王文君，段曉君，朱炬波

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，長沙410073）

制導(dǎo)工具誤差分離作為評估慣性導(dǎo)航設(shè)備性能和驗(yàn)證天地一致性的主要手段，在國內(nèi)已經(jīng)有近30年的研究歷史。文獻(xiàn)［1］在國內(nèi)最早提出了制導(dǎo)工具誤差分析一般思想和基于協(xié)方差的分析方法。文獻(xiàn)［2］提出利用特殊彈道估計(jì)得到的誤差系數(shù)，并將其作為驗(yàn)前信息，結(jié)合Bayes估計(jì)理論推算正常彈道誤差系數(shù)的方法。文獻(xiàn)［3］將制導(dǎo)工具誤差系數(shù)分離問題歸為線性回歸問題，建立了線性分離模型并提出了主成分分析方法。文獻(xiàn)［4］從制導(dǎo)工具誤差的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)出發(fā)，重點(diǎn)討論了利用先驗(yàn)信息和不利用先驗(yàn)信息的兩類方法，給出了各自的適用范圍。文獻(xiàn)［5］針對特定的慣導(dǎo)系統(tǒng)，即速率捷聯(lián)制導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真和計(jì)算。文獻(xiàn)［6］提出了制導(dǎo)系統(tǒng)工具誤差在特殊彈道和全程彈道之間的折合方法。文獻(xiàn)［7］針對線性模型給出了基于假設(shè)檢驗(yàn)的誤差系數(shù)評價(jià)方法。文獻(xiàn)［8］對遙外測數(shù)據(jù)的互校準(zhǔn)進(jìn)行了專題論述，對于細(xì)節(jié)問題如環(huán)境函數(shù)的精確計(jì)算等展開了詳細(xì)的討論。

本世紀(jì)初，國內(nèi)相關(guān)領(lǐng)域的科研工作者對于制導(dǎo)工具誤差分離的模型和方法均進(jìn)行了更為廣泛和深入的研究。模型方面，先后提出了誤差分離的非線性模型［9－10］，基于 Bayes的多層先驗(yàn)?zāi)Ｐ停?1］，文獻(xiàn)［12］對誤差分離線性模型的稀疏選擇做了初步的討論，并比較了正則化迭代算法與主成分分析方法的仿真計(jì)算結(jié)果。算法方面，先后提出了基于SVM和最優(yōu) LS－SVM 的誤差分離方法［13－14］、基于遺傳算法和遺傳主成分分析的誤差分離算法［15－16］，特征根估計(jì)算法［17］和比定階行列式方法［18］等。

在不考慮直接融合地面測試先驗(yàn)信息的情況下，線性模型的主要分離方法是以主成分分析為核心的一類方法。不過主成分的項(xiàng)數(shù)選取與數(shù)據(jù)有關(guān)，很難給出一個(gè)普適性的原則。若對制導(dǎo)工具誤差分離提出更高的精度要求，則研究新的分離方法勢在必行。由于制導(dǎo)工具的所有誤差項(xiàng)中存在主次之分，即起決定性作用的僅有其中部分項(xiàng)。從數(shù)學(xué)的角度理解，制導(dǎo)工具誤差系數(shù)在某種程度上存在著稀疏性。利用稀疏性對線性模型加以約束，有望克服原問題的病態(tài)性［19－20］。

本文擬從誤差分離的線性模型入手，深入討論基于稀疏先驗(yàn)約束的正則化誤差分離模型，提出自適應(yīng)參數(shù)正則化誤差分離模型，同時(shí)給出相應(yīng)的求解算法，最后結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果對幾種算法作出評價(jià)。

1 線性分離模型及經(jīng)典解法

1.1 線性分離模型

考慮速度域制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差的線性模型［1－3］：

式中：WY（t）為某采樣時(shí)刻遙測視速度向量（3個(gè)方向）；W（t）為慣性系下真實(shí)視速度向量（3個(gè)方向）；S（W（t），（t））為速度域環(huán)境函數(shù)矩陣；C為待估誤差系數(shù)向量；e（t）為誤差向量。

