學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，要有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，以積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展問(wèn)題解決能力。那么，什么樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)以及如何實(shí)施，才能使數(shù)學(xué)活動(dòng)既不流于形式，也不因過(guò)于活潑而缺乏思考，有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展呢？基于王瑞霖博士和綦春霞教授等對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的分類[1]，《中學(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”維度主要從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中常見(jiàn)的實(shí)驗(yàn)型數(shù)學(xué)活動(dòng)、合作型數(shù)學(xué)活動(dòng)和探究型數(shù)學(xué)活動(dòng)三個(gè)方面考查了數(shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)及實(shí)施效果。

一、實(shí)驗(yàn)型數(shù)學(xué)活動(dòng)

數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科?！案叨瘸橄笮浴弊屧S多學(xué)生望“數(shù)學(xué)”而“生畏”，甚至“止步”。因此，通過(guò)具體的感官和體驗(yàn)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象過(guò)程，應(yīng)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)的必要組成部分?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合初中生的認(rèn)知特征，設(shè)計(jì)必要的“化抽象為直觀，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程”的實(shí)驗(yàn)型活動(dòng)。根據(jù)活動(dòng)載體的不同，實(shí)驗(yàn)型數(shù)學(xué)活動(dòng)可以分為實(shí)物型實(shí)驗(yàn)活動(dòng)和模擬型實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。

1.實(shí)物型實(shí)驗(yàn)活動(dòng)

實(shí)物型實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是指學(xué)生利用必要的實(shí)體物質(zhì)型學(xué)具，通過(guò)操作、觀察、思考和猜想等必要性鋪墊過(guò)程，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，抽象數(shù)學(xué)知識(shí)[2]。當(dāng)數(shù)學(xué)知識(shí)抽象度比較高，所需學(xué)具又比較容易獲得時(shí)，就可以讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際物體的實(shí)驗(yàn)操作和感知來(lái)體驗(yàn)和理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。比如在學(xué)習(xí)“探索勾股定理”時(shí)，教師利用方格紙，讓學(xué)生動(dòng)手測(cè)量若干三角形的邊長(zhǎng)，計(jì)算三角形邊長(zhǎng)的平方來(lái)探索勾股定理。方格紙的使用，不但較好地避免了學(xué)生測(cè)量任意三角形誤差帶來(lái)的不便，還可以為后繼勾股定理證明思路的形成打下基礎(chǔ)。

2.模擬型實(shí)驗(yàn)活動(dòng)

模擬型實(shí)驗(yàn)活動(dòng)是指因各種原因無(wú)法在實(shí)物操作環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，基于多媒體技術(shù)、相關(guān)軟件和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)等創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、思考和猜想等必要性鋪墊過(guò)程，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。

在學(xué)習(xí)“用二分法求方程的近似解”時(shí)，方程的近似解對(duì)“精確度”要求較高。如果設(shè)計(jì)實(shí)物型實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，不但操作煩瑣，操作精度很難滿足要求，而且學(xué)生也很難體會(huì)出用二分法求方程近似解是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程。這在很大程度上會(huì)影響學(xué)生的直觀體驗(yàn)。因此，教師就可以基于多媒體和計(jì)算器設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)型的數(shù)學(xué)活動(dòng)。比如，教師可以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境：在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障.這是一條10km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？接著教師利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，指出維修工人首先從中點(diǎn)C，用隨身帶的話機(jī)向兩個(gè)端點(diǎn)測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，就斷定故障在BC段，再到BC段中點(diǎn)D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見(jiàn)故障在CD段，再到CD中點(diǎn)E來(lái)查。每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，如此不用幾次，就能把故障點(diǎn)鎖定在一兩根電線桿附近。教師通過(guò)動(dòng)態(tài)模擬，不但可以讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)必備的直接經(jīng)驗(yàn)，而且還很好地描述復(fù)雜的二分法原理，從而促進(jìn)學(xué)生的理解，為后面求解方法的探究打下基礎(chǔ)。當(dāng)然，要很好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目的，要求教師具有較好的將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行整合的能力，讓學(xué)生在信息技術(shù)形成的模擬實(shí)驗(yàn)中，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

二、合作型數(shù)學(xué)活動(dòng)

