摘要：元認知提示語是教師針對學(xué)生生動活潑的元認知活動的提問，若將其運用到中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)之中，則能有效地改觀解題教學(xué)重“解”輕“學(xué)解”的現(xiàn)狀。本文介紹了將元認知提示語運用到數(shù)學(xué)師范生解題教學(xué)技能培養(yǎng)上的具體策略，并結(jié)合例題作了解題教學(xué)示范。

關(guān)鍵詞：元認知提示語；解題教學(xué)；著手解題；理解題意

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（b）-0000-00

The Training of the Problem-solving Teaching Skills of Mathematics Teachers with the Heuristic Words of Meta-cognition

LU Jun

（School of Teacher Education， Jiaxing University， Jiaxing， Zhejiang 314001）

Abstract： The heuristic words of meta-cognition is a type of questions which faces to the meta-cognition activities of students. If put it to the mathematical problem-solving teaching of middle school， we will change the appearance of the problem-solving teaching， which pays attention to “solving” but neglects “l(fā)earning to solve”. This paper introduces the specific strategies of the application of heuristic words of meta-cognition in training of the problem-solving teaching skills of mathematics teachers， and gives a demonstration of problem-solving teaching with an example.

Key words： heuristic words of meta-cognition； problem-solving teaching； to the problem-solving； understand the theme

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題學(xué)習(xí)，這必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題教學(xué)。因此數(shù)學(xué)教學(xué)的一個很重要的任務(wù)，就是教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題，教學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維[1]。解題教學(xué)技能的習(xí)得無疑是數(shù)學(xué)專業(yè)師范生的一門重要功課。

前蘇聯(lián)教育家斯托利亞爾曾指出：“怎樣教學(xué)生解問題？顯然，這是最復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題之一?！闭缢?，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動的教學(xué)其實質(zhì)是思維的活動，而思維活動的根本在于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。那么，解題教學(xué)應(yīng)該是最生動、最活潑的[2]。然而現(xiàn)實卻是，大部分教師持守陳舊觀念，固步于傳統(tǒng)的“師講生練”的解題教學(xué)模式，一味地單向灌輸著所謂的解題要訣與解題套路，如法炮制著一堂堂枯燥沉悶的習(xí)題課。

那么，在學(xué)科教學(xué)論課程的授課中，如何為數(shù)學(xué)師范生們講授正確的解題教學(xué)理論，訓(xùn)練其扎實的解題教學(xué)技能，以有效地幫助準教師去改觀今后的解題教學(xué)課堂，自然是一個值得深思的課題。

1 解題教學(xué)問題的癥結(jié)與對策

審視現(xiàn)今的解題教學(xué)狀況，筆者認為問題的癥結(jié)在于教育者對解題學(xué)習(xí)目的認識的偏差及本質(zhì)認識的盲目。

數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)的目的是什么？早有學(xué)者精辟指出，“在數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，學(xué)生的主要任務(wù)并不是解題，而是學(xué)習(xí)解題，因此教師教的重點和學(xué)生學(xué)的重點，不在于‘解’而在于‘學(xué)解’[3]”。但是一直以來，我們總是以“解”作為出發(fā)點，重結(jié)果輕過程，最終使得學(xué)生通過機械的模仿、記憶掌握了一定的解題套路，卻難以在解題的思想方法上有自己的體悟。

再論解題學(xué)習(xí)的本質(zhì)，也有學(xué)者論言，數(shù)學(xué)的解題學(xué)習(xí)主要是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。因為“數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)最有效的方法是：在解題中學(xué)習(xí)解題，即在盡可能不提供現(xiàn)成結(jié)論的前提下，親身獨立地進行數(shù)學(xué)解題活動，從中學(xué)習(xí)解題，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維，哪怕解題最終沒有到底，也會有所發(fā)現(xiàn)，有所體驗[3]。”然而我們卻不難發(fā)現(xiàn)，解題教學(xué)在教師們的導(dǎo)演下，有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)悄無聲跡，取而代之的是大量、反復(fù)的機械的接受學(xué)習(xí)。

