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        再探非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 的優(yōu)美標(biāo)號

        2014-01-02 06:16:26吳躍生
        唐山學(xué)院學(xué)報(bào) 2014年6期
        關(guān)鍵詞:吉首標(biāo)號正整數(shù)

        吳躍生

        (華東交通大學(xué) 理學(xué)院,南昌330013)

        1 引言與概念

        本文所討論的圖均為無向簡單圖,V(G)和E(G)分別表示圖G的頂點(diǎn)集和邊集,記號[m,n]表示整數(shù)集合{m,m+1,…,n},其中m和n均為非負(fù)整數(shù),且滿足0≤m<n。未說明的符號及術(shù)語均同文獻(xiàn)[1]。

        圖的優(yōu)美標(biāo)號問題是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)熱門課題[1-14]。文獻(xiàn)[2]已經(jīng)證明非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1是優(yōu)美圖。

        文獻(xiàn)[14]討論了非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 的優(yōu)美性,給出了非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 是優(yōu)美圖的一個(gè)充分條件:對任意正整數(shù)m,如果圖G是特征為k且缺k+12m-3標(biāo)號值的交錯(cuò)圖(12 m-3≤k+12 m-3≤|E(G)|),則非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 存在缺標(biāo)號值k+1的優(yōu)美標(biāo)號。

        本文將繼續(xù)討論非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 的優(yōu)美性,給出非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 是優(yōu)美圖的另外5個(gè)充分條件。

        定義1[3]G是一個(gè)優(yōu)美二部圖,其優(yōu)美標(biāo)號為θ,V(G)劃分成兩個(gè)集合X,Y,如果(v)<(v),則稱θ是G的交錯(cuò)標(biāo)號,稱G是在交錯(cuò)標(biāo)號θ下的交錯(cuò)圖。

        2 主要結(jié)論及其證明

        定理1 對任意正整數(shù)m,如果圖G是特征為k且缺k+12m-4標(biāo)號值的交錯(cuò)圖(12m-4≤k+12m-4≤|E(G)|),則非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 存在缺標(biāo)號值k+32 m-9的優(yōu)美標(biāo)號。

        下面證 明θ 是 非 連 通 圖 2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 的 優(yōu) 美標(biāo)號。

        (1) θ:X→[0,k]是單射;θ:Y→[k+32 m-8,q+32 m-9]-{44 m+k-13}是單射;

        因而,映射θ:V(2C4(3m-1)∪C8m-1∪G)→[0,q+32m-9]-{k+32 m-9}是單射。

        θ′:E(C8m-1)→[1,8 m-1]是雙射;

        θ′:E(G)→[32 m-8,q+32 m-9]是雙射;

        θ′:E(2C4(3m-1)∪C8m-1∪G)→ [1,q+32 m-9]是 一 一對應(yīng)。

        由(1)和(2)可知,θ就是非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G的缺k+32 m-9標(biāo)號值的優(yōu)美標(biāo)號。

        定理2 對任意正整數(shù)m,如果圖G是特征為k且缺k+20 m-6標(biāo)號值的交錯(cuò)圖(20 m-6≤k+20 m-6≤|E(G)|),則非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 存在缺標(biāo)號值k+32 m-9的優(yōu)美標(biāo)號。

        類似定理1的證明,可以證明θ就是非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G的缺k+32 m-9標(biāo)號值的優(yōu)美標(biāo)號。

        定理3 對任意正整數(shù)m,如果圖G是特征為k且缺k+20m-5標(biāo)號值的交錯(cuò)圖(20m-5≤k+20 m-5≤|E(G)|),則非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 存在缺標(biāo)號值k+1的優(yōu)美標(biāo)號。

        定義2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 的頂點(diǎn)標(biāo)號θ 為:

        類似定理1的證明,可以證明θ就是非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G的缺k+1標(biāo)號值的優(yōu)美標(biāo)號。

        定理4 對任意正整數(shù)m,如果圖G是特征為k且缺k+26 m-7標(biāo)號值的交錯(cuò)圖(26 m-7≤k+26 m-7≤|E(G)|),則非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 存在缺標(biāo)號值k+20 m-5的優(yōu)美標(biāo)號。

        證明 把2C4(3m-1)中的 一 個(gè) 圈 記 作,另 一 個(gè) 記作,設(shè)V()= {x1,x2,…,x4(3m-1)},)= {x1x2,x2x3,…,x12m-5x12m-4,x12m-4x1},V()={y1,y2,…,y12m-4},E()={y1y2,y2y3,…,y12m-5y12m-4,y12m-4y1},V(C8m-1)= {z1,z2,…,z8m-1},E(C8m-1)={z1z2,z2z3,…,z8m-2z8m-1,z8m-1z1},設(shè) X,Y 是圖G的一個(gè)二分化,θ1是圖G的交錯(cuò)標(biāo)號,且(v)=k<(v)=k+1,|E(G)|=q。

        定義2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 的頂點(diǎn)標(biāo)號θ 為:

        類似定理1的證明,可以證明θ就是非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G的缺k+20 m-5標(biāo)號值的優(yōu)美標(biāo)號。

