高 峰，唐勝景，師 嬌，郭 杰

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院飛行器動(dòng)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081；2.中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京100076）

現(xiàn)代戰(zhàn)場立體化的趨勢對(duì)武器系統(tǒng)多用途化的需求逐步提高。對(duì)于新一代反坦克導(dǎo)彈，不僅要求能夠摧毀地面裝甲目標(biāo)，還要求其具備一定的低空防御能力，如打擊處于攻擊狀態(tài)的武裝直升機(jī)。

相比于主戰(zhàn)坦克、裝甲車等地面目標(biāo)，空中目標(biāo)的機(jī)動(dòng)性更強(qiáng)；但另一方面，由于飛行的需要，空中目標(biāo)的防護(hù)相對(duì)薄弱，只要命中目標(biāo)，反坦克導(dǎo)彈常用的戰(zhàn)斗部足以對(duì)目標(biāo)造成致命毀傷。一般反坦克導(dǎo)彈的飛行速度與可用過載均低于專用的防空導(dǎo)彈，因此需要根據(jù)導(dǎo)彈的具體情況，設(shè)計(jì)合適的導(dǎo)引律，使其在保證命中精度的同時(shí)能夠合理分配彈道的過載。

經(jīng)典比例導(dǎo)引律是攻擊非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的最優(yōu)導(dǎo)引律，可以實(shí)現(xiàn)非機(jī)動(dòng)目標(biāo)視線角速度的零化，但在攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)其性能會(huì)急劇下降。為提高導(dǎo)彈對(duì)高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截能力，研究人員基于不同的出發(fā)點(diǎn)提出了一些高精度改進(jìn)比例導(dǎo)引律［1－3］，雖然可以實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攻擊，但存在著所需導(dǎo)引信息過多，或者形式復(fù)雜等問題，且并不適用于速度較低的反坦克導(dǎo)彈。

滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)干擾和攝動(dòng)具有某種完全自適應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)［4］，而且滑動(dòng)模態(tài)對(duì)攝動(dòng)的不變性十分有益于控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。另外，滑模變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)比較簡單，便于理解應(yīng)用，因此在導(dǎo)引律尤其是攔截高機(jī)動(dòng)目標(biāo)導(dǎo)引律的研究中得到了廣泛的應(yīng)用與發(fā)展［5－10］。

本文以零化彈目視線角速度為出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律，并根據(jù)實(shí)際研究中出現(xiàn)的具體問題，改進(jìn)了變開關(guān)項(xiàng)的形式，并綜合應(yīng)用飽和函數(shù)，削弱了變結(jié)構(gòu)控制的抖振現(xiàn)象，最終形成一種改進(jìn)自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律。導(dǎo)引律可以滿足反坦克導(dǎo)彈對(duì)空中目標(biāo)的命中精度需求，同時(shí)可以合理分配末制導(dǎo)段的法向過載。

1 彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

在縱向平面內(nèi)，導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系示意圖如圖1所示。圖中，r為導(dǎo)彈相對(duì)目標(biāo)的距離，vM為導(dǎo)彈速度，θM為導(dǎo)彈彈道傾角，q為彈目視線角，vT為目標(biāo)速度，θT為目標(biāo)航跡角。規(guī)定水平基準(zhǔn)線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到彈目視線上時(shí)，q為正，反之為負(fù)。

根據(jù)圖1所示的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，得到彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系方程組：

2 導(dǎo)引律初步設(shè)計(jì)與分析

2.1 導(dǎo)引律推導(dǎo)

對(duì)式（1）第二式求微分，并根據(jù)第一式進(jìn)行簡化，可得：

取u＝為控制項(xiàng)，由式（2）可得：

在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)中，根據(jù)準(zhǔn)平行接近原理，一般希望在制導(dǎo)過程中使視線角速度趨近于0，即使導(dǎo)彈在目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)也可以實(shí)現(xiàn)的零化。為達(dá)到這個(gè)目的，應(yīng)用滑模變結(jié)構(gòu)理論，選取＝0作為導(dǎo)引律的切換平面，即切換函數(shù)設(shè)計(jì)為

通過變結(jié)構(gòu)控制，使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換平面內(nèi)，系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，即可使在有限時(shí)間內(nèi)零化，滿足＝0的理想導(dǎo)引要求，在滑動(dòng)模態(tài)附近，漸進(jìn)實(shí)現(xiàn)平行接近導(dǎo)引。