以上兩大失誤最終造成了解題教學(xué)的低效甚至無效，要從根本上扭轉(zhuǎn)這一局面，關(guān)鍵要重視解題教學(xué)過程中學(xué)生的主體參與，重視學(xué)生的思維活動。引發(fā)學(xué)生積極、有效的思維活動的途徑之一，是教師需極力避免那些耗時、單調(diào)、陳舊的簡單判斷和機械回憶式的提問，更多地借助啟發(fā)性提示語對學(xué)生進行必要的引導(dǎo)，使學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)、提出和解決問題的學(xué)習(xí)心向。

2 元認知提示語的內(nèi)涵、特征與作用

啟發(fā)性提示語包含針對學(xué)生的認知活動，指向具體的信息加工的認知提示語和針對學(xué)生的元認知活動，指向元認知知識、元認知體驗和元認知監(jiān)控的元認知提示語兩類。前者為教師所熟悉并擅用，而后者則知者寥寥。

事實上，“元認知提示語”這一概念是涂榮豹教授在深入研究波利亞數(shù)學(xué)解題理論中的元認知思想并長期深入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂進行研課的基礎(chǔ)上提出的。他認為，數(shù)學(xué)解題元認知能力的提高，有賴于解題學(xué)習(xí)者善于運用波利亞的“提示語”以及善于提煉具有個人風(fēng)格的“提示語”[4]。

元認知提示語是教師針對學(xué)生生動活潑的元認知活動的提問。它幫助激發(fā)學(xué)生的自我意識，關(guān)注自身認知活動的進程，促使其選擇認知活動的策略，分析當(dāng)前遇到的困難并決定是否作出調(diào)整以及如何調(diào)整。在教師元認知提示語的引導(dǎo)下，學(xué)生的認知逐漸趨于清晰、規(guī)范、準確。

在著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞的“怎樣解題表”中，有大量自我詰問，自我反省式的問題，如“你以前見過它嗎？”“你知道一個與此相關(guān)的問題嗎？”“現(xiàn)在有一個與你問題相關(guān)的問題，你能利用它嗎？”“你能不能用不同的方法重新敘述這個問題？”“回到定義去?！钡榷紱]有直接涉及問題的具體內(nèi)容，完全是針對主體自身思維，是對自身解題思維活動的反詰。倘若將這些元認知提示語充分運用于解題教學(xué)中，必將為促進師生良好互動，有效啟發(fā)學(xué)生思維和收獲解題教學(xué)實效提供強有力的幫助。

3 數(shù)學(xué)師范生的解題教學(xué)技能培養(yǎng)

結(jié)合元認知提示語理論，我們對師范生的解題教學(xué)技能培養(yǎng)策略作了相應(yīng)改進，以期使處于精力旺盛、可塑性強、樂于接受新觀念新理論階段的師范生，能夠感知元認知提示語的強大功效，并在教學(xué)技能訓(xùn)練和教育實習(xí)中予以實踐，不斷強化自身的解題教學(xué)技能。

3.1 元認知提示語的理論講授

講授數(shù)學(xué)解題教學(xué)理論時，在保證一般解題教學(xué)理論講解到位的同時，重視講授數(shù)學(xué)解題中的元認知思想。首先對于波利亞的解題理論，我們將其作為數(shù)學(xué)教育基本理論的一部分作系統(tǒng)講授，讓學(xué)生對著名的“怎樣解題表”有一個明晰的認識和理解。其次，結(jié)合波利亞的解題四步驟講授解題中的元認知提示語，特別針對最為重要的第一環(huán)節(jié)——理解題意，教授“如何著手解題”和“如何理解題意”兩套元認知提示語。

