王冠軍 張元林

(東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,南京 210096)

可靠性系統(tǒng)發(fā)生故障時,通過維修可以恢復(fù)其工作狀態(tài).通常情況下,逐次維修后系統(tǒng)的性能會逐漸下降,最終老化不能使用.同樣由于系統(tǒng)老化,維修變得困難,維修時間越來越長.Lam[1-2]使用幾何過程維修模型來描述可靠性系統(tǒng)狀態(tài)隨故障次數(shù)增加逐漸衰減這一現(xiàn)象,并提出了故障次數(shù)N和總工作時間T兩種更換策略.Zhang[3]推廣了幾何過程模型,研究了二元更換策略(T,N).近10年來,幾何過程維修的研究取得了很大進(jìn)展,如文獻(xiàn)[4-5]研究了系統(tǒng)在外部沖擊下的幾何過程維修模型,文獻(xiàn)[6-7]分別研究了幾何過程維修下的貯備系統(tǒng)的預(yù)防維修問題和多狀態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)維修更換策略問題,文獻(xiàn)[8]討論了具有2種故障的系統(tǒng)的最優(yōu)更換問題.文獻(xiàn)[9]則對幾何過程近20年的研究和發(fā)展做了全面的介紹.

系統(tǒng)故障后,由于時間、經(jīng)濟(jì)等原因不能一直修下去,所以需要對維修時間進(jìn)行限制,超出這個時間時放棄維修,系統(tǒng)被更換.維修時間受限的維修模型較早由Nakagawa和Osaki[10]提出.Wang[11]對維修時間受限問題研究進(jìn)行了綜述,介紹了退化系統(tǒng)下基于維修時間受限的幾個維修更換模型.Dohi 等[12]研究了不完全維修下的最優(yōu)維修時間受限閾值,并應(yīng)用Lorenz變換給出了閾值的非參數(shù)估計.

本文提出了維修時間受限下的幾何過程維修模型.逐次維修時間隨機(jī)遞增,構(gòu)成幾何過程.當(dāng)維修時間超出給定閾值時放棄維修,系統(tǒng)被更換.系統(tǒng)維修次數(shù)達(dá)到N時不再維修,下一次發(fā)生故障時系統(tǒng)被更換.在這些假設(shè)下,研究了系統(tǒng)的一些可靠性指標(biāo)和維修更換策略問題.利用一個數(shù)值例子對理論結(jié)果進(jìn)行了模擬,并分析了維修時間閾值對最優(yōu)策略的影響.

1 幾何過程的定義

下面給出幾何過程的定義:

定義1設(shè){Xn,n≥1}是一個獨立的非負(fù)隨機(jī)變量序列,如果Xn的分布函數(shù)為Fn(t)=F(an-1t),n=1,2,…,其中a>0為常數(shù),F(t)為一分布函數(shù),則稱{Xn,n≥1}為一個幾何過程,常數(shù)a稱為幾何過程的比率.

顯然,如果a>1,則幾何過程{Xn,n≥1}隨機(jī)遞減;如果0

2 模型假設(shè)

單部件系統(tǒng)中包含一個維修工,系統(tǒng)發(fā)生故障時,由維修工對其進(jìn)行維修.對模型作如下假設(shè):

1) 系統(tǒng)逐次維修后工作時間序列{Xn,n≥1}隨機(jī)遞減,構(gòu)成遞減的幾何過程.記X1的分布函數(shù)為F(x),Xn的分布函數(shù)為Fn(x)=F(an-1x), 其中a>1,n=1,2,….數(shù)學(xué)期望E[X1]=λ,λ>0為常數(shù).

2) 首次維修時間Y1服從指數(shù)分布e(1/μ),μ>0為常數(shù).逐次維修時間序列{Yn,n≥1}構(gòu)成遞增幾何過程,即第n次維修時間Yn服從指數(shù)分布e(bn-1/μ),其中0

3) 維修時間的上限閾值為θ,θ>0為常數(shù).若維修時間達(dá)到θ還未修好,則不再繼續(xù)維修,更換新系統(tǒng).

4) 工作時間序列{Xn,n≥1}和維修時間序列{Yn,n≥1}是相互獨立的.

5) 系統(tǒng)維修N次之后不再維修,在發(fā)生第N+1次故障時被更換.

6) 系統(tǒng)的更換費用為CR,系統(tǒng)的維修費用CM(Y)是維修時間Y的線性函數(shù),即CM(Y)=C0+C1Y,其中,C0為基本維修費用,C1為與時間有關(guān)的費用率.

3 模型分析

本節(jié)對系統(tǒng)運行中的一些變量進(jìn)行分析,并給出一些數(shù)量指標(biāo).

系統(tǒng)首次更換的時間記為τ1,第n次更換的時間記為τn,則更新時間序列{τn,n≥1}生成一個更新過程,τn-τn-1為更新過程的一個更新周期.在上述假設(shè)下,一個更新周期中系統(tǒng)的總工作時間可表示為

U(θ,N)=X1+X2I{Y1<θ}+

X3I{Y1<θ,Y2<θ}+…+

XN+1I{Y1<θ,…,YN<θ}

(1)

式中,I{·}為示性函數(shù).則一個更新周期中的平均工作時間為

E[U(θ,N)]=E[X1]+E[X2I{Y1<θ}]+…+

E[XN+1I{Y1<θ,…,YN<θ}]=

(2)

在一個更新周期中,系統(tǒng)的總維修時間可表示為

V(θ,N)=η1+η2I{Y1<θ}+

η3I{Y1<θ,Y2<θ}+…+

ηNI{Y1<θ,…,YN-1<θ}

(3)

