在中學(xué)階段開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)課程，一方面是為了讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，另一方面是為了培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力，讓學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法。兩者相比較，后者更為重要。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程?！备鶕?jù)《課標(biāo)》編寫(xiě)的蘇科版初中數(shù)學(xué)教材，穿插設(shè)計(jì)了一些“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！被顒?dòng)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)踐性和科學(xué)性。我們要切實(shí)搞好這些活動(dòng)，提高學(xué)生“生活數(shù)學(xué)”的意識(shí)。我們很多人都知道，在數(shù)學(xué)上有一個(gè)著名的“將軍飲馬問(wèn)題”：古希臘有一位聰明的學(xué)者，一位將軍向他請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：如圖1，從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再回到B地，怎么走路線最短？如何確定飲馬的地點(diǎn)？答案只有一個(gè)：兩點(diǎn)之間，線段最短。但是，在這個(gè)問(wèn)題中，馬走的是一條折線，這又該怎么辦呢？

分析：在河邊飲馬的地點(diǎn)有許多處，把這些地點(diǎn)與A、B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和。現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的那個(gè)點(diǎn)來(lái)。

在圖上過(guò)B點(diǎn)作河邊MN的垂線，垂足為C，延長(zhǎng)BC到B'，B'是B地關(guān)于河邊MN的對(duì)稱點(diǎn)；連結(jié)AB'，交河邊MN于P，那么P點(diǎn)就是題目所求的飲馬地點(diǎn)。為什么飲馬的地點(diǎn)選擇在P點(diǎn)能使路程最短呢？因?yàn)锽P==B'P，AP與BP的長(zhǎng)度之和就是AP與PB'的長(zhǎng)度之和，即是AB'的長(zhǎng)度；而選擇河邊的任何其他點(diǎn)，如D，路程AD+DB=AD+DB'，由于A、B'兩點(diǎn)的連線中，線段AB'（兩點(diǎn)之間，線段最短）是最短的，所以選擇P點(diǎn)時(shí)路程要短于選擇D點(diǎn)時(shí)的路程。

將軍飲馬問(wèn)題反映數(shù)學(xué)中的對(duì)稱性問(wèn)題，由此我們可抽象出數(shù)學(xué)模型：定直線L兩旁有兩個(gè)定點(diǎn)AB，在直線L上存在動(dòng)點(diǎn)P，若要使得PA+PB的值最小，可作定點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接AB'，則AB'與直線L的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為AB'。上述模型可以解決下列問(wèn)題。

一、在幾何圖形中建模

例1：如圖2，等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為2，E是斜邊AB的中點(diǎn)，P是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是多少？

解析：尋找模型：此題中定點(diǎn)分別為B、E，動(dòng)點(diǎn)P在定直線AC上。所以作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'E交AC于P，此時(shí)PB+PE的值最小連接A B'。由題意可得AB=A B'=2■，AE=■，∵∠B'AC=∠BAC=45°，∴∠B'AC =90°，∴PB+PER的最小值= B'E=■=■。

二、幾何圖形延伸中建模

當(dāng)題中的定點(diǎn)數(shù)目變?yōu)?個(gè)時(shí)，飲馬問(wèn)題的模型同樣適用。

例2：如圖3，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值。

解析：尋找模型：此題中只有一個(gè)定點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)M在定直線AC上，所以可作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，過(guò)B'作B'N⊥AB于N，交AC于M。因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離中，垂線段最B+lZuEdQXXiM4S8Arqdi8cQmZopFP/0S0d7QVcCLV1k=短，所以此時(shí)BM+MN的值最小?！摺螧AC=30°?！唷螧'AB=60°。 ∵點(diǎn)B'與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，∴AB'=AB，∴△B'AB是等邊三角形，∴B'B=AB=2，∠B'BN=60°。又∵B'N⊥AB，∴B'N=■，即BM+MN的最小值為■。

三、在代數(shù)中建模

例3：求代數(shù)式■+■ （0≤x≤4）的最

小值。

解析：將求代數(shù)式■+■（0≤x≤4）的最小值轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱——最短路線問(wèn)題。構(gòu)造圖形如圖4所示。其中：AB=4，AC=1，DB=2，AC=x，CA ⊥AB于A，DB⊥AB于B。那么PC+PD=■+■，所求■+■的最小值就是求PC+PD的最小值。作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，過(guò)C'作C'E垂直DB的延長(zhǎng)線于E。則C'E=AB=4，DE=2+1=3，CD'= C'E2 + DE2=■=5，所求■+■的最小值是5。

以上各題都可以嘗試一題多解，力求達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的。

另外，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”還可以在求最小周長(zhǎng)中建模。通過(guò)以上各種建?；顒?dòng)，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題能力，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，達(dá)到《課標(biāo)》提出的“引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的要求。

總之，飲馬問(wèn)題的關(guān)鍵是“兩點(diǎn)之間線段最短”，這個(gè)道理是初一學(xué)生都能掌握的。但它可以深化與拓展，當(dāng)它與其他相關(guān)知識(shí)結(jié)合時(shí)，就有許多巧妙的應(yīng)用。在建模過(guò)程中我們要掌握其本質(zhì)——“兩點(diǎn)之間線段最短”，抓住這個(gè)基本點(diǎn)建模。挖掘這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，許多問(wèn)題便可以迎刃而解。通過(guò)這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，能夠培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)“在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面”確實(shí)具有“不可替代的作用”，“義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程能為學(xué)生未來(lái)生活、工作和學(xué)習(xí)奠定重要的基礎(chǔ)”。