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        制導(dǎo)工具誤差分離自適應(yīng)正則化模型及應(yīng)用

        2013-12-26 06:33:00王文君段曉君朱炬波
        彈道學(xué)報(bào) 2013年3期
        關(guān)鍵詞:規(guī)范化方法模型

        王文君,段曉君,朱炬波

        (國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院,長沙410073)

        制導(dǎo)工具誤差分離作為評估慣性導(dǎo)航設(shè)備性能和驗(yàn)證天地一致性的主要手段,在國內(nèi)已經(jīng)有近30年的研究歷史。文獻(xiàn)[1]在國內(nèi)最早提出了制導(dǎo)工具誤差分析一般思想和基于協(xié)方差的分析方法。文獻(xiàn)[2]提出利用特殊彈道估計(jì)得到的誤差系數(shù),并將其作為驗(yàn)前信息,結(jié)合Bayes估計(jì)理論推算正常彈道誤差系數(shù)的方法。文獻(xiàn)[3]將制導(dǎo)工具誤差系數(shù)分離問題歸為線性回歸問題,建立了線性分離模型并提出了主成分分析方法。文獻(xiàn)[4]從制導(dǎo)工具誤差的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)出發(fā),重點(diǎn)討論了利用先驗(yàn)信息和不利用先驗(yàn)信息的兩類方法,給出了各自的適用范圍。文獻(xiàn)[5]針對特定的慣導(dǎo)系統(tǒng),即速率捷聯(lián)制導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真和計(jì)算。文獻(xiàn)[6]提出了制導(dǎo)系統(tǒng)工具誤差在特殊彈道和全程彈道之間的折合方法。文獻(xiàn)[7]針對線性模型給出了基于假設(shè)檢驗(yàn)的誤差系數(shù)評價(jià)方法。文獻(xiàn)[8]對遙外測數(shù)據(jù)的互校準(zhǔn)進(jìn)行了專題論述,對于細(xì)節(jié)問題如環(huán)境函數(shù)的精確計(jì)算等展開了詳細(xì)的討論。

        本世紀(jì)初,國內(nèi)相關(guān)領(lǐng)域的科研工作者對于制導(dǎo)工具誤差分離的模型和方法均進(jìn)行了更為廣泛和深入的研究。模型方面,先后提出了誤差分離的非線性模型[9-10],基于 Bayes的多層先驗(yàn)?zāi)P停?1],文獻(xiàn)[12]對誤差分離線性模型的稀疏選擇做了初步的討論,并比較了正則化迭代算法與主成分分析方法的仿真計(jì)算結(jié)果。算法方面,先后提出了基于SVM和最優(yōu) LS-SVM 的誤差分離方法[13-14]、基于遺傳算法和遺傳主成分分析的誤差分離算法[15-16],特征根估計(jì)算法[17]和比定階行列式方法[18]等。

        在不考慮直接融合地面測試先驗(yàn)信息的情況下,線性模型的主要分離方法是以主成分分析為核心的一類方法。不過主成分的項(xiàng)數(shù)選取與數(shù)據(jù)有關(guān),很難給出一個(gè)普適性的原則。若對制導(dǎo)工具誤差分離提出更高的精度要求,則研究新的分離方法勢在必行。由于制導(dǎo)工具的所有誤差項(xiàng)中存在主次之分,即起決定性作用的僅有其中部分項(xiàng)。從數(shù)學(xué)的角度理解,制導(dǎo)工具誤差系數(shù)在某種程度上存在著稀疏性。利用稀疏性對線性模型加以約束,有望克服原問題的病態(tài)性[19-20]。

        本文擬從誤差分離的線性模型入手,深入討論基于稀疏先驗(yàn)約束的正則化誤差分離模型,提出自適應(yīng)參數(shù)正則化誤差分離模型,同時(shí)給出相應(yīng)的求解算法,最后結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果對幾種算法作出評價(jià)。

        1 線性分離模型及經(jīng)典解法

        1.1 線性分離模型

        考慮速度域制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差的線性模型[1-3]:

        式中:WY(t)為某采樣時(shí)刻遙測視速度向量(3個(gè)方向);W(t)為慣性系下真實(shí)視速度向量(3個(gè)方向);S(W(t),(t))為速度域環(huán)境函數(shù)矩陣;C為待估誤差系數(shù)向量;e(t)為誤差向量。