3.1.1 如何著手解題

如何著手解題是當(dāng)遇到一個陌生的新問題時，最先開始時應(yīng)該如何思考。此時解題者缺乏解題的思路和方法，但擁有問題的條件和相關(guān)的知識、方法、經(jīng)驗，需要想辦法從“所有”去找到“所無”，尋找的途徑可以借助如下一系列問題來探索。

這是一個什么問題？要求（證）什么？這也就是要求（證）什么？

已知條件有哪些？哪些你可以直接利用？沒法直接利用的那些條件你可以進行轉(zhuǎn)化嗎？

還缺少什么條件？你能從已知條件中再挖掘出一些隱藏著的條件嗎？

所有這些條件你如何利用？想想還有沒條件沒有利用？

3.1.2 如何理解題意

較之于如何著手解題，更為重要的是如何理解題意。實踐表明，學(xué)生不能很好解題的最重要原因，就是沒有樹立重視理解題意的意識，沒有養(yǎng)成理解題意的良好習(xí)慣，更沒有掌握如何理解題意的方法。以下是一套用于理解題意的元認知提示語[1]：

它是什么？如何表示？能否表示成其他形式？

它有什么性質(zhì)？如何表示？能否表示成其他形式？

它們有什么關(guān)系？如何表示？能否表示成其他形式？

它是否與其他問題有聯(lián)系？能否利用這個聯(lián)系？

3.2 元認知提示語的實踐演練

理論講授之后，教師結(jié)合整個課程計劃，精選3道相當(dāng)于高考綜合題第一、二題難度的習(xí)題，根據(jù)課程伊始的抽簽順序確定9名學(xué)生在此階段進行解題教學(xué)練習(xí)，由學(xué)生自行協(xié)商后安排每3人講授其中一道題。為便于對講課效果進行比較分析，盡量將同一道題的講授置于同一時間段內(nèi)。所有的練習(xí)都在微格教室進行同步攝錄，以幫助后續(xù)的反思研討。每位學(xué)生模擬過后，開展由學(xué)生自評、生生互評及教師點評三者相結(jié)合的多重評價，若各方評價后認為該生的解題教學(xué)能夠過關(guān)，教師就為其打分，作為其在教學(xué)技能項目上的得分，如果普遍認為暴露的問題過多，教師則要求學(xué)生綜合各方意見，反思改進后進行二次實踐。訓(xùn)練流程圖如下：

布置解題教學(xué)任務(wù)的同時，教師向所有解題教學(xué)實踐者講明要求：每人的講課時間控制在15min左右；在進行解題教學(xué)設(shè)計時，要求圍繞具體問題對設(shè)計好的元認知提示語進行分類和分層預(yù)設(shè)，提煉具有層次性的系列提示語，并按照每一問與解題目標的接近度由遠及近排列；模擬教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生認知活動的水平和層次，靈活選擇相應(yīng)層級的提示語，由遠及近，由元認知過渡到認知，逐步達成目標；另外，元認知提問務(wù)必緊密結(jié)合學(xué)生正在進行的認知活動，并留給學(xué)生充分的思考時間。

4 元認知提示語在解題教學(xué)中的應(yīng)用示例

例：在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cos2A = ，sinB = 。

（1）求A+B的值；

（2）若a-b=-1，求a、b、c的值。

該題是三角函數(shù)模塊中的一道綜合題，旨在考察學(xué)生對兩角和的正（余）弦公式、二倍角公式及其變形形式、正弦定理等基本公式的掌握。作為解題教學(xué)練習(xí)題，要求練習(xí)者能夠充分運用元認知提示語，幫助學(xué)生厘清各項條件（包括已知的和利用已知可求得的條件）后，綜合所有條件尋找解題途徑。在第二問中，特別要在幫助學(xué)生抓住現(xiàn)有結(jié)論以建立邊角關(guān)系上下功夫。以下一系列用于著手解題和理解題意的提示語可幫助教師有效引導(dǎo)學(xué)生思考。

