摘 要：在線彈性斷裂力學和D-M模型的基礎上，推導出了受單向拉伸含中心穿透裂紋的理想彈塑性材料J積分的解析式；通過ANSYS對彈塑性J積分進行數(shù)值計算，與推導出的解析解比較，表明了用有限元方法計算彈塑性J積分具有相當高的精度；分析了J積分與裂紋初始長度及外荷載的關系；對理想彈塑性材料塑性區(qū)大小進行了探討，結果表明，塑性區(qū)尺寸隨外荷載增大而增大，并且外荷載接近屈服應力時，裂紋塑性區(qū)尺寸趨近于無窮大，進入全面屈服。

關鍵詞：彈塑性斷裂 J積分 D-M模型 塑性區(qū)尺寸 數(shù)值模擬 ANSYS

中圖分類號：O344.3文獻標識碼：A文章編號：1674-098X（2013）05（c）-0091-03

一般脆性金屬材料，如鑄鐵等在裂紋擴展前，其端部都將出現(xiàn)一個塑性區(qū)。當此塑性區(qū)尺寸很小，即遠小于裂紋時，線彈性斷裂力學仍有足夠的精度。此類斷裂稱為小范圍屈服斷裂，可以采用對線彈性力學導出的應力強度因子進行修正的方法來處理。然而對于延性較好的金屬材料，如果在裂紋擴展前，塑性區(qū)尺寸已經(jīng)接近甚至超過裂紋本身的尺寸，就屬于大范圍屈服斷裂問題。此時線彈性斷裂力學理論已不再適用，用應力強度因子衡量裂尖應力場強度將失去意義。這種塑性變形占較大比重的斷裂問題就要用彈塑性斷裂理論來解決，目前廣為應用的是COD原理.J積分理論等方法[1]。其中，J積分作為一個重要的斷裂參量，在彈塑性領域中能起到反映裂紋尖端應力.應變場奇異性強度的作用，因而是描述材料斷裂的一個重要判據(jù)。此外J積分具有與積分路徑無關的特性，它可以避開裂尖高應變區(qū)求得可靠的結果。由于在工程應用上，彈塑性斷裂的J積分數(shù)值計算十分困難，有限元法便成為求解J積分一個很重要的手段。

1 基本理論與方程

1.1 D-M模型與常見參量

對于含裂紋薄板結構，加載時發(fā)現(xiàn)裂紋尖端的塑性區(qū)成扁平狀[2]，如圖（1），這就是所謂的D-M模型，即Dugdale—Barenblatt帶狀屈服區(qū)模型。它是一個彈性模型，把裂紋長度由原來的2a擴展到2（a+d），裂紋尖端前緣的塑性變形只集中在裂紋的延長線方向一長度為d應力為的窄長材料中，而2（a+d）外材料仍處于彈性狀態(tài)?；诖四Ｐ涂梢暂^好地處理具有穿透型裂紋的板的彈塑性問題，有的學者還對D-M模型進行了研究與應用[3-4]。

J積分是Rice在討論裂紋問題時提出來的，它避開直接計算裂紋尖端附近的彈塑性應力應變場，并具有與路徑無關的特性，可作為表示裂紋尖端應變集中特征的平均參數(shù)。COD[5]，即張開位移，是指裂紋體受載后，裂紋尖端的裂紋表面張開的位移量。一定的COD值對應于裂紋端部的一定應力與應變場強度，即可以把COD的值用作間接度量，并用符號δ表示。J積分與COD在彈塑性斷裂力學中起很重要作用，在工程中常用來作為結構安全評定的參數(shù)。

1.2 J積分解析式的求解

下面以均勻受拉的中心穿透裂紋為例，求基于D-M模型的理想彈塑性材料下J積分的解析解。分為兩個步驟：（1）D-M模型下，J積分與COD的關系。（2）D-M模型下，裂紋尖端張開位移，即COD。