為使系統(tǒng)到達(dá)切換面，要求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)必須趨向切換平面，即滿足可達(dá)性條件：

可達(dá)性條件保證了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換平面，但對(duì)這段時(shí)間內(nèi)具體的狀態(tài)軌跡沒有約束。為改善這段運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，可以通過趨近率的設(shè)計(jì)加以控制。在滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的研究中，常采用指數(shù)趨近率的形式。根據(jù)導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的時(shí)變性，設(shè)計(jì)一種對(duì)時(shí)變參數(shù)具有自適應(yīng)能力的指數(shù)趨近率，具體形式為

式中：k＞0，ε＞0。

趨近率表達(dá)式（6）的自適應(yīng)性主要體現(xiàn)在切換函數(shù)向切換面的運(yùn)動(dòng)速率隨彈目距離r的變化而調(diào)整。在末制導(dǎo)初始階段，r較大，趨近速率較慢；隨著導(dǎo)彈接近目標(biāo)，r→0時(shí)，趨近速率迅速上升，保證了不會(huì)發(fā)散，從而提高了命中精度。在式中，當(dāng)s＝→0時(shí)，趨近速率約等于ε／r，可以保證有限時(shí)間到達(dá)切換面。由于趨近率的自適應(yīng)性，最終得到的導(dǎo)引律也具有了自適應(yīng)能力。

將式（4）、式（6）代入式（3），求得控制項(xiàng)：

在實(shí)際制導(dǎo)過程中，目標(biāo)的機(jī)動(dòng)信息一般很難準(zhǔn)確獲取，通常利用卡爾曼濾波或擴(kuò)展卡爾曼濾波技術(shù)，通過建立目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型，可以實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的加速度估計(jì)。但這種假設(shè)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)模型在工程上可能存在很大的建模誤差，甚至導(dǎo)致糟糕的估計(jì)結(jié)果。因此，在滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的研究中，可以將其作為干擾項(xiàng)處理［11］。

將d作為干擾項(xiàng)進(jìn)行簡化后，式（7）可簡化為

從而可以得到自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的形式：

2.2 穩(wěn)定性分析

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)式（3）以及式（8），可得Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

式中：d′為目標(biāo)機(jī)動(dòng)干擾項(xiàng)的預(yù)估值，可根據(jù)目標(biāo)特性離線估計(jì)。

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定定理，為使導(dǎo)引律收斂，需要有＜0。因此，根據(jù)式（11），需要滿足：

則可保證系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

2.3 導(dǎo)引律分析

如式（9）所示，設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律可視為由比例導(dǎo)引項(xiàng)、切換偏置項(xiàng)以及加速度補(bǔ)償項(xiàng)等3部分組成。反坦克導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段一般進(jìn)行無動(dòng)力飛行，切向加速度較小，若忽略導(dǎo)彈攻擊段的切向加速度，則式（9）可簡化為

即導(dǎo)引律可視為一種具有時(shí)變比例系數(shù)和一個(gè)切換偏置項(xiàng)的改進(jìn)比例導(dǎo)引律。該導(dǎo)引律無需估計(jì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息，僅需目標(biāo)機(jī)動(dòng)的界限即可?；l件滿足時(shí)，控制指令中的切換偏置項(xiàng)起到了估計(jì)目標(biāo)加速度的作用。

3 導(dǎo)引律的改進(jìn)

3.1 抖振的削弱

對(duì)于采用滑模變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)，在實(shí)際控制過程中，開關(guān)在時(shí)間和空間上的滯后會(huì)導(dǎo)致控制的不連續(xù)性，產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，進(jìn)而影響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，導(dǎo)致導(dǎo)彈命中精度的降低。抖振是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的嚴(yán)重缺陷，也是阻礙變結(jié)構(gòu)控制應(yīng)用的主要障礙［12］。在導(dǎo)引律的研究中，為削弱抖振現(xiàn)象的影響，目前最常用的方法是飽和函數(shù)法，另外還有變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法等。

1）飽和函數(shù)法。

飽和函數(shù)法的基本思想是將不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)連續(xù)化，具體可將符號(hào)函數(shù)取代為

