眾所周知，數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，列一元一次方程解應(yīng)用題也不例外，在列一元一次方程解應(yīng)用題的過程中也蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)思想，如果能靈活運(yùn)用，往往能更好地列出一元一次方程去輕松解答應(yīng)用題. 現(xiàn)就列一元一次方程解應(yīng)用題中常見的思想方法舉例說明.

一、 設(shè)k法

利用一元一次方程解應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)比例問題，這時(shí)若能巧妙地設(shè)定未知單位量k，就能輕松地列出方程求解.

例1 一個(gè)三角形三條邊長(zhǎng)的比是2∶4∶5，最長(zhǎng)的邊比最短的邊長(zhǎng)6厘米，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

【分析】要求三角形的周長(zhǎng)，若知道三邊即可，由于三角形三條邊長(zhǎng)的比是2∶4∶5，可設(shè)這三條邊長(zhǎng)分別為2k、4k、5k，這樣根據(jù)最長(zhǎng)的邊比最短的邊長(zhǎng)6厘米，即可列出方程求解.

解：因?yàn)槿切稳龡l邊長(zhǎng)的比是2∶4∶5，所以設(shè)這三條邊長(zhǎng)分別為2k、4k、5k，則根據(jù)題意，得5k-2k=6. 解得k=2.

所以三角形的周長(zhǎng)為2k+4k+5k=22厘米.

答：這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為22厘米.

二、 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指在研究問題的過程中，由數(shù)思形、由形想數(shù)，把數(shù)與形結(jié)合起來解決問題的思想方法.

例2 如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)顏色不同的正方形組成. 設(shè)中間最小的一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，則這個(gè)矩形色塊圖的面積為_______.

【分析】通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，除了邊長(zhǎng)為1的正方形，其余5個(gè)正方形中，右下角的兩個(gè)大小相等，順時(shí)針方向上的正方形邊長(zhǎng)依次增加1.

解：設(shè)右下角兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形邊長(zhǎng)為x，則順時(shí)針方向的其余三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)依次為x+1、x+2、x+3. 根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，可得x+x+（x+1）=（x+2）+（x+3），解得x=4.

所以（x+2）+（x+3）=13，（x+2）+（x+1）=11，即13×11=143.

答：矩形的面積為143平方單位.

三、 整體思想

在研究應(yīng)用問題時(shí)，若能將所要思考的問題看成一個(gè)整體，通盤考慮，則既便于列方程，又便于解方程.

例3 一個(gè)六位數(shù)左端的數(shù)字是1，如果把左端的數(shù)字1移到右端，那么所得新的六位數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原來的六位數(shù).

【分析】本題若逐個(gè)設(shè)出各位數(shù)字，則未知數(shù)過多，不易列出方程. 如果從整體思考，視后五位數(shù)為一個(gè)整體，則方便簡(jiǎn)捷.

解：設(shè)原六位數(shù)為100 000+x，則根據(jù)題意，得10x+1=3（100 000+x），

解得x=42 857.

答：原六位數(shù)為142 857.

四、 分類思想

數(shù)學(xué)的思維是嚴(yán)密的，所以求解許多數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，為保證答案全面、完整，需要分情況解決，這有利于培養(yǎng)思維的縝密性.

例4 在一條直的長(zhǎng)河中有甲、乙兩船，現(xiàn)同時(shí)由A地順流而下，乙船到B地時(shí)接到通知需立即返回到C地執(zhí)行任務(wù)，甲船繼續(xù)順流航行. 已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時(shí)7.5千米，水流的速度是每小時(shí)2.5千米，A、C兩地間的距離為10千米，如果乙船由A地經(jīng)B地再到達(dá)C地共用了4小時(shí)，問乙船從B地到達(dá)C地時(shí)，甲船離B地有多遠(yuǎn)？

【分析】因?yàn)镃地的位置不確定，它既可能在A、B兩地之間，也可能在A地的上游，所以應(yīng)進(jìn)行分類討論.

解：設(shè)乙船由B地航行到C地用了x個(gè)小時(shí)，那么甲、乙兩船由A地航行到B地都用了（4-x）小時(shí). 下面分兩種情況：

1. 若C地在A、B兩地之間，則根據(jù)題意，得（4-x）（7.5+2.5）-x（7.5-2.5）=10.

解得x=2. 這時(shí)10×2=20（千米）.

2. 若C地在A地的上游，則根據(jù)題意，得x（7.5-2.5）-（4-x）（7.5+2.5）=10.

解得x=■. 這時(shí)10×■ = ■（千米）.

答：乙船從B地到達(dá)C地時(shí)，甲船離B地有20千米或■千米.

五、 逆向思維

數(shù)學(xué)中有些問題，如果按照題意敘述由后往前推算就顯得很簡(jiǎn)單，這種解決問題的方法叫逆推法. 逆推法是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法. 有些數(shù)學(xué)問題若按常規(guī)思維方法考慮非常困難，而用逆推法就十分簡(jiǎn)便.

例5 李颯的媽媽買了幾瓶飲料. 第一天，他們?nèi)液攘巳匡嬃系囊话肓惆肫?；第二天，李颯招待來家中做客的同學(xué)，又喝了第一天剩下的飲料的一半零半瓶；第三天，李颯索性將第二天所剩的飲料的一半零半瓶喝了. 這三天，正好把媽媽買的全部飲料喝光，則李颯的媽媽買的飲料一共有多少瓶？

【分析】如果設(shè)媽媽買的飲料一共有x瓶，則第一天喝了■+■瓶，第二天喝了■x-■-■？搖+■瓶，第三天……這種做法很繁. 若能依據(jù)題意，反過來考慮，問題或許就簡(jiǎn)單多了.

解：設(shè)第三天李颯喝飲料之前，還有x瓶飲料，則x-■+■=0，即■-■=0. 解得x=1. 這也是第二天喝飲料之后所剩的飲料瓶數(shù).

設(shè)第二天喝飲料之前，還有y瓶飲料，則■-■=1. 解得y=3. 這也是第一天李颯全家喝飲料之后所剩的飲料瓶數(shù).

再設(shè)李颯全家喝飲料之前，還有z瓶飲料，則■-■=3.

解得z=7. 這就是李颯全家喝飲料之前媽媽買的飲料瓶數(shù).

答：李颯的媽媽買的飲料一共有7瓶.

下面一道題目供同學(xué)們自己練習(xí)：

甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)相向出發(fā)，在離B地6千米處相遇后又繼續(xù)前進(jìn)，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在離A地8千米處相遇，求A、B兩地間的距離.

參考答案

【分析】用常規(guī)方法解決本題具有一定難度，若把兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程一起處理，便可使問題迎刃而解.

解：第一次相遇，甲、乙兩人合走一個(gè)全程，對(duì)應(yīng)乙走6千米；第二次相遇，甲、乙兩人合走了三個(gè)全程，故乙共走了18千米.設(shè)A、B兩地間的距離為x千米，第二次相遇時(shí)乙走了（x+8）千米，所以x+8=18，x=10.

答：A、B兩地間距離為10千米.