步驟1 J積分與COD的關系

在圖（1）所示裂紋尖端取回路ABC，即圍繞塑性區(qū)的一個回路求J積分。

J=

沿AB BC段dy=0 ds=dx及=

所以J= （1）

又由式（1）得J= （2）

步驟2 裂紋尖端張開位移COD

裂尖張開位移δ可以由圖（2）中的（a）與（b）的COD疊加而成。

圖（a）與（b）情況下的應力強度因子[6]分別為：

由彈塑性裂紋特性知，裂尖處，解得

（3）

在x=a處，圖（a）與（b）的裂紋張開位移分別為

裂尖的張開位移 （4）

綜上，結合式（2）（3），得 （5）

此即為D-M模型下彈塑性材料J積分解析解表達式。

2 彈塑性J積分的有限元模擬

2.1 彈塑性J積分算例

以均勻受拉的中心穿透裂紋板為計算模型，平面應力狀態(tài)，幾何模型如圖（3）所示。2a=50 mm，2b=200 mm，2h=400 mm.材料的屈服應力Mpa，E=205000Mpa，。由對稱性可取模型進行建模分析[7-8]，全模型網(wǎng)格劃分如圖（4）所示。

2.2 分析與討論

2.2.1 J積分大小隨裂紋長度的變化情況

為了方便表示，用作為裂紋長度的表征參數(shù)。取不同的裂紋長度，ANSYS分析程序給出的J積分值，并與D-M模型的解析解 式（4）進行比較，列于表1。從表中可以看出，J積分隨著裂紋半長度a增大而幾乎成線性增大。從誤差在允許范圍內(nèi)知，ANSYS等有限元軟件可較準確的求得J積分的值，從而為工程應用提供了方便與可行性。

2.2.2 J積分大小隨外荷載的變化情況

為了方便表示，用作為外荷載的表征參數(shù)。取不同的外荷載，ANSYS分析程序給出的J積分值，并與D-M模型的解析解 式（4）進行比較，列于表1-II。圖（5）示出了裂紋初始半長度a一定時，ANSYS給出的值與D-M模型解析解隨外荷載的變化關系，呈非線性增大。同時發(fā)現(xiàn)在小于0.7時，由有限元方法計算的J積分與D-M解析解誤差小于3%；當外荷載繼續(xù)增大時，由于塑性區(qū)尺寸開始變得較大，見圖（6），不能選擇合理的J積分的路徑，導致誤差變得較大，需經(jīng)多次選擇才能找到誤差小的路徑。

2.2.3 塑性區(qū)尺寸隨外荷載的變化情況

由3式可求出彈塑性裂紋的塑性區(qū)尺寸d=c-a ，由該式可以看出裂紋塑性區(qū)尺寸與裂紋初始半長度a及外荷載有關[9]。圖（6）則給出了塑性區(qū)相對裂紋半長度的大小隨外載荷的變化圖，從圖中可看出，當裂紋初始半長度a恒定時，外荷載增大時，塑性區(qū)尺寸也隨之增加。并且接近1時，裂紋塑性區(qū)尺寸趨近于無窮大，也就是裂紋整個被塑化，此時整個板材已全面屈服，即屬于全面屈服斷裂問題。圖（7）給出了平面應力下，不同外荷載時，塑性區(qū)的Mises屈服準則下的等效塑性應變云圖?？梢钥闯鏊苄詤^(qū)成蝶狀，并且其大小隨外荷載增大而增大。

3 結語

該文基于有限元軟件對彈塑性裂紋J積分與裂紋長度及外荷載的關系，塑性區(qū)尺寸與外荷載的關系進行了數(shù)值分析。最后強調一點，J積分雖具有明確的理論基礎和物理意義，可以作為表示裂紋尖端應力場奇異性強度的度量參數(shù)等優(yōu)點。但嚴格地講[3]，（1）只能適用于彈性體和服從全量理論的塑性體；（2）只能應用于二維；（3）只能適用于小變形問題；（4）只能適用于裂紋表面無荷載作用的情況。

參考文獻

[1]Gross D.Bruchmechanik[M].Berlin Springer Verlag，1996.

[2]洪啟超.工程斷裂力學基礎[M].上海：上海交通大學出版社，1987.

[3]李罡，李林奎，溫海濤，等.基于D-M模型的研究與應用[J]. 喀什師范學院學報，2004（3）.

[4]劉元鏞，湯玄春.J積分的數(shù)值計算及Dugdale模型的彈塑性修正系數(shù)Φ的適用范圍[J].西北工業(yè)大學學報，1987（4）.

[5]酈正能，何慶芝.工程斷裂力學[M].北京：航空航天大學出版社，1993.

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[8]張朝暉.ANSYS12.0結構分析工程應用實例解析[M].3版.北京：機械工業(yè)出版社，2010.

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