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，還需要對重特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的進行正交化，這2個過程的工作量都比較大，有時還比較繁瑣。對于重特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的正交化文問題，文獻［9－11］利用向量正交的定義，通過直接求解多個線性方程組，從而避開了對重特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的“施密特正交化”過程，從而簡化運算。本文利用實對稱矩陣的一個性質(zhì)，找到一個求其特征向量的簡便方法，尤其是當(dāng)實對稱矩陣只有2個互不相等的特征值時，該方法更為簡捷方便。

1 主要結(jié)論

由于實對稱矩陣A對應(yīng)于特征值λ的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)正好為特征值λ的重數(shù)，且不同特征值所對應(yīng)的特征向量相互正交。類似教材［3］例3.2的解題思路，于是有如下結(jié)論:

定理1 若λi為n階實對稱矩陣A的重數(shù)為s的特征值，且矩陣A除λi以外的其余特征值所對應(yīng)的一組線性無關(guān)特征向量已全部求出:η1，η2，…，η，n－s則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系即為矩陣A對應(yīng)于特征值λi的一組線性無關(guān)的特征向量(s個)。

若n階實對稱矩陣A只有2個不同的特征值時，則有:

定理2 若λ1和λ2為n階實對稱矩陣A的僅有2個不相等的特征值，且重數(shù)分別為r和n－r，則與矩陣λ1I－A的列向量組等價的任意線性無關(guān)向量組均為矩陣A對應(yīng)于特征值λ2的一組線性無關(guān)的特征向量(n－r個);與矩陣λ2I－A的列向量組等價的任意線性無關(guān)向量組均為矩陣A對應(yīng)于特征值λ1的一組線性無關(guān)的特征向量(r個)。

證明:由于λ1為n階實對稱矩陣A的r重特征值，則rank(λ1I－A)X=n－r。為了尋找矩陣A對應(yīng)于特征值λ1的特征向量，則需求解齊次線性方程組(λ1I－A)X=0，不妨設(shè)對矩陣 λ1I－A進行一系列初等行變換化為階梯形矩陣B，然后將矩陣B按行分塊，即

其中:n 維行向量組 α1，α2，…，αn－r線性無關(guān)，且等價于矩陣λ1I－A的行向量組，即等價于矩陣λ1IA的行向量組的任意極大無關(guān)組。又由于λ1I－A仍為對稱矩陣，則向量組等價于矩陣λ1I－A的列向量組，即等價于矩陣λ1I－A的列向量組的任意極大無關(guān)組。齊次線性方程組(λ1I－A)X=0與

(或BX=0)為同解線性方程組。

若 η1，η2，…，ηr為矩陣A對應(yīng)于特征值λ1的一組線性無關(guān)的特征向量，即 η1，η2，…，ηr為齊次線性方程組(λ1I－A)X=0或式(1)的一個基礎(chǔ)解系，則，即

2 應(yīng)用舉例

教材［3］例3.2就是按照定理1的方法得以求解的，本文只介紹定理2的應(yīng)用。從定理2可知，如果實對稱矩陣A只有2個互不相等的特征值，則只需要任意選定1個特征值，求解其對應(yīng)的齊次線性方程組，即可求得矩陣A的全部特征向量。

例［10］實對稱矩陣的特征值為:λ1=λ2=λ3=1，λ4=5。試求矩陣 A的一組線性無關(guān)的特征向量。

解法1 當(dāng)λ1=λ2=λ3=1時，解齊次線性方程組(I－A)X=0，由

得一般解為:x1=－x2－x3+x4;即可得矩陣A 對應(yīng)于特征值λ1=λ2=λ3=1的一組線性無關(guān)的特征向量(方程組(I－A)X=0的基礎(chǔ)解系)為:X1=(－1，1，0，0)T，X2=(－1，0，1，0)T，X3=(1，0，0，1)T;由定理2知，矩陣A對應(yīng)于特征值λ4=5的一個線性無關(guān)的特征向量即為階梯形矩陣B1的非零行的轉(zhuǎn)置向量(或矩陣I－A的第一列):

解法2 當(dāng)λ4=5時，解齊次線性方程組(5IA)X=0，由(5I－A)，得一般解為:即可得矩陣A對應(yīng)于特征值λ4=5的一個線性無關(guān)的特征向量(方程組(5I－A)X=0的基礎(chǔ)解系)為:

由定理2知，矩陣A對應(yīng)于特征值λ1=λ2=λ3=1的一組線性無關(guān)的特征向量(即為階梯形矩陣B3的非零行的轉(zhuǎn)置向量):β1=(1，0，0，－1)T，β2=(0，1，0，1)T，β3=(0，0，1，1)T。