通常情況下，慣性系下真實(shí)的視速度無法得知，一般采用精度較高的外轉(zhuǎn)遙數(shù)據(jù)WW2Y（t）代替W（t），故式（1）可化為

式中：下標(biāo)Y表示遙測坐標(biāo)系，下標(biāo)W表示外測坐標(biāo)系，下標(biāo)W2Y表示外測坐標(biāo)系數(shù)據(jù)向遙測坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。模型（2）可簡記為

式中：e′包含了表示誤差e和采用WW2Y（t）數(shù)據(jù)引入的轉(zhuǎn)換誤差，通?？梢哉J(rèn)為e′～N（0，σI3）。故此，模型（3）的最小二乘解為

由于環(huán)境函數(shù)S的各列之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性［3］，故此矩陣STS是病態(tài)的，根據(jù)式（4）求得的最小二乘解并不準(zhǔn)確。為克服矩陣STS的病態(tài)性，通常采用比例因子規(guī)范化和主成分分析2種方法。

1.2 比例因子規(guī)范化

對線性回歸模型ΔW＝SC＋e′，當(dāng)STS呈病態(tài)時(shí)，最小二乘估計(jì)的均方誤差的值很大，從而導(dǎo)致最小二乘的估計(jì)效果差。設(shè)Q是一個(gè)已知的非奇異矩陣，且滿足QQ－1≡I。將上述回歸模型改寫為

令V＝ΔSQ，a＝ΔQ－1C，則模型轉(zhuǎn)化為

若由此模型得到估計(jì)，則易知＝是C的一種估計(jì)。規(guī)范化后的矩陣V使得原矩陣S的病態(tài)性得以減弱，而Q被稱為規(guī)范化比例因子。

選擇合適的Q可使得估計(jì)具有較高的效率，具體可從以下3個(gè)方面考慮：①根據(jù)工程物理背景確定Q；②根據(jù)先驗(yàn)測試值確定Q，例如在制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差分離中，可采用制導(dǎo)工具系統(tǒng)誤差系數(shù)的地面測試值；③根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)獲得Q，對于一個(gè)確定的問題，可以通過工程經(jīng)驗(yàn)確定哪些列之間是線性相關(guān)的，或者對模型影響小，從而選取相應(yīng)的比例因子。

1.3 主成分分析方法

針對問題（3），記λ1≥λ2≥…≥λm為矩陣STS的m個(gè)特征根；記V1，V2，…，Vm為λ1，λ2，…，λm對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量，令V＝（V1V2…Vm）；記Z＝SV，a＝VTC，記Y＝ΔΔW′t，則式（3）可化為

進(jìn)一步，a的最小二乘估計(jì)為

注意到（diag（λ1，λ2，…，λm））－1，如果當(dāng)i＞k時(shí)有λi＝0或λi≈0，則λk＋1，λk＋2，…，λm對矩陣求逆運(yùn)算沒有影響或影響很??；而λ1，λ2，…，λk對矩陣求逆運(yùn)算影響很大，故此有

式中：下標(biāo)（m－k）×k表示m－k行k列。將式（9）帶入式（8），即主成分估計(jì)結(jié)果。一般情況下工程上會(huì)選取λ＞0.01作為評判是否為主成分的標(biāo)準(zhǔn)，但這種標(biāo)準(zhǔn)不具備普適性，故此該方法無法避免引入主觀因素。

2 基于稀疏約束的自適應(yīng)正則化模型

2.1 正則化模型及參數(shù)的選擇

通過大量的地面實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，制導(dǎo)工具誤差系數(shù)C的大部分元素?cái)?shù)量級非常小，僅有個(gè)別元素的量級較大，故此可以認(rèn)為C具有一定的稀疏性。則線性模型病態(tài)性可通過正則化的方法加以克服。

所謂正則化方法是變病態(tài)為非病態(tài)一類方法的統(tǒng)稱，其主要手段是通過增加約束項(xiàng)，用來約束解空間的范圍使原問題的病態(tài)性得到克服。增加的約束項(xiàng)通常取決于信號蘊(yùn)含的內(nèi)在特征，例如：假如信號本質(zhì)是平坦光滑的，則可加總變分約束；如需要信號本質(zhì)是稀疏的，則可加稀疏性約束。