或

式中：δ＞0，是一個(gè)微小量，一般可稱為邊界層厚度，也稱為消顫因子［13］。

以改進(jìn)后的函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，可使控制在切換面附近具有高增益性。若δ較小，則可保持高度的魯棒性；但實(shí)際在控制器上，大幅時(shí)間滯后需要較大的δ，且在極端情況下，將導(dǎo)致大幅振動(dòng)且系統(tǒng)不再是變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

在飽和函數(shù)法的2種形式中，式（14）抑制抖振的效果更好，因此也更為常用。另外還有一種死區(qū)法，可視作飽和函數(shù)法的一種變形，因其抑制抖振的效果不如飽和函數(shù)法，所以并不常用。

2）變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法。

變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法可以視作趨近率參數(shù)調(diào)節(jié)方式的一種改進(jìn)，趨近率表達(dá)式中含有符號(hào)函數(shù)的εsgn稱為開關(guān)項(xiàng)，系數(shù)ε的取值非常關(guān)鍵。根據(jù)式（6），若ε選擇較小的值，狀態(tài)軌跡接近切換面時(shí)的運(yùn)動(dòng)速率變小，可有效減小顫振幅度。但若ε選擇過小，會(huì)導(dǎo)致到達(dá)切換面的時(shí)間無窮大，系統(tǒng)不再是滑動(dòng)模態(tài)控制系統(tǒng)。

因此，為兼顧減少到達(dá)切換面的時(shí)間以及控制抖振幅度的目的，可設(shè)定ε為變量，隨著接近切換面，使ε逐漸減小。在文獻(xiàn)［14］中，劉永善等人研究了基于模糊控制技術(shù)確定ε變化的形式，可有效削弱抖振。但該方法需要應(yīng)用彈上傳感器等設(shè)備對(duì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行預(yù)估，并且模糊器的設(shè)計(jì)也為導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)增加了難度。

為此，本文采用變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法時(shí)，對(duì)ε的形式進(jìn)行了改進(jìn)，將ε設(shè)計(jì)為隨r逐漸減小的變量，即隨著導(dǎo)彈飛向目標(biāo)，ε也隨之減小。為簡單起見，ε的形式設(shè)計(jì)為r的一次函數(shù)，即

式中：a＞0，b＞0，其取值需要根據(jù)ε的取值范圍及r的變化范圍進(jìn)行。在接近目標(biāo)時(shí)，r逐漸接近于零，因此可首先確定b的取值，其作用是保證系統(tǒng)在末制導(dǎo)的大部分時(shí)間內(nèi)處于滑?？刂葡到y(tǒng)；然后根據(jù)末制導(dǎo)開始時(shí)r的最大值和ε的上限進(jìn)行a的取值，在保證系統(tǒng)可以較快進(jìn)入滑模面的同時(shí)盡量減小抖振幅度。根據(jù)趨近率表達(dá)式中ε的作用可知，a和b的取值越大，系統(tǒng)進(jìn)入滑模面的速度越快，同時(shí)出現(xiàn)抖振的可能性或抖振幅度也會(huì)增大。

3.2 導(dǎo)引律的改進(jìn)

研究中發(fā)現(xiàn)，分別采用飽和函數(shù)或變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行抖振的削弱處理，難以有效地削弱抖振現(xiàn)象。

如圖2～圖3所示，分別采用飽和函數(shù)法和變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法時(shí)，雖然末制導(dǎo)段的彈目視線角速度進(jìn)入滑模面的速度較快，但均出現(xiàn)了不同程度的抖振現(xiàn)象。其中，采用變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法時(shí)，盡管對(duì)的抑制效果更好，但抖振現(xiàn)象也更為嚴(yán)重。而且飽和函數(shù)中消顫因子δ取值越小，或是變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)中參數(shù)a和b的取值越大，抖振現(xiàn)象越嚴(yán)重；反之，對(duì)的抑制效果會(huì)下降，當(dāng)抖振現(xiàn)象完全消除時(shí)，甚至無法進(jìn)入滑模面。

圖2 采用飽和函數(shù)法時(shí)的彈目視線角速度曲線

圖3 采用變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法時(shí)的彈目視線角速度曲線

圖4 采用飽和函數(shù)法時(shí)的法向過載曲線

圖5 采用變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法時(shí)的法向過載曲線

在本文研究中，嘗試綜合采用飽和函數(shù)法和變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)法進(jìn)行消顫處理，取得了較好的效果。首先，用飽和函數(shù)替換導(dǎo)引律表達(dá)式中的符號(hào)函數(shù)，然后采用本文設(shè)計(jì)的一次函數(shù)形式的變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)，將式（14）和式（16）代入式（9），最終得到改進(jìn)的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律：