        通常情況下,慣性系下真實(shí)的視速度無法得知,一般采用精度較高的外轉(zhuǎn)遙數(shù)據(jù)WW2Y(t)代替W(t),故式(1)可化為

        式中:下標(biāo)Y表示遙測坐標(biāo)系,下標(biāo)W表示外測坐標(biāo)系,下標(biāo)W2Y表示外測坐標(biāo)系數(shù)據(jù)向遙測坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。模型(2)可簡記為

        式中:e′包含了表示誤差e和采用WW2Y(t)數(shù)據(jù)引入的轉(zhuǎn)換誤差,通??梢哉J(rèn)為e′~N(0,σI3)。故此,模型(3)的最小二乘解為

        由于環(huán)境函數(shù)S的各列之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性[3],故此矩陣STS是病態(tài)的,根據(jù)式(4)求得的最小二乘解并不準(zhǔn)確。為克服矩陣STS的病態(tài)性,通常采用比例因子規(guī)范化和主成分分析2種方法。

        1.2 比例因子規(guī)范化

        對線性回歸模型ΔW=SC+e′,當(dāng)STS呈病態(tài)時(shí),最小二乘估計(jì)的均方誤差的值很大,從而導(dǎo)致最小二乘的估計(jì)效果差。設(shè)Q是一個(gè)已知的非奇異矩陣,且滿足QQ-1≡I。將上述回歸模型改寫為

        令V=ΔSQ,a=ΔQ-1C,則模型轉(zhuǎn)化為

        若由此模型得到估計(jì),則易知=是C的一種估計(jì)。規(guī)范化后的矩陣V使得原矩陣S的病態(tài)性得以減弱,而Q被稱為規(guī)范化比例因子。

        選擇合適的Q可使得估計(jì)具有較高的效率,具體可從以下3個(gè)方面考慮:①根據(jù)工程物理背景確定Q;②根據(jù)先驗(yàn)測試值確定Q,例如在制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離中,可采用制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差系數(shù)的地面測試值;③根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)獲得Q,對于一個(gè)確定的問題,可以通過工程經(jīng)驗(yàn)確定哪些列之間是線性相關(guān)的,或者對模型影響小,從而選取相應(yīng)的比例因子。

        1.3 主成分分析方法

        針對問題(3),記λ1≥λ2≥…≥λm為矩陣STS的m個(gè)特征根;記V1,V2,…,Vm為λ1,λ2,…,λm對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量,令V=(V1V2…Vm);記Z=SV,a=VTC,記Y=ΔΔW′t,則式(3)可化為

        進(jìn)一步,a的最小二乘估計(jì)為

        注意到(diag(λ1,λ2,…,λm))-1,如果當(dāng)i>k時(shí)有λi=0或λi≈0,則λk+1,λk+2,…,λm對矩陣求逆運(yùn)算沒有影響或影響很??;而λ1,λ2,…,λk對矩陣求逆運(yùn)算影響很大,故此有

        式中:下標(biāo)(m-k)×k表示m-k行k列。將式(9)帶入式(8),即主成分估計(jì)結(jié)果。一般情況下工程上會(huì)選取λ>0.01作為評判是否為主成分的標(biāo)準(zhǔn),但這種標(biāo)準(zhǔn)不具備普適性,故此該方法無法避免引入主觀因素。

        2 基于稀疏約束的自適應(yīng)正則化模型

        2.1 正則化模型及參數(shù)的選擇

        通過大量的地面實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn),制導(dǎo)工具誤差系數(shù)C的大部分元素?cái)?shù)量級非常小,僅有個(gè)別元素的量級較大,故此可以認(rèn)為C具有一定的稀疏性。則線性模型病態(tài)性可通過正則化的方法加以克服。

        所謂正則化方法是變病態(tài)為非病態(tài)一類方法的統(tǒng)稱,其主要手段是通過增加約束項(xiàng),用來約束解空間的范圍使原問題的病態(tài)性得到克服。增加的約束項(xiàng)通常取決于信號蘊(yùn)含的內(nèi)在特征,例如:假如信號本質(zhì)是平坦光滑的,則可加總變分約束;如需要信號本質(zhì)是稀疏的,則可加稀疏性約束。