考慮式（3），其最小二乘解可以理解為

加稀疏約束的模型解可以理解為

式（11）就是原問題的一般正則化模型的思想，其中λ稱為正則項(xiàng)或者稀疏約束項(xiàng)，λ稱為正則化參數(shù)；0＜p≤1稱為正則化模型參數(shù)，簡稱模型參數(shù)。特殊地，當(dāng)p＝0時(shí)，‖C‖0就是信號中非零元素的個(gè)數(shù)。然而由于‖·‖0是非凸的，難于求解，故此采用代替，文獻(xiàn)［20］證明了L0約束在某些條件下與Lp約束對解的作用是等價(jià)的。

式中：s為信號C的稀疏度，可以憑經(jīng)驗(yàn)獲取，0＜p＜1。

2.2 自適應(yīng)參數(shù)的正則化模型

正則化模型（10）仍然存在如何選取正則化參數(shù)λ的問題。文獻(xiàn)［21］基于極大似然方法提供了一種可行的思路，結(jié)合本文的實(shí)際問題，經(jīng)推導(dǎo)可以得到以下結(jié)論。

測量值ΔW（樣本）的似然函數(shù)為

式中：σ為e′的均方誤差。取式（13）的對數(shù)似然函數(shù)：

求其極小值，即為原來的極大似然函數(shù)的極大值，舍棄常數(shù)項(xiàng)為

注意式（15），當(dāng)σ≡1時(shí)，有

用式（16）代替逼近項(xiàng)模型，則可以得到新的模型：

令λ′＝λ2σ2，又由于σ2對于C的估計(jì)影響很小，將所有采樣點(diǎn)寫在一起，則模型可以簡化為

觀察式（18）可知，原來的正則化參數(shù)λ已被λ′取代，其中σ2是模型噪聲的方差，在迭代過程中用近似計(jì)算。其中n為對測量數(shù)據(jù)的采樣數(shù)。故此，參數(shù)λ′隨著逼近項(xiàng)的變小而變小，而λ′變小則意味著正則項(xiàng)的作用在不斷地變?nèi)?。特別地，當(dāng)→0時(shí)，正則參數(shù)λ′→0，即不需要正則項(xiàng)的作用。式（17）就是制導(dǎo)工具誤差分離的自適應(yīng)正則化模型。

2.3 自適應(yīng)正則化模型的求解算法

針對模型（18），給出具體算法流程如下：

①取p＝arg｛＝s｝，按照經(jīng)驗(yàn)公式選p取λ＝／s，令λ（0）＝λ；

③計(jì)算H（C（n））＝Δ2STS＋λ（n）Λ（C（n））；

④計(jì)算＝［H（）］－12STΔW，計(jì)算λ′n

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 確定模型的試驗(yàn)結(jié)果

所謂“確定模型”，指構(gòu)造模型的環(huán)境函數(shù)自變量項(xiàng)數(shù)是固定的。本小節(jié)以n0＝55為例分析噪聲大小對于分離結(jié)果的影響，n0為模型項(xiàng)數(shù)。首先仿真遙外差，取e′～N（0，0.02I3），利用ΔW＝SC＋e′仿真遙外差。根據(jù)前文介紹的方法，測試以下8種算法的性能：無規(guī)范化＋最小二乘；有規(guī)范化＋最小二乘；無規(guī)范化＋主成分；有規(guī)范化＋主成分；無規(guī)范化＋正則化；有規(guī)范化＋正則化；無規(guī)范化＋自適應(yīng)正則化；有規(guī)范化＋自適應(yīng)正則化。計(jì)算100次，記錄未超差項(xiàng)數(shù)n1以及3個(gè)方向的擬合殘差均方差，結(jié)果如表1所示。

表1 100次實(shí)驗(yàn)平均結(jié)果

表中，“未超差”表示制導(dǎo)工具誤差系數(shù)的估計(jì)值未超過真實(shí)值的±3σ范圍。從表1的結(jié)果可以得到如下結(jié)論：

①從有無規(guī)范化的最小二乘計(jì)算結(jié)果可以看出，單純的規(guī)范化不能解決矩陣病態(tài)問題。必須配合后3種方法使用；

②未經(jīng)規(guī)范化的情況下，主成分分析與普通最小二乘效果相當(dāng)，也就是說主成分分析應(yīng)用于未規(guī)范化的數(shù)據(jù)，提高估計(jì)精度效果不顯著；

