姜傳金，陳樹民，劉 財(cái)，鹿 琪，馮智慧

1.大慶油田有限責(zé)任公司勘探開發(fā)研究院，黑龍江 大慶 163712

2.吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春 130061

0 引言

譜分解技術(shù)是源于B P Amoco（英國(guó)石油阿莫科）公司的一種地震解釋技術(shù)［1］。由于不同的地震頻率對(duì)各種地質(zhì)異常體的敏感度不同，所以在刻畫地質(zhì)異常體厚度變化及描述地質(zhì)異常體橫向不連續(xù)性等方面，譜分解技術(shù)已被證明是非常有效的方法。自20世紀(jì)90年代以來(lái)，譜分解技術(shù)得到了地質(zhì)、地球物理工作者的廣泛關(guān)注，而且不斷有新的地震譜分解技術(shù)出現(xiàn)［2］。地震信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性隨時(shí)間而變，是一種典型的非平穩(wěn)信號(hào)，因此時(shí)頻分析方法能夠很好地表征其局部時(shí)間段頻域特性。目前從各類文獻(xiàn)資料中來(lái)看，基于時(shí)頻分析方法的譜分解技術(shù)大致分為兩大類：一類是線性時(shí)頻分析的方法，包括短時(shí)傅里葉變換［3］、小波變換［4－6］、S變換［7］、廣義S變換［8－10］、匹配追蹤［11］等；另一類是非線性時(shí)頻分析的方法，主要是指Wigner時(shí)頻分布［12－13］。理論上，上述方法各具特色和優(yōu)勢(shì)，但也都存在一定的局限。尤其Wigner時(shí)頻分布的缺點(diǎn)與其優(yōu)點(diǎn)一樣突出，即存在交叉干擾項(xiàng)問(wèn)題［14－15］。

筆者利用Wigner高階譜具有高時(shí)頻聚集性的特點(diǎn)，提出了一種基于改進(jìn)核函數(shù)的 Wigner雙譜對(duì)角切片的譜分解技術(shù)。Wigner高階譜與其他二次型時(shí)頻分布一樣同樣存在交叉干擾項(xiàng)的問(wèn)題，筆者主要圍繞抑制交叉干擾項(xiàng)的問(wèn)題展開研究，采用模糊域核函數(shù)濾波法抑制Wigner雙譜對(duì)角切片的交叉項(xiàng)。分析指數(shù)型核函數(shù)與錐形核函數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)后認(rèn)為：指數(shù)核函數(shù)不能抑制信號(hào)出現(xiàn)在橫軸和縱軸上的交叉項(xiàng)；與指數(shù)核函數(shù)相比，錐形核函數(shù)在縱軸旁邊存在一定的旁瓣，這樣在進(jìn)行模糊域?yàn)V波時(shí)，當(dāng)交叉項(xiàng)出現(xiàn)的位置與旁瓣有重合時(shí)，交叉項(xiàng)便不能得到很好的抑制。因此，筆者結(jié)合兩者的優(yōu)點(diǎn)給出了改進(jìn)的新核函數(shù)，以解決Wigner雙譜對(duì)角切片的模糊函數(shù)中心點(diǎn)校正問(wèn)題。通過(guò)對(duì)新的核函數(shù)交叉項(xiàng)抑制能力的數(shù)值模擬，驗(yàn)證新的核函數(shù)對(duì)交叉項(xiàng)有更好的抑制能力。最后對(duì)實(shí)際地震數(shù)據(jù)進(jìn)行分頻處理，指示油氣有利區(qū)的存在，驗(yàn)證本文所提出方法的有效性。

1 方法原理

1.1 地震信號(hào)Wigner雙譜對(duì)角切片公式推導(dǎo)

Wigner高階矩譜與高階譜、高階矩、高階累計(jì)量一樣都屬于高階統(tǒng)計(jì)量。Wigner雙譜是Wigner高階矩譜的一種，按其變量參數(shù)所在的域劃分，它屬于時(shí)頻域的概念［16－17］。

設(shè)x（t）為任一零均值信號(hào)，由累積量理論可知，其二階累積量（自相關(guān)）與三階累積量定義為

式中：τ為信號(hào)二階累積量中的時(shí)間延遲變量；τ1，τ2為信號(hào)三階累積量中的時(shí)間延遲變量；E代表數(shù)學(xué)期望。

