扶宇陽(yáng)，葛阿萍

（五邑大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 江門 529020）

1 IRB140型機(jī)器人的數(shù)學(xué)模型

1.1 連桿坐標(biāo)系和連桿參數(shù)

圖1為IRB140型機(jī)器人基本結(jié)構(gòu)，它是6 軸多用途工業(yè)機(jī)器人。根據(jù)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)原理結(jié)合齊次變換知識(shí)可知，空間中的任意坐標(biāo)系相對(duì)于某個(gè)參考坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)完全可以由這兩個(gè)坐標(biāo)系間的變換獲得。本機(jī)器人末端執(zhí)行器與機(jī)器人其他各連桿之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可簡(jiǎn)化為如圖2所示的連桿坐標(biāo)系。

圖1 IRB140型機(jī)器人基本結(jié)構(gòu)

圖2 連桿坐標(biāo)系

所有坐標(biāo)系遵循右手定則，變量θi、αi、ai、di（i＝1，2，3，4，5，6）分別為各軸的轉(zhuǎn)角、相鄰Z 軸之間的扭轉(zhuǎn)角、相鄰兩軸最短距離以及連桿的長(zhǎng)度，其值見表1。

表1 機(jī)器人的連桿參數(shù)表

1.2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

對(duì)于機(jī)器人這種運(yùn)動(dòng)關(guān)系可由連桿i對(duì)連桿i－1相對(duì)位置的奇次變換矩陣Ai來表述，即：

采用Denavit－Hartenbe提出的D－H 法確定相鄰兩運(yùn)動(dòng)副之間的位置和方向，4×4階齊次D－H 矩陣可同時(shí)實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)與平移，則機(jī)器人末端執(zhí)行器相對(duì)于基座總變換矩陣0T6為：

其中：nx、ny、nz為機(jī)器人法向矢量；ox、oy、oz為方向矢量；ax、ay、az為接近矢量；px、py、pz為位置坐標(biāo)。

由矩陣對(duì)應(yīng)元素相等解得末端執(zhí)行器坐標(biāo)系的接近矢量和位置坐標(biāo)：

ax＝－cosθ1（cos（θ2＋θ3）cosθ4sinθ5＋sin（θ2＋θ3）·cosθ5）－cosθ1sinθ4sinθ5，

ay＝－sinθ1（cos（θ2＋θ3）cosθ4sinθ5＋sin（θ2＋θ3）·cosθ5）＋cosθ1sinθ4sinθ5，

az＝sin（θ2＋θ3）cosθ4sinθ5－cos（θ2＋θ3）cosθ5。

px＝cosθ1［a2cosθ2＋a1＋a3cos（θ2＋θ3）－d4·sin（θ2＋θ3）］，

py＝sinθ1［a2cosθ2＋a1＋a3cos（θ2＋θ3）－d4sin（θ2＋θ3）］，

pz＝－a3sin（θ2＋θ3）－a2sinθ2－d4cos（θ2＋θ3）。

2 基于Robotics Toolbox的IRB140機(jī)器人模型

2.1 模型的建立

在MATLAB環(huán)境下借助機(jī)器人工具箱Robotics Toolbox可以方便地建立IRB140機(jī)器人模型。調(diào)用Link 函 數(shù)L＝LINK（［alpha A theta D Sigma］，‘modified’）（其中，alpha 為扭角，A 為連桿 的長(zhǎng)度，theta為關(guān)節(jié)角，D 為偏置距離，Sigma＝1（IRB140機(jī)器人只有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)），modified為改進(jìn)的D－H 參數(shù)）和robot函數(shù)robot（LINK，...），利用下面的命令完成機(jī)器人對(duì)象模型的創(chuàng)建：

L1＝LINK（［00000］，＇modified＇）；L2＝LINK（［－pi／270 0 0 0］，＇modified＇）；

L3＝LINK（［0 360 0 0 0］，＇modified＇）；L4＝LINK（［－pi／2 0 0 380 0］，＇modified＇）；

L5＝LINK（［pi／2 0 0 0 0］，＇modified＇）；L6＝LINK（［－pi／2 0 0 0 0］，＇modified＇）；

IRB＝robot（｛L1L2L3L4L5L6｝）；IRB.name＝‘IRB140＇；drivebot（IRB）

基于Robotics Toolbox的IRB140機(jī)器人模型如圖3所示。

2.2 機(jī)器人模型檢驗(yàn)分析

通過移動(dòng)圖3中代表關(guān)節(jié)角度的6個(gè)滑塊驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)，滑塊1、2、3的移動(dòng)可以改變機(jī)器人末端執(zhí)行器的位置，滑塊4、5、6運(yùn)動(dòng)可使末端執(zhí)行器具有不同的姿態(tài)。它們的參數(shù)值共同確定了執(zhí)行器末端的位姿。為驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式的正確性，把機(jī)器人各桿件的幾何參數(shù)和6組隨機(jī)選取的關(guān)節(jié)變量值代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并利用MATLAB 編寫計(jì)算程序求得末端執(zhí)行器的位姿；然后將相應(yīng)的數(shù)據(jù)輸入到滑?？刂破髦兄苯幼x取實(shí)際的末端執(zhí)行器的位姿數(shù)據(jù)并進(jìn)行比較。隨機(jī)選取的6組關(guān)節(jié)變量值為：

q1＝［－1.357 5，－1.590 2，－2.210 8，－2.210 8，－1.124 8，0］，

q2＝［－0.659 34，－2.210 8，－1.745 3，－1.784 1，－1.551 4，－0.892 06］，

q3＝［－1.629，－1.706 5，－1.357 5，－2.094 4，－2.179 7，－1.629］，

q4＝［－0.892 06，－0.504 21，－0.698 13，－0.465 42，－0.659 34，0.310 28］，

q5＝［0.310 28，0.659 34，0.310 28，0.504 21，0.426 63，1.163 6］，

q6＝［1.900 5，2.404 7，0.969 63，1.132 5，2.311 6，2.420 2］。

圖3 基于Robotics Toolbox的IRB140機(jī)器人模型

機(jī)器人末端執(zhí)行器的方程求解數(shù)據(jù)和滑塊控制器直接讀取的值比較見表2。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程MATLAB求解值與滑塊設(shè)定值比較

