張 鵬

（中國政法大學(xué)政治與公共管理學(xué)院，北京，102200）

1 問題提出

車道被占用現(xiàn)象，會導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力降低。即使時(shí)間短，也可能引起車輛排隊(duì)，出現(xiàn)交通阻塞。如處理不當(dāng)，甚至出現(xiàn)區(qū)域性擁堵。本文通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型分析交通事故所影響的路段車輛排隊(duì)長度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車流量四個(gè)核心參數(shù)之間的關(guān)系，并以2013 年高教杯數(shù)學(xué)建模競賽中A 題中拍攝的視頻1[ 注：網(wǎng) 址 鏈 接：http://special.univs.cn/service/jianmo/sxjmtmhb/2013/0525/969401.shtml]，用計(jì)算機(jī)模擬對該模型進(jìn)行了檢驗(yàn)。

2 問題假設(shè)

（1）到達(dá)事故發(fā)生路段的車輛是相互獨(dú)立的，即以前的到達(dá)情況對以后車輛的到來沒有影響；

（2）單位時(shí)間內(nèi)通過上游橫斷面的標(biāo)準(zhǔn)車當(dāng)量數(shù)服從泊松分布；

（3）忽略視頻中非四輪及以上機(jī)動車、電瓶車的擾動對實(shí)際交通流量統(tǒng)計(jì)的影響；

（4）上游車輛駛進(jìn)事故發(fā)生路段的速度恒定。

3 符號說明

?

4 建模前的準(zhǔn)備

4.1 確定事故橫斷面的車輛實(shí)際通行量

4.2 交通流三參數(shù)的基本關(guān)系

對于連續(xù)交通流，設(shè)置交通流量、速度和交通密度三個(gè)參數(shù)描述其特性。由格林希爾茨流量-密度模型規(guī)定參數(shù)之間的關(guān)系為

由格林希爾茨速度-密度線性關(guān)系模型可得：

由格林希爾茨流量-密度模型可得到關(guān)系 ：

（3）式表明平均流量與平均密度成二次函數(shù)關(guān)系。

5 模型的建立

5.1 當(dāng)量排隊(duì)長度L 的引入

為定量描述路段車輛排隊(duì)長度，由此我們引入當(dāng)量排隊(duì)長度L，即交通流二流運(yùn)行狀態(tài)中阻塞交通流的長度。當(dāng)量排隊(duì)長度L不僅反映了交通流中停止車輛受到排隊(duì)的影響，而且考慮了排隊(duì)對減速行駛車輛的影響。圖1 和圖2 為交通流實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)和二流運(yùn)行狀態(tài)圖：

圖1 事故發(fā)生至撤離期間路段上交通流實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)

圖2 事故發(fā)生至撤離期間路段上交通流二流運(yùn)行狀態(tài)

實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)中的車流可分為滯止車流Z、勻速車流Y 和過渡車流G，如圖1 中所示。二流理論將交通流的車輛分為運(yùn)動車輛和滯止車輛兩類。由于過渡車流是由勻速車流Y 向滯止車流Z的漸變過程,考慮到該過程包含太多變化及人為因素，所以可以將過渡車流G 靠近Z 的一部分看做滯止車流，靠近Y 的部分看做勻速車流。由此，即將交通流實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)即轉(zhuǎn)化為了二流運(yùn)行狀態(tài)。由以上分析可知，當(dāng)量排隊(duì)長度 。

5.2 模型的建立

基于二流理論，建立當(dāng)量車輛排隊(duì)長度L 與道路實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間t 以及路段上游車流量間之間的關(guān)系式。

首先來考慮較為簡單的單車道情況，然后針對多車道路段的情況對此模型進(jìn)行適當(dāng)修正。

5.2.1 單車道考慮

根據(jù)車流量守恒原則，建立路段車流量之間的關(guān)系方程：

由圖2，依據(jù)二流理論，則有

聯(lián)立方程（4）和（5），即可解出單車道排隊(duì)長度模型，見式（6）：

5.2.2 針對多車道路段，進(jìn)行模型修正

對于多車道情況，每一條車道的當(dāng)量排隊(duì)長度隨車流量比例、車輛換道以及隨機(jī)擾動的不同而不一樣，因此可以選取視頻中3 條車道的平均值來評價(jià)整個(gè)路段的當(dāng)量排隊(duì)長度L。由此，可以導(dǎo)出修正后的模型，即多車道平均當(dāng)量排隊(duì)長度模型，公式見式（7）：

