【摘要】本文首先提出一種結(jié)合了三角近似與改進(jìn)局部網(wǎng)格的共形FDTD算法，然后將該算法應(yīng)用于金屬目標(biāo)的雷達(dá)散射截面計(jì)算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法簡單高效，不需要通過減小時(shí)間步長的方式就能得到較高精度的穩(wěn)定解。

【關(guān)鍵詞】改進(jìn)局域網(wǎng)格共形時(shí)域有限差分法雷達(dá)散射截面

傳統(tǒng)的時(shí)域有限差分法（FDTD）以Yee[1]網(wǎng)格為基礎(chǔ)，對(duì)Maxwell微分方程直接差分離散，由于算法簡單，可擴(kuò)展性強(qiáng)，已廣泛地應(yīng)用于目標(biāo)散射、天線、電磁兼容等的模擬分析與計(jì)算中。由于使用Yee網(wǎng)格，在對(duì)復(fù)雜電磁結(jié)構(gòu)建模時(shí)，常常會(huì)遇到電磁邊界不能和傳統(tǒng)網(wǎng)格體系共形的情況。對(duì)于介質(zhì)曲面來說，曲面突變導(dǎo)致的階梯近似誤差并不明顯，往往通過簡單的對(duì)電參數(shù)取平均的方式來減少計(jì)算誤差，而對(duì)于金屬曲面來說，階梯誤差的表現(xiàn)非常突出，雖然可以通過減小網(wǎng)格尺寸的方法來提高計(jì)算精度，但這無疑會(huì)增大內(nèi)存需求和運(yùn)行時(shí)間，并不適合于工程應(yīng)用，使用曲面共形技術(shù)是種不錯(cuò)的選擇。

一種簡單的共形方法稱為對(duì)角近似，這種方法的缺點(diǎn)是：為了得到穩(wěn)定解，F(xiàn)DTD的時(shí)間步長必須減小到原來的一半。1992年，T.Jurgens和A.Taflove等人提出了Contour-Path方法[2]，求解電場(chǎng)和磁場(chǎng)的法拉第環(huán)路圍繞著物體邊界。這種方法精度較高，缺點(diǎn)是：計(jì)算復(fù)雜，同時(shí)也必須減小時(shí)間步長，遞推過程中還可能導(dǎo)致解的不穩(wěn)定。1997年，S.Dey和R.Mittra提出新的共形技術(shù)[3]。只要求修改求解磁場(chǎng)的法拉第環(huán)路，算法的實(shí)現(xiàn)仍需減小時(shí)間步長，同樣也可能導(dǎo)致不穩(wěn)定解。本文采用文獻(xiàn)[4]的方法對(duì)金屬曲面作共形處理。下面，首先給出曲面共形的基本原理，然后以金屬球的RCS計(jì)算為例，對(duì)算法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

為了進(jìn)一步減少由于計(jì)算曲面積分而帶來的時(shí)間消耗，采用三角近似法處理曲面邊界，即，將彎曲曲面近似為直線。算法中，對(duì)滿足共形條件的網(wǎng)格（圖1（a））采用常規(guī)的共形處理方案（CFDTD），即磁場(chǎng)的計(jì)算只考慮處于理想導(dǎo)體外的電場(chǎng)貢獻(xiàn)；對(duì)于那些不滿足條件的變形網(wǎng)格（見圖1（b）），積分區(qū)域沿整個(gè)網(wǎng)格進(jìn)行，采用插值修正鄰近電場(chǎng)的方式對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行修正。當(dāng)磁場(chǎng)計(jì)算完后，電場(chǎng)仍按照一般的FDTD遞推公式進(jìn)行迭代，不做任何的修改。下面，以Hz的迭代為例，具體給出兩種變形網(wǎng)格的共形處理方案。

二、數(shù)值結(jié)果與討論

分別以半徑為0.75m、1.5m、3m的金屬球的后向散射單站RCS計(jì)算為例，入射波最大頻率為300MHz，水平極化，垂直入射。網(wǎng)格步長為Δs=0.05m，時(shí)間步長為Δt=Δs/2c。

圖2為半徑是1.5m的金屬球的后向散射單站RCS曲線，圖2的數(shù)據(jù)結(jié)果顯示，未使用共形技術(shù)前，金屬球的RCS曲線在0～200MHz的中低頻部分出現(xiàn)較大的計(jì)算誤差，使用共形技術(shù)后，這種誤差有了明顯的改善。

表1列出了三種不同尺寸金屬球的RCS在使用共形技術(shù)前后的誤差比較。對(duì)于半徑0.75m的金屬小球，離散網(wǎng)格的數(shù)量不足以精確模擬球體形狀，對(duì)角近似的應(yīng)用并不能夠有效改善梯形近似引起的誤差，甚至?xí)龃筮@種誤差[5]。而對(duì)于半徑1.5m、3.0m的金屬球來說，算法本身所帶來的梯形近似誤差表現(xiàn)明顯，且隨著球體尺寸的增大而增加，這時(shí)，曲面共形技術(shù)的應(yīng)用將中低頻部分（0～200MHz）的計(jì)算誤差進(jìn)一步減小了（30%～70%）；在提高計(jì)算精度的同時(shí)，共形技術(shù)的使用并沒有縮短時(shí)間步長，盡管計(jì)算時(shí)間有所增加，但在同樣的迭代步數(shù)下就可以得到穩(wěn)定解；比較兩種方法發(fā)現(xiàn)，共形技術(shù)的使用并沒有引起計(jì)算內(nèi)存的大幅增加，內(nèi)存增幅不超過30%，因此，結(jié)合了對(duì)角近似的改進(jìn)局域網(wǎng)格共形技術(shù)適合于曲面結(jié)構(gòu)電磁目標(biāo)的散射場(chǎng)計(jì)算。

四、結(jié)論

本文將傳統(tǒng)的三角近似法與改進(jìn)局部網(wǎng)格的共形技術(shù)相結(jié)合，建立了簡單高效的金屬曲面共形FDTD算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法不需要通過減小時(shí)間步長的方式就能得到穩(wěn)定解；相較普通的FDTD算法，共形技術(shù)的使用極大提高了曲面散射體在中低頻部分的計(jì)算精度，誤差減小幅度可達(dá)70%而內(nèi)存的增加幅度只是30%，因此，結(jié)合了對(duì)角近似的改進(jìn)局域網(wǎng)格共形技術(shù)適合于實(shí)際的工程應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] Yee K S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media. IEEE Trans Antennas Propag， 1966， 14（3）： 320-307.

[2] Jurgens T G， Taflove A， Umashankar K et al. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces [J]. IEEE Trans Antennas Propag， 1992， 40（4）： 357-366.

[3] Dey S， Mittra R. A locally conformal finite-difference time-domain（FDTD） algorithm for modeling three-dimensional perfectly conducting objects. IEEE Microwave Guided Wave lett [J]. 1997， 7（9）： 273-275.

[4]李龍、張玉、梁昌洪.波導(dǎo)寬邊縫隙天線的改進(jìn)共行FDTD分析[J].電子學(xué)報(bào). 2003， 31（6）： 860-863.

[5]張曉燕.地下目標(biāo)電磁散射的時(shí)域有限差分計(jì)算[D].北京：中國科學(xué)院電子學(xué)研究所，2007.