對(duì)其二階累積量（自相關(guān)）和三階累積量分別作一維傅里葉變換與二維傅里葉變換，便可以得到其功率譜與雙譜（自雙譜）［18－19］為

式中：f為信號(hào)功率譜中的頻率變量；f1，f2為信號(hào)雙譜中的頻率變量。

當(dāng)f1＝f2＝f時(shí)，稱W2x（t，f）為 Wigner雙譜對(duì)角切片［22］，其表達(dá)式為

1.2 核函數(shù)對(duì)交叉干擾項(xiàng)的抑制

在研究模糊函數(shù)時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的事實(shí)［23］：在模糊域，交叉項(xiàng)傾向于遠(yuǎn)離原點(diǎn)，而信號(hào)項(xiàng)則聚集在原點(diǎn)附近；因此，減小交叉項(xiàng)的一種很自然的方法是在模糊域用核函數(shù)對(duì)模糊函數(shù)進(jìn)行濾波，濾去交叉項(xiàng)，然后，再由模糊函數(shù)的傅里葉變換求相應(yīng)的時(shí)頻分布。這種抑制交叉項(xiàng)的方法稱為模糊域核函數(shù)濾波法。應(yīng)當(dāng)指出，交叉項(xiàng)的抑制與信號(hào)項(xiàng)的維持是一對(duì)矛盾。因?yàn)榻徊骓?xiàng)的減小必然會(huì)對(duì)信號(hào)項(xiàng)產(chǎn)生拉平的負(fù)面作用，從而減低時(shí)頻分布的聚集性。

例如信號(hào)z（t）＝x（t）＋y（t）。由褶積原理知，z（t）的Wigner分布與Wigner雙譜對(duì)角切片分別為

其中：2（Wxy（t，f））為Wigner分布的交叉項(xiàng)；與為 Wigner雙譜對(duì)角切片的交叉項(xiàng)。

信號(hào)z（t）的局部相關(guān)函數(shù)、局部三階累積量對(duì)角切片分別為

則信號(hào)z（t）的Wigner分布模糊函數(shù)定義為

同理，信號(hào)z（t）的 Wigner雙譜對(duì)角切片模糊函數(shù)定義為

其中：τ表示時(shí)間延遲；v表示頻偏（多分量信號(hào)間的頻率差值）。二者構(gòu)成時(shí)延－頻偏平面，即模糊域。利用模糊域核函數(shù)濾波法，建立 Wigner分布與Wigner雙譜對(duì)角切片計(jì)算公式：

在模糊域核函數(shù)濾波法中有2種比較常用的核函數(shù)。

第一種是指數(shù)核函數(shù)。

Choi與 Williams［24］在Cohen類分布中引入指數(shù)核函數(shù)（圖1），用該核與Wigner分布構(gòu)成的時(shí)頻分布稱為Choi－Williams分布，其模糊域表達(dá)式為

式中：τ為時(shí)間延遲；v為頻偏；α為控制核函數(shù)形狀的常數(shù)。

對(duì)指數(shù)核函數(shù)表達(dá)式及圖1進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：

1）由式（16）易驗(yàn)證φcw（0，0）＝1，φcw（0，v）＝1，φcw（τ，0）＝1。這表明，指數(shù)核函數(shù)對(duì)原點(diǎn)（0，0）以及橫軸（τ軸）和縱軸（v軸）上信號(hào)的模糊函數(shù)沒(méi)有任何影響。因此，若信號(hào)模糊函數(shù)的交叉項(xiàng)出現(xiàn)在橫軸和縱軸上，則它們將不能被抑制，從而時(shí)頻分布中相對(duì)應(yīng)的交叉項(xiàng)也不能被抑制。

2）當(dāng)τ≠0和v≠0時(shí)，信號(hào)的模糊函數(shù)在坐標(biāo)軸以外的交叉項(xiàng)都能夠得到一定程度的抑制，從而可以減少與這些模糊交叉項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的時(shí)頻分布交叉項(xiàng)。

第二種是錐形核函數(shù)。

為了克服指數(shù)核函數(shù)不能抑制坐標(biāo)軸上存在交叉項(xiàng)的問(wèn)題，Zhao等［25］提出了錐形核函數(shù)，其模糊域表達(dá)式為

與指數(shù)核函數(shù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)：

1）由式（17）易驗(yàn)證，錐形核函數(shù)除了對(duì)坐標(biāo)以外的信號(hào)模糊函數(shù)有影響外，對(duì)橫軸（τ軸）上的信號(hào)的模糊函數(shù)也有抑制作用。從而時(shí)頻分布中相對(duì)應(yīng)的交叉項(xiàng)也能被抑制。