        定理5 對任意正整數(shù)m,如果圖G是特征為k且缺k+26 m-6標(biāo)號值的交錯(cuò)圖(26 m-6≤k+26 m-6≤|E(G)|),則非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 存在缺標(biāo)號值k+12 m-4的優(yōu)美標(biāo)號。

        定義2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 的頂點(diǎn)標(biāo)號θ 為:

        類似定理1的證明,可以證明θ就是非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G的缺k+12 m-4標(biāo)號值的優(yōu)美標(biāo)號。

        定義2[4-5]V(G)={u1,u2,…,un}的每個(gè)頂點(diǎn)ui都粘接了ri條懸掛邊(ri為自然數(shù),i=1,2,…,n)所得到的圖,稱為圖G 的(r1,r2,…,rn)-冠,簡記為 G(r1,r2,…,rn)。特別地,當(dāng)r1=r2=…=rn=r時(shí),稱為圖G的r-冠。圖G的0-冠就是圖G。

        引理[4]對任意正整數(shù) m,任意自然數(shù)r,則 C4m(r,r,…,r)存在特征為2 m(r+1)-1,且缺3 m(r+1)的交錯(cuò)標(biāo)號。

        注意到:3 m(r+1)=(2 m(r+1)-1)+m(r+1)+1,由定理4和引理有下面的推論。

        推論 對任意正整數(shù)m,當(dāng)26 m-8=n(r+1)時(shí),非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪C4n(r,r,…,r)存在缺標(biāo)號值72 m-22的優(yōu)美標(biāo)號。

        例1 由推論,當(dāng)m=1,n=18,r=0時(shí),非連通圖2C8∪C7∪C72存在缺標(biāo)號值50的優(yōu)美標(biāo)號為:

        由推論,當(dāng)m=1,n=9,r=1時(shí),非連通圖2C8∪C7∪C36(1,1,…,1)存在缺標(biāo)號值50的優(yōu)美標(biāo)號為:

        由推論,當(dāng)m=1,n=6,r=2時(shí),非連通圖2C8∪C7∪C24(2,2,…,2)存在缺標(biāo)號值50的優(yōu)美標(biāo)號為:

        由推論,當(dāng)m=1,n=3,r=5時(shí),非連通圖2C8∪C7∪C12(5,5,…,5)存在缺標(biāo)號值50的優(yōu)美標(biāo)號為:

        由推論,當(dāng)m=1,n=2,r=8時(shí),非連通圖2C8∪C7∪C8(8,8,…,8)存在缺標(biāo)號值50的優(yōu)美標(biāo)號為:

        由推論,當(dāng)m=1,n=1,r=17時(shí),非連通圖2C8∪C7∪C4(17,17,17,17)存在缺標(biāo)號值50的優(yōu)美標(biāo)號為:

        [1] 馬克杰.優(yōu)美圖[M].北京:北京大學(xué)出版社,1991:1-247.

        [2] 董俊超.C4k∪C4k∪Cm的優(yōu)美性[J].煙臺大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)與工程版,1999,12(4):238-241.

        [3] 楊顯文.關(guān)于C4m蛇的優(yōu)美性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1995,12(4):108-112.

        [4] 吳躍生.關(guān)于圈 C4h的(r1,r2,…,r4h)-冠的優(yōu)美性[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào),2011,28(1):77-80.

        [5] 吳躍生,李詠秋.關(guān)于圈 C4h+3的(r1,r2,…,r4h+3)-冠的優(yōu)美性[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,32(6):1-4.

        [7] 吳躍生,徐保根.兩類非連通圖(P2)(0,0,r1,0,…,0,rn)∪St(m)及(P2)(r1+a,r2,0,…,0)∪Gr的優(yōu)美性[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,51(5):63-66.

        [8] 吳躍生.圖 C7(r1,r2,r3,r4,r5,0)∪St(m)的優(yōu)美性[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,33(5):9-11.

        [9] 吳躍生,王廣富,徐保根.關(guān)于C4h+1⊙K1的(Gr1,Gr2,…,Gr4h+1,Gr4h+2)-冠的優(yōu)美性[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào),2013,48(4):25-27.

        [10] 吳躍生.關(guān)于圈 C4h+3的(Gr1,Gr2,…,Gr4h+3)-冠的優(yōu)美性[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,34(4):4-9.

        [11] 吳躍生,王廣富,徐保根.非連通圖 C2n+1∪Gn-1的優(yōu)美性[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(6):26-29.

        [12] Gallian J A.A dynamic survey of graph labeling[J].The Electronic Joumal of Combinatorics,2007,16(DS6):1-58.

        [13] Jaromir Abrham,Anton Kotzig.All 2-regular graphs consisting of 4-cycles are graceful[J].Discrete Mathematics,1994,135:1-14.

        [14] 吳躍生.非連通圖2C4(3m-1)∪C8m-1∪G 的優(yōu)美標(biāo)號[J].唐山學(xué)院學(xué)報(bào),2014,27(3):12-14.

        [15] 吳躍生.非連通圖 G+e∪Hk-1的優(yōu)美性[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,35(2):3-5.

        [16] 吳躍生.非連通圖C4m-1∪G的優(yōu)美標(biāo)號[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,35(3):1-3.

        [17] 賈慧羨,左大偉.與扇圖相關(guān)的2類圖的超邊優(yōu)美標(biāo)號[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,35(2):6-9.

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