除認(rèn)真聽(tīng)講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐外，合作交流也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。小組或群體合作交流對(duì)于數(shù)學(xué)表達(dá)與交流能力、數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和合作能力的養(yǎng)成也是非常重要的。因此，《中學(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》認(rèn)為，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平、已有的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容特征為基礎(chǔ)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的需要，面向全體學(xué)生，創(chuàng)設(shè)有效的合作型數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在與他人的交流與合作中，積極發(fā)言，有效傾聽(tīng)，主動(dòng)建構(gòu)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)。在上面的教學(xué)案例中，教師通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生理解了二分法原理以及與方程求解的關(guān)系后，就設(shè)計(jì)了“借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程x3+x-1=0的近似解（精確度0.1）”的小組合作型活動(dòng)。教學(xué)過(guò)程表明，這種設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生在沒(méi)有思路的時(shí)候，通過(guò)與同學(xué)的交流獲得啟示和靈感，體驗(yàn)解題遇阻時(shí)的困惑以及解決問(wèn)題的快樂(lè)，同時(shí)，也讓學(xué)生體會(huì)用二分法求方程近似解的完整過(guò)程，進(jìn)一步鞏固二分法的思想方法。但是，由于學(xué)生心理特征的限制，在合作的過(guò)程中，需要教師的適時(shí)引導(dǎo)。比如，該教師就通過(guò)兩個(gè)思考題：“用二分法只能求函數(shù)零點(diǎn)的‘近似值’嗎？是否所有的零點(diǎn)都可以用二分法來(lái)求其近似值？”引導(dǎo)學(xué)生思考、討論和交流，進(jìn)一步反思二分法的特點(diǎn)，明確二分法的適用范圍以及優(yōu)缺點(diǎn)，并認(rèn)識(shí)到它只是求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一種方法。由此可見(jiàn)，在合作型活動(dòng)中，教師要充分做好組織者和引導(dǎo)者的角色，不但要精心預(yù)設(shè)合作型數(shù)學(xué)活動(dòng)，還要適時(shí)參與、引導(dǎo)學(xué)生的思維流向和活動(dòng)節(jié)奏。

三、探究型數(shù)學(xué)活動(dòng)

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生更多地表現(xiàn)為一個(gè)學(xué)習(xí)知識(shí)的人，而不是一個(gè)具有完整精神世界和獨(dú)特個(gè)性的人。綠色教育教學(xué)觀認(rèn)為，要使學(xué)生作為生命個(gè)體的豐富性得到充分展現(xiàn)，生命的價(jià)值得到提升，生命的內(nèi)涵得到豐富，就必須激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，擁有學(xué)習(xí)成功的體驗(yàn)，增長(zhǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。因此，《中學(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》將探究型數(shù)學(xué)活動(dòng)列為考查數(shù)學(xué)課堂是否關(guān)注“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的指標(biāo)之一。

所謂探究型數(shù)學(xué)活動(dòng)，就是基于教師精心設(shè)計(jì)或?qū)W生自主發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題情境，學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的生成、運(yùn)用和發(fā)展的過(guò)程，從而真正理解數(shù)學(xué)的知識(shí)，體會(huì)和欣賞數(shù)學(xué)的美。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探究型數(shù)學(xué)活動(dòng)基本模式一般為“創(chuàng)設(shè)情境——學(xué)生提出假設(shè)——引導(dǎo)探究——修正探究方案——實(shí)施探究并驗(yàn)證結(jié)論——交流與評(píng)價(jià)”的循環(huán)過(guò)程。例如“用二分法求方程的近似解”課堂教學(xué)中，在用幾何畫板進(jìn)行模擬解釋了二分法原理后，教師繼續(xù)創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生進(jìn)行探究，基于原先的情境，創(chuàng)設(shè)新的情境：假設(shè)電話線故障點(diǎn)大概在函數(shù)f（x）=x2-2x-1的零點(diǎn)位置，請(qǐng)學(xué)生先猜想它的零點(diǎn)大概是什么，如何找出這個(gè)零點(diǎn)？對(duì)于這樣的問(wèn)題，首先由學(xué)生自己提出假設(shè)，根據(jù)函數(shù)圖像，學(xué)生提出零點(diǎn)可能會(huì)在2到3之間。在提出了自己的假設(shè)后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探究，如果兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值是異號(hào)的，那么函數(shù)圖象就一定與x軸相交，即方程f（x）=0在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)解，根據(jù)這一點(diǎn)學(xué)生會(huì)繼續(xù)縮小范圍。經(jīng)過(guò)探究方案的形成、優(yōu)化后，教師與學(xué)生重新實(shí)施了方案，最終找到了兩個(gè)近似解，并形成了用二分法求方程近似解的基本步驟。在探究型數(shù)學(xué)活動(dòng)中，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，教師要通過(guò)“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生始終處于一種疑問(wèn)狀態(tài)，但是教師不要過(guò)多干涉，只需對(duì)其研究方向做引導(dǎo)即可。

基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容特征和初中學(xué)生的認(rèn)知特征，建構(gòu)必要的、能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的、有利于學(xué)生積極思考、合作交流和動(dòng)手實(shí)踐的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生真正“動(dòng)”起來(lái)，讓課堂真正“活”起來(lái)，學(xué)習(xí)真正的“活數(shù)學(xué)”，不但是中學(xué)數(shù)學(xué)教師必備的專業(yè)素養(yǎng)，也是中學(xué)數(shù)學(xué)綠色課堂教學(xué)的永恒追求。

參考文獻(xiàn)：

[1]王瑞霖，綦春霞，李孝誠(chéng).數(shù)學(xué)活動(dòng)理論探求與實(shí)踐反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（7）.

[2]張立新.“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)”的設(shè)計(jì)與開發(fā)研究[J].中國(guó)現(xiàn)代教育裝備，2011（6）.

（作者單位：1.北京師范大學(xué)教育學(xué)部 2.北京市石景山區(qū)基礎(chǔ)教育研究中心 3.北京市石景山中學(xué)）

（責(zé)任編輯：馬贊）