2）錐形核函數(shù)也有其缺點(diǎn)。如圖2所示，與指數(shù)核函數(shù)相比，其模糊函數(shù)在縱軸旁邊存在一定的旁瓣。這樣在進(jìn)行模糊域?yàn)V波時(shí)，當(dāng)交叉項(xiàng)出現(xiàn)的位置與旁瓣有重合時(shí)，交叉項(xiàng)便不能得到很好的抑制。

圖1 指數(shù)核函數(shù)模糊函數(shù)圖Fig.1 Ambiguity function of the exponential kernel function

通過(guò)對(duì)指數(shù)核函數(shù)與錐形核函數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)的分析，可以發(fā)現(xiàn)，指數(shù)核函數(shù)對(duì)坐標(biāo)軸外的交叉項(xiàng)有較好的抑制作用，而錐形核函數(shù)的突出特點(diǎn)是對(duì)時(shí)延軸上的交叉項(xiàng)有抑制作用。通過(guò)錐形核函數(shù)表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)，它由兩部分組成：一部分是基礎(chǔ)函數(shù)（圖3），它是一種類正弦函數(shù)；另一部分是一個(gè)指數(shù)函數(shù)（圖4）?？梢?jiàn)，指數(shù)函數(shù)相當(dāng)于參數(shù)變量為時(shí)間延遲的一維濾波器，對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)濾波之后就形成了錐形核函數(shù)。所以，完全可以利用該指數(shù)函數(shù)對(duì)指數(shù)核函數(shù)濾波，形成一個(gè)新核函數(shù)，使其既具有指數(shù)核函數(shù)對(duì)坐標(biāo)軸外交叉項(xiàng)的抑制能力，也具有對(duì)時(shí)延軸方向交叉項(xiàng)的抑制能力。該新核函數(shù)（圖5）表達(dá)式為

圖2 錐形核函數(shù)模糊函數(shù)Fig.2 Ambiguity function of the cone－shaped kernel function

圖3 錐形核基礎(chǔ)函數(shù)模糊函數(shù)Fig.3 Basic function in the cone－shaped kernel function

式中：τ為時(shí)間延遲；v為頻偏；α、β為控制核函數(shù)形狀的常數(shù)。

2 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證新的核函數(shù)對(duì)交叉項(xiàng)的抑制作用，本節(jié)利用兩分量的模擬信號(hào)進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值模擬（圖6）。

圖4 指數(shù)函數(shù)Fig.4 Exponential function in the cone－shaped kernel function

圖5 新核函數(shù)模糊函數(shù)Fig.5 Ambiguity function of the new kernel function

z（t）為主頻分別為30Hz、65Hz的零均值信號(hào)x（t）和y（t）的疊加信號(hào)（圖6a），即z（t）＝x（t）＋y（t）。疊加信號(hào)z（t）的 Wigner雙譜對(duì)角切片存在交叉項(xiàng)（圖6b）。如圖6d－f所示，加新核函數(shù)后的Wigner雙譜對(duì)角切片對(duì)疊加信號(hào)的交叉項(xiàng)有很好的抑制作用。需要強(qiáng)調(diào)的是，疊加信號(hào)基于Wigner雙譜對(duì)角切片的模糊函數(shù)的有效信號(hào)的中心點(diǎn)與模糊域的坐標(biāo)原點(diǎn)不一致（圖6c），因此需要通過(guò)坐標(biāo)移動(dòng)，使其與模糊域坐標(biāo)原點(diǎn)一致（圖6d），從而使核函數(shù)有效抑制交叉項(xiàng)。之后需要將抑制交叉項(xiàng)后的有效信號(hào)重新回到原來(lái)的位置才能保證最后計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確（圖6e－f）。

3 基于Wigner雙譜對(duì)角切片的譜分解技術(shù)流程

“基于Wigner雙譜對(duì)角切片的譜分解技術(shù)”的常規(guī)流程在實(shí)際應(yīng)用時(shí)有其局限性。即，方法流程中間生成Wigner雙譜對(duì)角切片三維數(shù)據(jù)體往往數(shù)據(jù)量很大，會(huì)使matlab程序報(bào)錯(cuò)：內(nèi)存溢出。可以通過(guò)由二維多道地震數(shù)據(jù)直接生成單頻剖面的方法避免上述問(wèn)題。具體方法（圖7）為：首先初始化多個(gè)與地震數(shù)據(jù)行列數(shù)相等的零矩陣，即對(duì)第一道地震信號(hào)做Wigner雙譜對(duì)角切片后，得到一個(gè)二維時(shí)頻剖面，對(duì)此剖面做頻率切片，得到一個(gè)一維的單頻數(shù)據(jù)；然后將該數(shù)據(jù)存儲(chǔ)到零矩陣對(duì)應(yīng)的第一列中；依此方法類推，處理完整個(gè)地震記錄，便可以得到單頻剖面?；赪igner分布的譜分解技術(shù)也可以采用上述方法。

