王 勇，陳英華

（廣東醫(yī)學院 信息工程學院，廣東 東莞523808）

0 引言

非完整約束系統(tǒng)是一類受到不可積分的非完整約束的力學系統(tǒng)。盡管經(jīng)典力學中的Lagrange原理和Hamilton原理近乎完美地解決了完整約束系統(tǒng)的運動問題，但在將上述理論推廣至非完整約束問題時卻遇到了極大的困難?！胺峭暾到y(tǒng)和完整系統(tǒng)的差別在于，完整系統(tǒng)的運動可以用第二類Lagrange方程來描述，而非完整系統(tǒng)需用更復雜的微分方程來表征”［1］。從幾何的角度看，完整約束系統(tǒng)的位形空間是有曲率、無撓率、且有自然辛結構的Riemann位形空間，而非完整約束系統(tǒng)的位形空間則是有曲率且有撓率的Riemann－Cartan位形空間［2－6］。將完整約束問題的經(jīng)典分析力學原理推廣至非完整約束問題中，本質(zhì)上是將經(jīng)典分析力學原理從Riemann位形空間推廣至具有更復雜結構的Riemann－Cartan位形空間。一般來說，撓率的存在將破壞系統(tǒng)位形空間的辛結構，這正是無法將基于辛幾何的經(jīng)典分析力學原理直接推廣至非完整系統(tǒng)的根本原因。因此，深入研究Riemann－Cartan位形空間的幾何結構是研究非完整力學的一項基礎且重要的理論工作。

我們在之前的研究中提出，對一階定常線性約束系統(tǒng)，可以通過約束構造出從高維平直空間到不含約束的、低維位形空間的一階線性映射，并由此計算出該位形空間的幾何結構［4－7］。可以證明，若此約束系統(tǒng)為完整約束系統(tǒng)，則可構造出一階線性可積映射，與該映射對應的系統(tǒng)的位形空間是無撓率、有曲率的Riemann空間；若此約束系統(tǒng)為非完整約束系統(tǒng)，則構造出的一階線性映射不可積，與該映射對應的系統(tǒng)的位形空間是有撓率的（一般來說也有曲率）Riemann－Cartan空間，由于此位形空間中存在撓率，因此一般情況下不具有自然的辛結構。

本文將指出，并不是所有的Riemann－Cartan位形空間都沒有辛結構。存在一種特殊的Riemann－Cartan位形空間，可以通過引入一個無約束的一階線性不可積映射，將其映射為一個Riemann位形空間，這說明此類特殊的Riemann－Cartan位形空間本質(zhì)上就是一個完整約束系統(tǒng)的位形空間，因此也具有辛結構，只不過其辛結構需要通過引入一個合適的無約束的一階線性不可積映射才能表現(xiàn)出來。

為方便起見，文中采用愛因斯坦求和約定，并對指標取值范圍作如下規(guī)定：拉丁字母i，j，k，l＝1，2，…，n；羅馬字母μ，ν，ρ，σ，λ＝1，2，…，n－m；希臘字母α，β，γ，ξ的取值范圍和羅馬字母一致。

1 可映射為Riemann空間的Riemann－Cartan位形空間

對由N個粒子組成的、受到3N－m個約束的約束系統(tǒng)，設ciρ為定義在其n維（n＝3 N）平直位形空間［X］（該空間的坐標為xi，度規(guī)為gij，聯(lián)絡Γkij＝0）切空間上的一個含約束的線性映射，即

考慮式（3）可知，空間［W］的撓率不為零，空間［W］是一個Riemann－Cartan位形空間。

考慮到矩陣（珘bαρ）非奇異，我們可以在 Riemann－Cartan位形空間［W］中引入如下無約束的一階線性不可積映射：

映射（6）將Riemann－Cartan位形空間［W］映射為一個新的空間［Q］，且空間［Q］的度規(guī)和聯(lián)絡分別為：

考慮式（3）可知，空間［Q］的聯(lián)絡關于下腳標對稱，該空間的撓率為零，即：

說明空間［Q］是一個完整約束系統(tǒng)的、具有自然辛結構的Riemann位形空間。

顯然，由映射（1）所定義的m維Riemann－Cartan位形空間［W］是一個特殊的Riemann－Cartan空間。雖然由于撓率的存在，位形空間［W］不具有自然的辛結構，但通過引入一個合適的無約束的一階線性不可積映射珘aρα，就可以將其映射為一個完整約束系統(tǒng)的、具有自然辛結構的Riemann位形空間［Q］。這說明雖然位形空間［W］具有撓率，但其本質(zhì)上是一個完整約束系統(tǒng)的位形空間，因此也具有辛結構，只不過其辛結構需要通過引入一個合適的無約束的一階線性不可積映射才能表現(xiàn)出來。

2 算例

設［X］是一個受到約束的、具有單位質(zhì)量的質(zhì)點的三維平直位形空間，通過如下非完整線性映射

用一階線性映射的方法可計算其位形空間［W］的聯(lián)絡為：

空間［W］的聯(lián)絡關于下腳標不對稱，其撓率為：

說明位形空間［W］是一個Riemann－Cartan空間。

若引入一個不可積映射

則通過計算可得位形空間［Q］的聯(lián)絡為：

顯然空間［Q］的聯(lián)絡關于下腳標對稱，其撓率全部為零，說明空間［Q］是一個無撓率的Riemann位形空間。

上述結果說明，由式（10）所定義的空間［W］是一個可映射為Riemann空間的特殊的Riemann－Cartan位形空間，因而本質(zhì)上是一個完整約束系統(tǒng)的、具有辛結構的Riemann－Cartan位形空間。事實上，從式（10）可直接通過積分得到系統(tǒng)所受完整約束為：

3 結論

盡管就一般而言，Riemann－Cartan位形空間中的撓率將破壞其辛結構，但確實存在一種特殊的、本質(zhì)上具有辛結構的Riemann－Cartan位形空間。通過引入一個恰當?shù)臒o約束的一階線性不可積映射，可以將此類特殊的Riemann－Cartan位形空間映射為一個Riemann位形空間，這說明此類特殊的Riemann－Cartan位形空間本質(zhì)上就是一個完整約束系統(tǒng)的位形空間。從力學的角度看，上述引入的無約束的一階線性不可積映射相當于是此類特殊的Riemann－Cartan位形空間與一個完整約束系統(tǒng)的Riemann位形空間之間的“準坐標變換”。

［1］ 梅鳳翔.分析力學［M］.北京：北京理工大學出版社，2013：309.

［2］ Kleinert H，Shabanov S V.Space with torsion from embedding，and the special role of autoparallel trajectories［J］.Phys Lett B，1998，428：315－321.

［3］ Kleinert H，Pelster A.Autoparallels from a new action principle［J］.Gen Rel Grav，1999，31（9）：1439－1447.

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［5］ 王勇，郭永新.Riemann－Cartan空間中的d’A1embert－Lagrange原理［J］.物理學報，2005，54（12）：5517－5520.

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