        考慮式(3),其最小二乘解可以理解為

        加稀疏約束的模型解可以理解為

        式(11)就是原問題的一般正則化模型的思想,其中λ稱為正則項(xiàng)或者稀疏約束項(xiàng),λ稱為正則化參數(shù);0<p≤1稱為正則化模型參數(shù),簡稱模型參數(shù)。特殊地,當(dāng)p=0時(shí),‖C‖0就是信號中非零元素的個(gè)數(shù)。然而由于‖·‖0是非凸的,難于求解,故此采用代替,文獻(xiàn)[20]證明了L0約束在某些條件下與Lp約束對解的作用是等價(jià)的。

        式中:s為信號C的稀疏度,可以憑經(jīng)驗(yàn)獲取,0<p<1。

        2.2 自適應(yīng)參數(shù)的正則化模型

        正則化模型(10)仍然存在如何選取正則化參數(shù)λ的問題。文獻(xiàn)[21]基于極大似然方法提供了一種可行的思路,結(jié)合本文的實(shí)際問題,經(jīng)推導(dǎo)可以得到以下結(jié)論。

        測量值ΔW(樣本)的似然函數(shù)為

        式中:σ為e′的均方誤差。取式(13)的對數(shù)似然函數(shù):

        求其極小值,即為原來的極大似然函數(shù)的極大值,舍棄常數(shù)項(xiàng)為

        注意式(15),當(dāng)σ≡1時(shí),有

        用式(16)代替逼近項(xiàng)模型,則可以得到新的模型:

        令λ′=λ2σ2,又由于σ2對于C的估計(jì)影響很小,將所有采樣點(diǎn)寫在一起,則模型可以簡化為

        觀察式(18)可知,原來的正則化參數(shù)λ已被λ′取代,其中σ2是模型噪聲的方差,在迭代過程中用近似計(jì)算。其中n為對測量數(shù)據(jù)的采樣數(shù)。故此,參數(shù)λ′隨著逼近項(xiàng)的變小而變小,而λ′變小則意味著正則項(xiàng)的作用在不斷地變?nèi)?。特別地,當(dāng)→0時(shí),正則參數(shù)λ′→0,即不需要正則項(xiàng)的作用。式(17)就是制導(dǎo)工具誤差分離的自適應(yīng)正則化模型。

        2.3 自適應(yīng)正則化模型的求解算法

        針對模型(18),給出具體算法流程如下:

        ①取p=arg{=s},按照經(jīng)驗(yàn)公式選p取λ=/s,令λ(0)=λ;

        ③計(jì)算H(C(n))=Δ2STS+λ(n)Λ(C(n));

        ④計(jì)算=[H()]-12STΔW,計(jì)算λ′n

        3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

        3.1 確定模型的試驗(yàn)結(jié)果

        所謂“確定模型”,指構(gòu)造模型的環(huán)境函數(shù)自變量項(xiàng)數(shù)是固定的。本小節(jié)以n0=55為例分析噪聲大小對于分離結(jié)果的影響,n0為模型項(xiàng)數(shù)。首先仿真遙外差,取e′~N(0,0.02I3),利用ΔW=SC+e′仿真遙外差。根據(jù)前文介紹的方法,測試以下8種算法的性能:無規(guī)范化+最小二乘;有規(guī)范化+最小二乘;無規(guī)范化+主成分;有規(guī)范化+主成分;無規(guī)范化+正則化;有規(guī)范化+正則化;無規(guī)范化+自適應(yīng)正則化;有規(guī)范化+自適應(yīng)正則化。計(jì)算100次,記錄未超差項(xiàng)數(shù)n1以及3個(gè)方向的擬合殘差均方差,結(jié)果如表1所示。

        表1 100次實(shí)驗(yàn)平均結(jié)果

        表中,“未超差”表示制導(dǎo)工具誤差系數(shù)的估計(jì)值未超過真實(shí)值的±3σ范圍。從表1的結(jié)果可以得到如下結(jié)論:

        ①從有無規(guī)范化的最小二乘計(jì)算結(jié)果可以看出,單純的規(guī)范化不能解決矩陣病態(tài)問題。必須配合后3種方法使用;

        ②未經(jīng)規(guī)范化的情況下,主成分分析與普通最小二乘效果相當(dāng),也就是說主成分分析應(yīng)用于未規(guī)范化的數(shù)據(jù),提高估計(jì)精度效果不顯著;