4 實(shí)際應(yīng)用

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于 Wigner雙譜對(duì)角切片分頻技術(shù)的實(shí)用性，筆者對(duì)圖8的實(shí)際數(shù)據(jù)按照頻率由低到高的原則進(jìn)行了分頻處理，并提取了各單頻率剖面，尋找頻率異常，驗(yàn)證油氣顯示區(qū)域是否符合低頻能量較強(qiáng)、高頻能量較弱的現(xiàn)象（圖9）。如果油氣顯示區(qū)域滿足上述現(xiàn)象，就可以認(rèn)為利用筆者提出的譜分解技術(shù)成功地驗(yàn)證了目的層段中油氣的存在。實(shí)際數(shù)據(jù)中的目的層為400～500ms，在橢圓標(biāo)記內(nèi)遇到油氣顯示。

從圖9中標(biāo)記內(nèi)的能量顯示可以看出：在20 Hz、31Hz這樣的低頻區(qū)域內(nèi)，油氣顯示區(qū)域內(nèi)有能量顯示；而隨著頻率的增加，在45Hz、50Hz這樣的高頻區(qū)域油氣顯示區(qū)域內(nèi)的能量團(tuán)消失。由此表明，筆者提出的基于改進(jìn)核函數(shù)的 Wigner分布譜分解技術(shù)成功地驗(yàn)證了目的層段中油氣的存在。

5 結(jié)論與討論

1）筆者利用Wigner高階矩譜具有高時(shí)頻聚集性的特點(diǎn)，提出了一種基于改進(jìn)核函數(shù)的 Wigner雙譜對(duì)角切片的譜分解技術(shù)。與以往基于線性時(shí)頻分析理論的譜分解技術(shù)相比，不存在時(shí)窗的限制，因此具有更高的時(shí)頻分辨率。

2）在提出了改進(jìn)核函數(shù)的基礎(chǔ)上，解決了Wigner雙譜對(duì)角切片模糊函數(shù)中心點(diǎn)與核函數(shù)中心點(diǎn)不一致導(dǎo)致核函數(shù)抑制能力下降的問(wèn)題。無(wú)論數(shù)值模擬與實(shí)際資料應(yīng)用都證明了其適用性。因此該譜分解技術(shù)可以作為油氣檢測(cè)的一種有效的輔助手段。

圖6 新核函數(shù)對(duì)模擬信號(hào)交叉項(xiàng)的抑制Fig.6 Suppression of new kernel function for the cross－terms with analog signals

3）在實(shí)際生產(chǎn)中，為了避免多解性，還需要與其他地球物理方法進(jìn)行綜合解釋才能確認(rèn)油氣的存在。此外受地層速度及薄層組合復(fù)雜性的影響，油氣檢測(cè)結(jié)果難免出現(xiàn)多解性，使得本次預(yù)測(cè)的精度受到限制。

圖7 改進(jìn)的分頻流程圖Fig.7 Modified flowchart of the frequency－divided technique based on the Wigner bispectrum diagonal slice

圖8 某一實(shí)際數(shù)據(jù)Fig.8 A field seismic data

圖9 實(shí)際數(shù)據(jù)的分頻顯示Fig.9 Single－frequency profiles of the seismic data shown in Fig.8

4）該項(xiàng)技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用中以全區(qū)或多個(gè)構(gòu)造單元作為研究對(duì)象時(shí)，應(yīng)該以地質(zhì)先驗(yàn)信息及經(jīng)保幅處理的常規(guī)屬性為基礎(chǔ)，從而可以使預(yù)測(cè)結(jié)果有據(jù)可依。如果簡(jiǎn)單地單獨(dú)應(yīng)用難免以偏蓋全，摻雜過(guò)多的多解性。如果能夠分區(qū)域、分相帶展開研究，預(yù)測(cè)的結(jié)果會(huì)更加精確，會(huì)最大限度地降低多解性。

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