③不管有無規(guī)范化操作，主成分、正則化和自適應(yīng)正則化3種方法在彈道3個(gè)方向的擬合殘差均方差幾乎與仿真噪聲的均方差一致，即解算曲線與真實(shí)曲線能夠較好地吻合。

3.2 模型噪聲對分離結(jié)果的敏感性分析

模型噪聲對分離結(jié)果的敏感性分析是在n0＝55條件下進(jìn)行的。當(dāng)仿真白噪聲e′的均方差取0.000 1，0.000 3，0.000 9，0.002 4，0.006 7，0.018 3的情況下，對主成分、正則化和自適應(yīng)正則化方法進(jìn)行100次計(jì)算，統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同噪聲幅度下未超差項(xiàng)的結(jié)果比較

根據(jù)以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得到如下結(jié)論：

①由圖1可知，規(guī)范化能夠提高估計(jì)精度。經(jīng)規(guī)范化后，主成分分析方法的估計(jì)精度得到大幅度提高，其主要原因是規(guī)范化使主成分項(xiàng)數(shù)有所降低，未規(guī)范化時(shí)主成分有50項(xiàng)，規(guī)范化后主成分只有19項(xiàng)；

②經(jīng)規(guī)范化后，自適應(yīng)正則化方法的精度略高于主成分方法，主成分分析方法的估計(jì)精度又略高于需要指定參數(shù)的正則化方法的估計(jì)精度。另外，自適應(yīng)參數(shù)正則化方法不需要憑借經(jīng)驗(yàn)給定參數(shù)，且在估計(jì)效果上優(yōu)于確定參數(shù)的正則化方法；

③由圖1可知，隨著噪聲幅度的增大，所有方法得到的未超差項(xiàng)數(shù)都有所降低，規(guī)范化后的數(shù)據(jù)對于噪聲變化相對而言不敏感，未經(jīng)規(guī)范化的數(shù)據(jù)對于噪聲變化較為敏感。

3.3 模型項(xiàng)數(shù)對分離結(jié)果的敏感性分析

本小節(jié)依次采用n0＝28，36，42，48，52，55項(xiàng)自變量構(gòu)造環(huán)境函數(shù)矩陣，在噪聲水平為0.018 3的條件下，對每種算法進(jìn)行100次計(jì)算，測試各個(gè)算法對模型項(xiàng)數(shù)的敏感程度。結(jié)果顯示，各算法平均殘差都與噪聲水平相當(dāng)，如果以未超差項(xiàng)數(shù)占模型總項(xiàng)數(shù)的比例和超差項(xiàng)數(shù)為評價(jià)指標(biāo)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 n1／n0與n0的關(guān)系

圖3 n1與n0的關(guān)系

圖2 顯示的是平均未超差項(xiàng)數(shù)占模型總項(xiàng)數(shù)的比例隨模型項(xiàng)數(shù)的變化，圖3顯示的是平均超差項(xiàng)數(shù)隨模型總項(xiàng)數(shù)的變化。由以上結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

①隨著模型項(xiàng)數(shù)的增加，分離結(jié)果中未超差項(xiàng)數(shù)所占的百分比也逐步增加；

②當(dāng)模型的項(xiàng)數(shù)大于45項(xiàng)時(shí)，超差項(xiàng)數(shù)趨于平緩；

③自適應(yīng)正則化方法優(yōu)于主成分方法和固定參數(shù)的正則化方法。

4 結(jié)論

本文針對制導(dǎo)工具誤差分離線性模型，豐富和發(fā)展了基于稀疏約束的正則化模型的制導(dǎo)工具誤差分離方法。在Bayes理論的框架下提出了自適應(yīng)參數(shù)的正則化模型，避免了選取普適性正則化參數(shù)的困難，同時(shí)給出了求解算法。計(jì)算結(jié)果表明在擬合誤差基本相當(dāng)?shù)那闆r下，從未超差項(xiàng)數(shù)量方面而言，自適應(yīng)參數(shù)正則化模型方法優(yōu)于主成分方法和指定參數(shù)的正則化方法。

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