魏喜明，白清祥，周昌林

（江門市大長(zhǎng)江集團(tuán)有限公司 研發(fā)中心，廣東 江門 529030）

1 模態(tài)分析的定義和基本原理

1.1 模態(tài)分析的經(jīng)典定義

將線性定常系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組中的物理坐標(biāo)變換為模態(tài)坐標(biāo)，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的獨(dú)立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標(biāo)變換的變換矩陣為模態(tài)矩陣，其每列為模態(tài)振型。模態(tài)分析的最終目標(biāo)是識(shí)別系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析、振動(dòng)故障診斷和預(yù)報(bào)以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1.2 模態(tài)分析的基本原理

首先考慮一下多自由度的動(dòng)力學(xué)方程問題，設(shè)自由度數(shù)為n，則有：

其中：［M］、［C］、［K］分別為多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；｛x（t）｝、｛x·（t）｝、｛x··（t）｝分別為多自由度系統(tǒng)的位移向量、速度向量和加速度向量；｛f（t）｝為多自由度系統(tǒng)的受力向量。

然后對(duì)式（1）進(jìn)行拉普拉斯變換，并且假定初始位移和初速度均為零，則得：

所以位移阻抗矩陣為：

在多維度動(dòng)力學(xué)問題中，傳遞函數(shù)用下式定義：

將式（4）對(duì)照式（2）、式（3）可得傳遞函數(shù)矩陣為：

其中：adj（［Z（p）］）為［Z（p）］的伴隨矩陣；｜Z（p）｜為［Z（p）］的行列式。顯然，如果令：

則可以求得多個(gè)p 值，使得式（6）成立，而這些p 值就是系統(tǒng)極點(diǎn)，這些極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率就是該系統(tǒng)的多種模態(tài)的固有頻率。得到的多自由度系統(tǒng)模態(tài)的極點(diǎn)和共振頻率參數(shù)如式（7）和式（8）所示：

其中：pr和p＊r為多自由度系統(tǒng)的共軛極點(diǎn)；σr為模態(tài)阻尼衰減系數(shù)；ωdr為系統(tǒng)的有阻尼模態(tài)頻率。ωdr的計(jì)算公式為：

其中：ωr為系統(tǒng)的無(wú)阻尼模態(tài)頻率；ζr＝σr／ωr為模態(tài)阻尼比。

模態(tài)分析技術(shù)的主要任務(wù)是找出結(jié)構(gòu)中問題模態(tài)的頻率和振型，通過(guò)對(duì)模態(tài)頻率和振型的理解進(jìn)行有針對(duì)性的改進(jìn)，從而達(dá)到改善振動(dòng)或降低噪聲的效果，本文通過(guò)國(guó)內(nèi)某車的振動(dòng)問題案例來(lái)進(jìn)行具體說(shuō)明。

2 模態(tài)分析技術(shù)在某摩托車振動(dòng)問題改進(jìn)中的應(yīng)用

2.1 問題的提出及診斷

國(guó)內(nèi)某摩托車在開發(fā)過(guò)程中，評(píng)價(jià)部門提出其左、右腳踏有共振問題，主要是在4 500r／min附近右腳踏共振，5 500r／min附近左腳踏共振。該振動(dòng)將影響整車的舒適性，必須加以立項(xiàng)改進(jìn)。筆者根據(jù)反饋描述對(duì)該車左、右腳踏的振動(dòng)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如圖1、圖2所示。

從圖1、圖2可以看出左腳踏在5 580Hz附近、右腳踏在4 440Hz附近各有一個(gè)比較明顯的振動(dòng)放大，這是一個(gè)典型的共振問題。需分析該共振的主要共振頻率，并對(duì)其模態(tài)特征進(jìn)行調(diào)查。

圖1 左腳踏振動(dòng)測(cè)試測(cè)試結(jié)果

圖2 右腳踏振動(dòng)測(cè)試測(cè)試結(jié)果

2.2 頻譜分析

對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行階次分析，分別如圖3、圖4所示。

圖3 左腳踏頻譜分析

圖4 右腳踏頻譜分析

由圖3可知，左腳踏5 580r／min附近的共振模態(tài)是由發(fā)動(dòng)機(jī)的2階激勵(lì)激發(fā)出來(lái)的，該模態(tài)的特征頻率為186 Hz。由圖4可知，右腳踏4 440r／min附近的共振模態(tài)也是由發(fā)動(dòng)機(jī)的2階激勵(lì)激發(fā)出來(lái)的，該模態(tài)的特征頻率為147Hz。

2.3 模態(tài)錘擊實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

采用模態(tài)錘擊法實(shí)驗(yàn)測(cè)試裝配狀態(tài)腳踏結(jié)構(gòu)的共振頻率，如圖5所示。

通過(guò)錘擊法模態(tài)實(shí)驗(yàn)找到了上述左、右腳踏的兩個(gè)模態(tài)頻率，印證了頻率診斷中的模態(tài)的確存在。

圖5 關(guān)于裝配狀態(tài)腳踏特征頻率的模態(tài)實(shí)驗(yàn)

2.4 用CAE軟件進(jìn)行模態(tài)分析

邊界條件：約束安裝螺栓孔；網(wǎng)格類型：采用2階Tetra單元；材料屬性：采用橡膠和鋼兩種材料混合建模，分析結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 CAE模態(tài)分析一階模態(tài)計(jì)算結(jié)果

圖7 CAE模態(tài)分析二階模態(tài)計(jì)算結(jié)果

2.5 模態(tài)結(jié)果誤差分析

對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)與計(jì)算模態(tài)結(jié)果進(jìn)行誤差分析，如表1所示。由表1可知，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果與CAE 計(jì)算模態(tài)結(jié)果非常接近，誤差在2%左右，分析結(jié)果可靠，可以作為改進(jìn)方案的依據(jù)。

表1 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果與計(jì)算模態(tài)結(jié)果誤差分析

2.6 改進(jìn)方案及其測(cè)試驗(yàn)證

根據(jù)上述CAE 模態(tài)計(jì)算結(jié)果對(duì)兩只腳踏桿的前、后方向進(jìn)行了有針對(duì)性的改進(jìn)，改進(jìn)后的振動(dòng)測(cè)試結(jié)果如圖8、圖9所示。

采用改善方案后，評(píng)價(jià)部門進(jìn)行了評(píng)價(jià)，認(rèn)為改進(jìn)方案的振動(dòng)問題可以接受，該車振動(dòng)問題得以解決。

3 總結(jié)

本文介紹了模態(tài)分析的基本原理，通過(guò)某摩托車開發(fā)中振動(dòng)問題的解決流程闡述了其應(yīng)用方法。在此案例中，采用了模態(tài)實(shí)驗(yàn)、振動(dòng)信號(hào)頻域診斷與CAE模態(tài)分析技術(shù)相結(jié)合的方法，解決了該車的左、右腳踏振動(dòng)問題，為今后解決此類問題提供了新思路。

圖8 左腳踏改進(jìn)前、后振動(dòng)對(duì)比

圖9 右腳踏改進(jìn)前、后振動(dòng)對(duì)比

［1］ 龐劍，諶剛，何華.汽車噪聲與振動(dòng)：理論與應(yīng)用［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2006.

［2］ 馬大猷.噪聲與振動(dòng)控制工程手冊(cè)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.