6 基于視頻的模型求解

6.1 實(shí)際通行能力的計(jì)算

步驟一：實(shí)際通行能力的求解公式。

當(dāng)上游路口可以提供無限車流當(dāng)量時(shí)，可以認(rèn)為公式（3）中的Q 值即是道路在不同車速下的實(shí)際通行能力。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)可知，當(dāng)實(shí)際交通流密度大于阻塞交通流密度的一半時(shí)即可認(rèn)為道路處于擁堵狀態(tài)，否則處于暢通狀態(tài)，表達(dá)如式（8）所示：

6.2 多車道平均當(dāng)量排隊(duì)長度模型中參數(shù)的求解。

表1 每隔1min 的上游車流量與小區(qū)路口車流量的代數(shù)和

視頻異常段的處理：采用三次樣條插值法得到該時(shí)間段對應(yīng)的q 值。使用Matlab 中cftool 曲線擬合工具箱得到的插值曲線知q 值為20.95pcu/min。再使用matlab 中poissfit 命令估計(jì)參數(shù)λ 的值為19.4583。

由概率統(tǒng)計(jì)知識知，如果某一時(shí)間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為λ 的泊松分布，那么相繼兩個(gè)事件出現(xiàn)的間隔時(shí)間則服從參數(shù)為1/λ 的指數(shù)分布，其函數(shù)關(guān)系式如式（11）所示：

因而可用指數(shù)分布函數(shù)exprnd（1/λ）進(jìn)行數(shù)值模擬。由此可得到一系列的事件間隔、…，此即為相鄰車輛到達(dá)路口斷面的時(shí)間間隔。若滿足，則可推出

第三步：t 時(shí)刻通過事故所處橫斷面的車輛累計(jì)數(shù)[即交通通行量]的求解：

綜上，可得出

表2 部分時(shí)刻的排隊(duì)長度

對比視頻中t 時(shí)刻的實(shí)際排隊(duì)長度與該時(shí)刻模型求解得出的排隊(duì)長度，可以發(fā)現(xiàn)二者相差較小，經(jīng)量綱一致性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該模型符合量綱一致性的檢驗(yàn)。故可以認(rèn)為模型正確。

7 結(jié)論

本文通過當(dāng)量排隊(duì)長度模型，建立了排隊(duì)長度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車流量間四個(gè)核心參數(shù)的關(guān)系，更能體現(xiàn)交通的真實(shí)擁堵情況。同時(shí)應(yīng)用二流理論，能夠簡化實(shí)際車流流動的復(fù)雜情況，由流量守恒定律即可得到當(dāng)量車輛排隊(duì)長度，優(yōu)化了求解過程。

但是本文亦存在不足之處：如原始數(shù)據(jù)值不準(zhǔn)確。原始數(shù)據(jù)是根據(jù)實(shí)拍視頻，人工數(shù)出來的，必然會存在一些人為誤差，且數(shù)據(jù)較少，不具有普遍代表性。另外未能未考慮實(shí)際統(tǒng)計(jì)過程中隨機(jī)擾動的影響，導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)所得的車流密度、通行能力數(shù)據(jù)與理想模型的通行能力有時(shí)相差太大。

[1] 謝軍.高速公路通行能力分析與服務(wù)質(zhì)量評價(jià)研究[D].陜西：長安大學(xué)，2007, 18—19.

[2] 倪艷明.城市道路交通通行能力影響因素分析及研究[D].廣州：華南理工大學(xué)，2012, 19—24.

[3] 郭濤.企業(yè)信息管理實(shí)現(xiàn)開源與節(jié)流[N].中國計(jì)算機(jī)報(bào)，2013-08-26（26）：1.