若忽略導(dǎo)彈攻擊段加速度，則式（17）可變?yōu)?/p>

4 仿真分析

基于導(dǎo)引彈道仿真對(duì)設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律進(jìn)行仿真分析，仿真參數(shù)設(shè)置如下：導(dǎo)彈平飛高度h＝150m，速度為vM＝180m／s；目標(biāo)初始位置（2 000，300）（m）；轉(zhuǎn)入末制導(dǎo)時(shí)刻彈目水平距離rx＝1 000m，并以此時(shí)刻作為仿真開始時(shí)間，即t＝0；同一時(shí)刻目標(biāo)開始作蛇形機(jī)動(dòng)，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)為vT＝50m／s＝10g（cos2t）／vTs－1；導(dǎo)引頭盲區(qū)距離為70 m，導(dǎo)彈進(jìn)入盲區(qū)時(shí)給予視線角速度信號(hào)零值，以此為依據(jù)計(jì)算脫靶量。仿真中比例導(dǎo)引律（PNG）的比例系數(shù)取4；改進(jìn)自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律（IAVSG）中的參數(shù)取值為k＝2，δ＝0.001，a＝0.1，b＝50。仿真得到彈道曲線以及各類參數(shù)變化曲線如圖6～圖9所示。

圖6 彈道曲線比較

圖7 彈目視線角速度曲線比較

圖8 法向過載曲線比較

圖9 彈目視線角曲線比較

如圖6所示，IAVSG的彈道曲線機(jī)動(dòng)幅度比PNG大，而且距目標(biāo)越遠(yuǎn)時(shí)這種對(duì)比越明顯，說明IAVSG為抑制的變化在末制導(dǎo)開始階段導(dǎo)彈就需要隨目標(biāo)的機(jī)動(dòng)進(jìn)行較大幅度的機(jī)動(dòng)。

如圖7所示，在末制導(dǎo)開始后，采用IAVSG的很快進(jìn)入滑模面，在最后階段由于彈目距離過小才離開了滑模面。與圖2、圖3相比，進(jìn)入滑模面的速度較快，雖然對(duì)的抑制效果稍差，卻完全消除了的抖振現(xiàn)象。而采用PNG時(shí)變化很大，尤其在接近目標(biāo)時(shí)甚至接近10（°）／s。

抑制的代價(jià)就是在追擊過程中一直需要導(dǎo)彈進(jìn)行較大幅度的機(jī)動(dòng)，因此法向過載會(huì)保持在較大的范圍內(nèi)變化，如圖8所示。但在接近目標(biāo)時(shí)，IAVSG的法向過載要小于PNG，因此可以視為IAVSG可以更合理地分配整個(gè)末制導(dǎo)段的法向過載。與圖4、圖5相比，采用IAVSG的法向過載曲線也完全消除了振蕩現(xiàn)象。

圖9所示為彈目視線角q的變化曲線，由于受到了抑制，因此采用IAVSG時(shí)q的變化明顯要比采用PNG時(shí)小很多。

仿真得到PNG和IAVSG的脫靶量分別為2.473m和0.449m，說明在攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)IAVSG的精度要遠(yuǎn)高于PNG。同時(shí)IAVSG也完全消除了變結(jié)構(gòu)控制導(dǎo)致的抖振現(xiàn)象，有益于保持控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語

本文提出的改進(jìn)自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律通過設(shè)計(jì)形式簡單的變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)并綜合采用飽和函數(shù)法，兼顧了保證系統(tǒng)趨近速率和控制抖振的需求。該導(dǎo)引律具備了遠(yuǎn)優(yōu)于比例導(dǎo)引律的精度，并實(shí)現(xiàn)了對(duì)末制導(dǎo)段導(dǎo)彈法向過載較為合理的分配，可以滿足反坦克導(dǎo)彈對(duì)低空目標(biāo)的作戰(zhàn)需求。同時(shí)本文提出的變開關(guān)項(xiàng)系數(shù)的形式及消除抖振的方法對(duì)變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律的研究也有一定的參考價(jià)值。

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