其中,ηk=min{Yk,θ}.ηk的數(shù)學(xué)期望經(jīng)計算可得

(4)

于是平均維修時間為

E[V(θ,N)]=E[η1]+E[η2I{Y1<θ}]+…+

E[ηNI{Y1<θ,…,YN-1<θ}]=

(5)

用ξ(θ,N)表示一個更新周期中的維修次數(shù),則有

p(ξ(θ,N)≥1)=1

p(ξ(θ,N)≥k)=P(Y1<θ,Y2<θ,…,

Yk-1<θ)=G(θ)…G(bk-2θ)=

(6)

進(jìn)一步可以求得一個更新周期內(nèi)的平均維修次數(shù)為

(7)

由交替更新定理可得系統(tǒng)長期運行平均可用度為

(8)

系統(tǒng)在一個更換周期中的故障次數(shù)記為δ(θ,N),顯然有δ(θ,N)=ξ(θ,N)+1.于是系統(tǒng)長期運行單位工作時間平均故障頻度為

(9)

當(dāng)θ→+∞時,極限平均可用度和極限平均故障頻度分別為

(10)

(11)

系統(tǒng)在一個更新周期中總的費用為

w(θ,N)=(C0+C1η1)+(C0+

C1η2)I{Y1<θ}+…+(C0+

C1ηN)I{Y1<θ,…,YN-1<θ}+CR

(12)

一個更新周期中的維修次數(shù)ξ(θ,N)還可表示為

ξ(θ,N)=1+I{Y1<θ}+

I{Y1<θ,Y2<θ}+…+

I{Y1<θ,…,YN-1<θ}

(13)

因此,費用W(θ,N)的表達(dá)式為

w(θ,N)=C0ξ(θ,N)+C1V(θ,N)+CR

(14)

于是一個更新周期中總平均費用為

E[W(θ,N)]=C0E[ξ(θ,N)]+C1E[V(θ,N)]+CR=

(15)

由更新報酬定理[13]可得系統(tǒng)長期運行平均費用率為

(16)

當(dāng)θ→+∞時可得

(17)

這正是文獻(xiàn)[1]中策略N下系統(tǒng)平均費用率的表達(dá)式.

4 數(shù)值例子

假定模型參數(shù)的取值分別為:λ=50,μ=10,a=1.05,b=0.9,θ=40,C0=30,C1=5,CR=500. 將上述參數(shù)值代入式(7)、(8)、(12),可算出在策略N下系統(tǒng)長期運行平均費用率函數(shù)C(θ,N)、平均可用度A(θ,N)和平均維修次數(shù)ξ(θ,N)的數(shù)值結(jié)果,如表1所示.可以看出,當(dāng)N=9時系統(tǒng)平均費用率達(dá)到最小值2.856 6,所以N*=9是以平均運行費用率為優(yōu)化目標(biāo)時的最優(yōu)更換策略.此時,系統(tǒng)平均可用度為0.763 4,一個更換周期中平均維修次數(shù)為7.445 0.從表1還可看出,隨著更換策略N的增加,平均可用度A(θ,N)逐漸降低,平均維修數(shù)ξ(θ,N)逐漸增大.

表1 平均費用率函數(shù)、平均可用度和平均維修次數(shù)的數(shù)值結(jié)果

圖1和圖2分別給出了系統(tǒng)平均運行費用率和平均可用度關(guān)于更換策略N的曲線.這2條曲線與表1中的數(shù)值是相對應(yīng)的.從圖1和圖2中也可看出,當(dāng)N較大時 (如N>20), 平均費用率函數(shù)C(θ,N)和平均可用度A(θ,N)幾乎不再變化,這是由于在給定參數(shù)和維修時間限制下,當(dāng)N很大時,系統(tǒng)很少是按計劃更換的,多數(shù)情況下系統(tǒng)是由于維修時間限制策略產(chǎn)生更換.本文對不同的N也計算了一個更換周期中的平均維修數(shù)ξ(θ,N),當(dāng)N很大時,ξ(θ,N)變化甚微,這也表明更換行為由維修時間限制策略所主導(dǎo).

圖1 平均費用率函數(shù)C(θ,N)關(guān)于N的曲線(θ=40)

圖2 平均可用度A(θ,N)關(guān)于N的曲線(θ=40)

表2給出了維修時間限制θ變化時系統(tǒng)的最優(yōu)更換策略和相應(yīng)的平均費用率.從數(shù)值結(jié)果可看出,隨著閾值θ的減小,最優(yōu)策略N*的值逐漸增大.這是因為當(dāng)閾值變小時,根據(jù)給定維修策略系統(tǒng)更容易被更換掉,作為一種補(bǔ)償,當(dāng)維修時間不超過閾值時,盡量多修幾次以平衡嚴(yán)苛的更換規(guī)則.

表2 不同維修時間閾值下的最優(yōu)更換策略和平均費用率

5 結(jié)語

本文研究了一個維修時間受限的單部件系統(tǒng)的維修更換問題,系統(tǒng)工作時間和維修時間分布分別服從遞減和遞增的幾何過程.對于給定的維修時間上限閾值,當(dāng)系統(tǒng)維修時間大于閾值時,停止維修并且更換新系統(tǒng).通過模型分析,不僅給出了一些重要的可靠性指標(biāo),如系統(tǒng)平均可用度、平均故障頻度等,并且基于平均費用率函數(shù)研究了系統(tǒng)的最優(yōu)維修更換策略.數(shù)值模擬表明在給定參數(shù)范圍內(nèi)存在唯一最優(yōu)策略.此外,隨著維修時間閾值的增大,最優(yōu)更換策略N*有減小的趨勢.

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