徐仰彬

（西安建筑科技大學(xué)，陜西 西安 710055）

在物理實驗的數(shù)據(jù)處理中，經(jīng)常會通過多次測量取平均值來減少實驗誤差。但是在測量的過程中往往會忽略估計值對真值的影響，或者會認為測量次數(shù)越多，結(jié)果越準(zhǔn)確。經(jīng)過筆者研究發(fā)現(xiàn)，事實并非如此。比如在聲速測量試驗中，求駐波波長的時候，需要通過多次測量取平均值來逼近真值。

1 對測量數(shù)據(jù)的估計

測量波長時，需要對測量數(shù)據(jù)進行估計，因為估計是數(shù)據(jù)的函數(shù)，而數(shù)據(jù)是隨機變量，估計也是隨機變量，定義估計量為A，因為是對同一個物理量（波長）的多次測量。數(shù)據(jù)分布類似于帶噪聲的直流電平，這里我們數(shù)學(xué)建模為［2，3，4，6］：

x［n］為每次的測量量，w［n］為白高斯噪聲（WGN）具有均值為零，方差為σ2的高斯分布，并且所有測量數(shù)據(jù)互不相關(guān)，因為信號來源為電信號，同時誤差分布均勻，所以采用WGN抽象是合理的。

對A的一個估計量可以定義為：

當(dāng)A為無偏估計時，可以得到其概率密度函數(shù)（PDF）：

為了進一步分析各參量對結(jié)果的影響，取不同頻率時的信號進行駐波法測量，來分析PDF與A之間的關(guān)系，如圖1所示。

圖1 σ＝1和σ＝所對應(yīng)的概率密度函數(shù)

從圖1中可以看出白高斯噪聲的方差對結(jié)果有明顯的影響，當(dāng)σ2較小的時候，波長的估計值更接近于真值。從而可以得到估計量的精度是隨著σ2減小而改善的。白高斯噪聲主要來源于信號的產(chǎn)生及疊加，所以進行駐波法求波長的時候需要找到諧振點，只有在諧振的狀態(tài)下才能使其方差最小。

2 實驗估計值對實驗誤差的影響

為度量估計值的精度，我們約束偏差為零，從而求出使方差最小的估計量，對p（x；A）的對數(shù)進行求導(dǎo)，得到對數(shù)似然函數(shù)的曲率［1，5，7，8］。

其一階導(dǎo)數(shù)為：

二階導(dǎo)數(shù)為：

根據(jù)cramer－Bao下限定理可知：

當(dāng)p（x；A）滿足“正則”條件

即

那么對任何無偏估計量A的方差必定滿足

所以綜合上式，可以得到：

圖2 方差隨N的變化關(guān)系

通常由于系統(tǒng)誤差的存在，使得估計量A會存在一定的偏差，當(dāng)A為有偏估計時，定義：

其中B（T）為估計量的偏移量，T為真值。

圖3 測量次數(shù)與偏移量之間的關(guān)系

從圖3中可以看出當(dāng)存在偏移量的時候，隨著測量次數(shù)的增加，真值落到估計值范圍中的概率會越來越低，當(dāng)達到一定的次數(shù)后，真值出現(xiàn)在測量值范圍內(nèi)的概率將趨近0，從而得到錯誤的結(jié)論。所以在測量的過程中并不是測量次數(shù)越多越好。

3 結(jié) 論

通過采用cramer－Bao下限定理對聲速實驗的實驗數(shù)據(jù)不確定度進行了分析，發(fā)現(xiàn)并不是測量次數(shù)越多實驗結(jié)果越精確，而是依賴于估計量的偏移程度，在盡量減小系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差及盡量提高信號的信噪比的情況下，測量次數(shù)保證在8～10次即可。

［1］康偉芳，薛玉春.物理實驗中的不確定度及其在聲速測量過程的應(yīng)用［J］.大學(xué)物理實驗，2006，19（1）：71－73.

［2］孫航賓，黃篤之，張禹濤.聲速測量實驗假象的探討［J］.大學(xué)物理實驗，2011，24（4）：51－53.

［3］鄭慶華，聲速測量實驗的探討［J］.大學(xué)物理，2007，26（9）.

［4］陳潔，蘇建新.聲速測量實驗有關(guān)問題的研究［J］.物理實驗，2008，28（6）：31－34.

［5］凌亞文，史彭，華中文.大學(xué)物理實驗［J］.科學(xué)出版社，2006.

［6］李道夲.信號的統(tǒng)計檢測與估計理論［J］.科學(xué)出版社，2004.

［7］孫航賓.聲速測量實驗假象的探討［J］.大學(xué)物理實驗，2011，08：50－52.

［8］張俊玲.駐波法測量聲速實驗的系統(tǒng)誤差分析［J］.大學(xué)物理實驗，2012，10：81－83.