從表2可以看出，隨機(jī)變量代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解 的數(shù)值和滑塊控制器直接讀取的數(shù)值誤差較小，說明所求解的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和利用函數(shù)建立的機(jī)器人三維模型的可靠性。

3 正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的仿真及結(jié)果分析

3.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真及結(jié)果分析

機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)的仿真是在確定連桿參數(shù)和預(yù)先設(shè)定各關(guān)節(jié)變化的前提下分析機(jī)器人末端執(zhí)行器的位姿變化，正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真是完成機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解求解的仿真。求解正運(yùn)動(dòng)學(xué)需要利用Robotics Toolbox里的fkine函數(shù)：

TR＝FKINE（ROBOT，Q）。

其中：TR為由Q 定義的前向運(yùn)動(dòng)學(xué)的正解；ROBOT為機(jī)器人對(duì)象的名稱。先設(shè)定關(guān)節(jié)型坐標(biāo)系一個(gè)點(diǎn)為：

qz＝［－0.077 572－0.310 28－0.116 35 1.435 1.629 0.969 3］。

調(diào)用函數(shù)fkine（IRB，qz）可以求得關(guān)于這個(gè)點(diǎn)的位姿。設(shè)置一個(gè)時(shí)間矢量t＝0：0.056：2，再確定到達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)：

qr＝［2.883－1.318 7 0.736 92 0.426 63 3.141 6－0.349 07］。

用函數(shù)jtraj（IRB，q）計(jì)算關(guān)節(jié)空間軌跡q＝j(luò)traj（qz，qr，t），最后調(diào)用T＝fkine（IRB，q）。返回的T是一系列4×4的矩陣，表示位姿的變化過程。用坐標(biāo)軸來表示X，Y，Z 坐標(biāo)在2s內(nèi)的軌跡變化，可調(diào)用函數(shù)plot（t，squeeze（T（i，4，：）））（i＝1，2，3）來繪制末端執(zhí)行器坐標(biāo)的變化曲線以及空間坐標(biāo)變化曲線，如圖4、圖5所示。

圖4 正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真曲線圖（機(jī)器人末端坐標(biāo)）

圖4和圖5分別是機(jī)械手末端在2s內(nèi)從初始位置qz到終點(diǎn)位置qr的空間坐標(biāo)和空間軌跡曲線的變化過程。通過控制滑塊控制器可以研究其可達(dá)到的各種位形，進(jìn)一步驗(yàn)證機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的準(zhǔn)確性。

3.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真及結(jié)果分析

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解是根據(jù)機(jī)器人末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系的期望位姿，求出該位姿相對(duì)應(yīng)的機(jī)器人各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角。調(diào)用Robotics Toolbox 里的ikine（）函數(shù)，其調(diào)用格式為：

Q＝IKINE（ROBOT，T）或Q＝IKINE（ROBOT，T，Q）。

其中：參數(shù)ROBOT 為指定機(jī)器人對(duì)象名稱；Q 此處默認(rèn)為0；T 為逆解的變換矩陣。設(shè)定時(shí)間矢量t＝0：0.056：2；確定起始點(diǎn)T1＝transl（568.342，－44.176，－236.020）和 終 止 點(diǎn)T2＝transl（－242.371，277.725，31.136）；調(diào)用函數(shù)ctraj：T＝ctraj（T1，T2，length（t））和q＝ikine（r，T）；調(diào)用plot（t，q（：，i）），繪制的各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化曲線如圖6所示。

圖5 正運(yùn)動(dòng)學(xué)的空間坐標(biāo)變化曲線

圖6 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角變化曲線

分析逆運(yùn)動(dòng)學(xué)6個(gè)關(guān)節(jié)角變化曲線，關(guān)節(jié)1、2、3曲線變化的起止點(diǎn)與正運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)定值基本符合，關(guān)節(jié)4、5、6存在比較大的差異，這是逆運(yùn)動(dòng)學(xué)中逆解的多重性問題。對(duì)于全部為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的6自由度IRB140機(jī)器人，到達(dá)某一個(gè)特定的目標(biāo)方式有很多種，可達(dá)到16種逆解。系統(tǒng)可以根據(jù)最短行程原則、關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)空間限制、最接近的解和避障要求來選擇合適的逆解。

4 結(jié)論

利用MATLAB安裝的機(jī)器人工具箱結(jié)合相應(yīng)工業(yè)機(jī)器人的連桿參數(shù)和轉(zhuǎn)角參數(shù)對(duì)機(jī)器人建模和仿真能達(dá)到很好的仿真效果。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所建立的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和基于機(jī)器人工具箱構(gòu)建的三維模型的可靠性，直觀地分析了機(jī)器人末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)和各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，為機(jī)器人進(jìn)行機(jī)構(gòu)最優(yōu)化設(shè)計(jì)與研究提供了一種簡(jiǎn)單和實(shí)用的手段。

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