注:1)解法1中，矩陣A對應(yīng)于單特征值λ4=5的一個線性無關(guān)的特征向量X4是矩陣I－A的列向量組的極大無關(guān)組，也是I－A的行向量組的極大無關(guān)組，同時，X4也是矩陣I－A通過初等行變換化成的階梯形矩陣B1的非零行向量的轉(zhuǎn)置向量;即與矩陣I－A的列向量組等價的任意線性無關(guān)向量組均為矩陣A對應(yīng)于特征值λ4=5的線性無關(guān)的特征向量。

2)在解法2中，B2也是階梯形矩陣，則矩陣A對應(yīng)于3重特征值λ1=λ2=λ3=1的一組線性無關(guān)的特征向量也可以取矩陣B2的前3行的轉(zhuǎn)置向量。即矩陣A對應(yīng)于特征值λ1=λ2=λ3=1的一組線性無關(guān)的特征向量為:γ1=(－ 1，1，1，3)T，γ2=(0，4，0，4)T，γ3=(0，0，4，4)T。

3)在解法2中，rank(5I－A)=3，即矩陣5I－A的列向量組的極大無關(guān)組中含有3個向量，且由階梯形矩陣B2或B3可知，矩陣5I－A的列向量組的前3個向量為其中的一個極大無關(guān)組，即矩陣A對應(yīng)于特征值λ1=λ2=λ3=1的一組線性無關(guān)的特征向量為:ξ1=(3，1，1，－ 1)T，ξ2=(1，3，－ 1，1)T，ξ3=(1，－1，3，1)T。另外注意到，矩陣 5I－A的任意 3列均為矩陣5I－A的列向量組的極大無關(guān)組，即矩陣5I－A的列向量組中任意3個向量均為矩陣A對應(yīng)于特征值λ1=λ2=λ3=1的一組線性無關(guān)的特征向量。

4)可以證明，向量組 X1，X2，X3、β1，β2，β3、γ1，γ2，γ3和 ξ1，ξ2，ξ3都是等價的，它們都是矩陣 A對應(yīng)于特征值λ1=λ2=λ3=1的線性無關(guān)的特征向量。

3 結(jié)語

如果實對稱矩陣A的特征值λi的重數(shù)越大，rank(λiI－A)=n－r就越小，則用初等行變換將矩陣λiI－A化為階梯形(或行簡化階梯形)就越容易，即求解齊次線性方程組(λiI－A)X=0就相對更簡單。因此，對于一個具體的實對稱矩陣，若只有兩個互不相等的特征值，一般可選擇重數(shù)較大的特征值來求解相應(yīng)的齊次線性方程組，從而求出其全部特征向量。比如本文例子中，將I－A用初等行變換化成階梯形矩陣B1的過程，就比將5I－A用初等行變換化成階梯形矩陣B2或B3的過程簡單得多，所以解法1明顯優(yōu)于解法2。

另外，本文例子中的矩陣A是文獻［10］中的一個矩陣，很明顯，解法1和解法2均比文獻［10］或一般教材［1－3］中求其特征向量的方法簡單。如果要將矩陣A正交對角化，則在解法1中，可結(jié)合文獻［9－11］中的處理方法，直接求出矩陣A對應(yīng)于特征值λ1=λ2=λ3=1的一組正交特征向量，從而進一步簡化文獻［10］中的解題過程。

［1］丘維聲.高等代數(shù):上冊［M］.2版.北京:高等教育出版社，2002.

［2］張慎語，周厚隆.線性代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［3］胡金德，王飛燕.線性代數(shù)輔導(dǎo)［M］.3版.北京:清華大學(xué)出版社，2003:350.

［4］付立志，楊慶璽.對稱矩陣對角化的正交變換模型［J］.河南科學(xué)，2008，26(2):135 －147.

［5］雷英果.相似變換陣與合同變換陣的初等變換求法［J］.工科數(shù)學(xué)，2001(4):77 －80.

［6］李佩貞.矩陣的對角化與相似變換矩陣［J］.中山大學(xué)學(xué)報論叢，2000，20(4):248 －251.

［7］王英瑛.矩陣特征值和特征向量求法的探討［J］.山東理工大學(xué)學(xué)報，2008，22(3):71 －74.

［8］向以華.矩陣的特征值與特征向量的研究［J］.重慶三峽學(xué)院學(xué)報，2009，25(3):135 －138.

［9］李海秋，戴良信.實對稱矩陣正交相似對角化的一個簡便方法［J］.遼寧師專學(xué)報:自然科學(xué)版，2009，11(2):17，33.

［10］廖瑩.具有重特征根的實對稱矩陣的對角化［J］.新疆石油學(xué)院學(xué)報，1993，5(1):38 －41.

［11］胡國專.實對稱陣正交相似對角化方法及其優(yōu)化［J］.赤峰學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，29(24):1 －3.