        ③不管有無規(guī)范化操作,主成分、正則化和自適應(yīng)正則化3種方法在彈道3個(gè)方向的擬合殘差均方差幾乎與仿真噪聲的均方差一致,即解算曲線與真實(shí)曲線能夠較好地吻合。

        3.2 模型噪聲對分離結(jié)果的敏感性分析

        模型噪聲對分離結(jié)果的敏感性分析是在n0=55條件下進(jìn)行的。當(dāng)仿真白噪聲e′的均方差取0.000 1,0.000 3,0.000 9,0.002 4,0.006 7,0.018 3的情況下,對主成分、正則化和自適應(yīng)正則化方法進(jìn)行100次計(jì)算,統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

        圖1 不同噪聲幅度下未超差項(xiàng)的結(jié)果比較

        根據(jù)以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得到如下結(jié)論:

        ①由圖1可知,規(guī)范化能夠提高估計(jì)精度。經(jīng)規(guī)范化后,主成分分析方法的估計(jì)精度得到大幅度提高,其主要原因是規(guī)范化使主成分項(xiàng)數(shù)有所降低,未規(guī)范化時(shí)主成分有50項(xiàng),規(guī)范化后主成分只有19項(xiàng);

        ②經(jīng)規(guī)范化后,自適應(yīng)正則化方法的精度略高于主成分方法,主成分分析方法的估計(jì)精度又略高于需要指定參數(shù)的正則化方法的估計(jì)精度。另外,自適應(yīng)參數(shù)正則化方法不需要憑借經(jīng)驗(yàn)給定參數(shù),且在估計(jì)效果上優(yōu)于確定參數(shù)的正則化方法;

        ③由圖1可知,隨著噪聲幅度的增大,所有方法得到的未超差項(xiàng)數(shù)都有所降低,規(guī)范化后的數(shù)據(jù)對于噪聲變化相對而言不敏感,未經(jīng)規(guī)范化的數(shù)據(jù)對于噪聲變化較為敏感。

        3.3 模型項(xiàng)數(shù)對分離結(jié)果的敏感性分析

        本小節(jié)依次采用n0=28,36,42,48,52,55項(xiàng)自變量構(gòu)造環(huán)境函數(shù)矩陣,在噪聲水平為0.018 3的條件下,對每種算法進(jìn)行100次計(jì)算,測試各個(gè)算法對模型項(xiàng)數(shù)的敏感程度。結(jié)果顯示,各算法平均殘差都與噪聲水平相當(dāng),如果以未超差項(xiàng)數(shù)占模型總項(xiàng)數(shù)的比例和超差項(xiàng)數(shù)為評價(jià)指標(biāo),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2、圖3所示。

        圖2 n1/n0與n0的關(guān)系

        圖3 n1與n0的關(guān)系

        圖2 顯示的是平均未超差項(xiàng)數(shù)占模型總項(xiàng)數(shù)的比例隨模型項(xiàng)數(shù)的變化,圖3顯示的是平均超差項(xiàng)數(shù)隨模型總項(xiàng)數(shù)的變化。由以上結(jié)果可以得到以下結(jié)論:

        ①隨著模型項(xiàng)數(shù)的增加,分離結(jié)果中未超差項(xiàng)數(shù)所占的百分比也逐步增加;

        ②當(dāng)模型的項(xiàng)數(shù)大于45項(xiàng)時(shí),超差項(xiàng)數(shù)趨于平緩;

        ③自適應(yīng)正則化方法優(yōu)于主成分方法和固定參數(shù)的正則化方法。

        4 結(jié)論

        本文針對制導(dǎo)工具誤差分離線性模型,豐富和發(fā)展了基于稀疏約束的正則化模型的制導(dǎo)工具誤差分離方法。在Bayes理論的框架下提出了自適應(yīng)參數(shù)的正則化模型,避免了選取普適性正則化參數(shù)的困難,同時(shí)給出了求解算法。計(jì)算結(jié)果表明在擬合誤差基本相當(dāng)?shù)那闆r下,從未超差項(xiàng)數(shù)量方面而言,自適應(yīng)參數(shù)正則化模型方法優(yōu)于主成分方法和指定參數(shù)的正則化方法。

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