這是一個什么問題？要求什么？——“這是一個求角度的問題，要求的是兩角和的度數(shù)?！?/p>

現(xiàn)在已知條件有哪些？可以直接利用嗎？——“現(xiàn)在已知角A、B、C都是三角形的內(nèi)角，且A、B為銳角，另外題目告訴我們cos2A = ，sinB = 。這些條件都不能直接用來求A+B的值?！?/p>

那么既然A+B的值不能直接去求，根據(jù)已知條件，你能想到把結(jié)論轉(zhuǎn)化一下嗎？——“既然題目告訴我們cos2A = ，sinB = ，看來這是一個與三角函數(shù)有關(guān)的問題，那可以通過求cos（A+B）或sin（A+B）來間接得到A+B的值?！?/p>

那現(xiàn)在哪些條件可以利用了？怎么利用？——“已知的條件都有用了。譬如通過求cos（A+B）來求A+B的值，由sinB = 及角B為銳角，推出cosB的值，又已知cos2A = ，因為cos2A =1-2sin2A=2cos2A-1，角A也為銳角，這樣可以先求得sinA再得cosA或先求得cosA再得sinA，最后把sinA、cosA、sinB、cosB代入兩角和的余弦公式，就不難求得A+B的值了?！?/p>

上述一系列提問可以是個別提問，也可以是面向全體發(fā)問，或者向接力賽一般提問若干學(xué)生。一連串元認知提問的背后，是學(xué)生主體參與的增強與思維活動被引向深處。對于該題的第二問，教師同樣可以借助元認知提問來開展有效的解題教學(xué)。

條件是什么？要求什么？——“條件是a-b=-1，即三角形的兩邊之差，要求的是三角形三條邊各自的長?！?/p>

那么這一問所給的條件連同題設(shè)和第一問得出的結(jié)果，你能利用起來去求三邊長嗎？——“好像不能直接利用?！?/p>

為什么不能直接利用？——“上一問是求角度，第二問是求邊長，關(guān)于三角形的角度和邊長之間的關(guān)系題目中沒有相關(guān)條件了?！?/p>

題目中沒有相關(guān)條件，那我們在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時候有沒有學(xué)過一些關(guān)于三角形的角度和邊長關(guān)系的定理？——“有，正弦定理和余弦定理?！?/p>

好的，那么這兩個定理你感覺哪個用起來更方便？——“正弦定理。”

那我們來試試看。要用正弦定理的話，現(xiàn)在已知什么？還缺什么沒有？——“已知sinA和sinB，還有a-b=-1，缺了sinC、c兩個值還有a、b中的某個值。”

那么所缺少的條件中，有沒什么是你還可以進一步求得的？——“sinC，因為由A+B的值可知角C度數(shù)?！?/p>

回想下正弦定理的公式，現(xiàn)在條件夠了嗎？——“夠了，根據(jù)a-b=-1這一關(guān)系式，a、b兩邊中一條邊先用另一條邊來表示，利用正弦定理解方程后求得其中一邊后得到另一邊長，然后再用一次正弦定理可以求出c?！?/p>

完成解答后，教師還可通過元認知提問來幫助學(xué)生進行解題回顧，譬如提問學(xué)生“如果我們通過求sin（A+B）來求A+B的值，那會怎樣？”，“第二問除了用正弦定理，還有別的方法可行嗎？”等引導(dǎo)他們對一些細節(jié)問題作深入思考。

5 結(jié)語

以上是將元認知提示語運用到數(shù)學(xué)師范生的解題教學(xué)技能培養(yǎng)上的具體策略。通過教師的不懈努力，已初顯實效。三輪實踐中，我們的準教師都能有意地回避掉那些傳統(tǒng)的解題教學(xué)留下的烙印，積極樹立啟發(fā)式教學(xué)思想，在解題教學(xué)和需要引導(dǎo)學(xué)生思維的教學(xué)階段能夠主動運用元認知提示語開展良好的師生互動，向著幫助學(xué)生真正學(xué)會解題，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維這一目標邁進。

參考文獻

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