陳占鋒 朱衛(wèi)平 狄勤豐 李世強

（1.上海大學、上海市應用數學和力學研究所，上海 200072；2.上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室，上海 200072）

隨著石油工業(yè)中深井、超深井、大斜度井和大位移井的數量增多，套管磨損問題也日顯突出。偏磨是套管磨損的一個顯著特征，其是鉆進過程中鉆桿與套管在徑向、軸向發(fā)生不同程度的碰磨造成［1-3］。套管偏磨會使其承載能力降低，嚴重時導致套管柱擠毀或破裂，甚至造成全井報廢［4-5］。雖然大部分油井套管外壁包裹水泥環(huán)，但有時存在水泥環(huán)空缺的可能性。在有些井中，為了節(jié)省成本，部分技術套管的水泥返高未達地面，使得套管外壁環(huán)空依然存在。因此，環(huán)空套管偏磨后的承壓能力評估和預測，對鉆井、完井、采油及修井作業(yè)方案設計都有十分重要的意義。

目前國內外對于以外壓為主的偏磨套管擠毀強度做過許多理論和實驗研究，而對以內壓為主的偏磨套管破裂問題研究相對較少，API 標準中也沒有專門針對偏磨套管的內壓強度或破裂強度計算公式。楊龍［1-2］等人基于彈性理論用有限元法對內壁偏磨套管的內壓強度系數進行了分析，將套管內壁的等效應力達到屈服強度時的內壓作為臨界內壓。鄭傳奎［3］等人在彈性范圍內按照平面應變和平面應力理論用有限元法分析了套管本體內壁不均勻磨損對內壓強度的影響。Huang［6］采用二維彈塑性有限元法計算了幾何缺陷對套管破裂壓力的影響。最近，塔里木油田某井發(fā)生的套管泄漏復雜情況，已經查明與套管偏磨有關。實際上，偏磨套管在過量內壓作用下發(fā)生破裂屬于彈塑性大變形問題，而且局部為三維過程。為此，本文建立三維彈塑性有限元模型，利用有關實驗數據，探尋合適的強度準則，分析偏磨套管破裂機理及其主要影響因素和一般規(guī)律，為偏磨套管極限內壓強度評估提供理論依據。

1 有限元分析

1.1 幾何模型

鉆桿在鉆進過程中的軸向運動和旋轉運動，和套管在徑向和軸向發(fā)生不同程度的碰磨，按橫截面形狀可劃分為均勻磨損橫截面和偏心磨損橫截面。本文重點討論偏心磨損套管，將無磨損不偏心套管作為特例。偏心磨損套管又有兩種常見的模型，一種是“月牙形”模型，其主要由鉆桿長時間碰磨套管某一側形成；另一種為“偏心筒”模型，其主要由鉆桿不規(guī)則碰磨套管內壁形成（圖1）。

圖1 套管偏心偏磨模型

對于“月牙形”模型，當R1＜R 且δ ≠0 時，偏磨率η 可定義為最大偏磨量與套管壁厚的比值，即

式中，R1為偏磨半徑，mm；δ 為套管圓心O 與偏磨圓心O1的距離，mm；R 為套管內圓半徑，mm；t 為套管壁厚，mm；Δt 為最大偏磨量，mm。

對于“偏心筒”模型，當R1＞R 且δ ≠0 時，偏心率ξ 可定義為

式中，tmax表示磨損后套管最大壁厚，mm；tmin表示磨損后套管最小壁厚，mm。

將式（2）進一步化簡為

其中 δ= R1- R=(tmax-tmin)/2

最大磨損量相同時，由式（1）和式（3）可得

其中 k=R/R0；k1=R1/R0

式中，R0為套管外圓半徑，mm。

當R1＞R 且δ=0 時，套管為均勻磨損，磨損后套管壁厚相等。最大偏磨量不變時，隨偏磨半徑的增大，磨損套管依次可用“月牙形”模型、“偏心筒”模型和均勻磨損模型表示。

1.2 有限元計算

套管在破裂過程中變形較大，是一種局部的三維問題，且材料經歷了彈性階段和塑性階段，因此建模時需要考慮三維的材料非線性和幾何非線性問題。部分技術套管外壁存在環(huán)空，本文針對環(huán)空套管進行建模與計算。套管并非理想圓管，壁厚也不是完全均勻的，存在一定的幾何缺陷，主要表現在內外圓初始橢圓和初始偏心（內外圓不同心）。由于內壓能自動校正橢圓度，在此忽略套管內外圓初始橢圓的影響，僅考慮“月牙形”偏磨和“偏心筒”偏磨對套管破裂強度的影響。

采用ABAQUS 進行三維有限元建模和計算，并假設：（1）套管為各向同性彈塑性體，選用C3D20R 單元（20 節(jié)點二階減縮實體單元）進行計算；（2）套管外壁環(huán)空（無水泥環(huán)固結）僅受均勻內壓，忽略外壓、軸向力、彎矩、扭矩等其他載荷影響；（3）考慮套管偏磨，且磨損缺陷沿所截取套管的長度方向一致，忽略套管的其他缺陷；（4）忽略殘余應力的影響。

算法采用修正的Riks 法，該算法能邊計算位移邊調節(jié)載荷的大小和方向，能在結構不穩(wěn)定階段獲得靜態(tài)平衡。模擬過程中內壓方向隨套管變形而自動改變，時刻保持與套管內壁垂直。內壓從0 開始施加并逐漸增大，達到最大值后，有限元程序自動降低套管內壓，使得整個套管破裂模擬過程得以繼續(xù)進行。后處理中可繪出整個模擬過程中套管上任一點的內壓—等效應變曲線，如圖2 所示，其中a～d 各點所對應的應力、變形狀態(tài)如圖3 所示。不管是偏磨套管還是未偏磨套管，本文將內壓—等效應變曲線中最高點（圖2 中b 點）對應的壓力作為破裂壓力。

圖2 套管破裂過程中的內壓與等效應變曲線

圖3 套管破裂過程中的等效應力和變形

1.3 材料本構關系

材料本構關系是影響模擬精度的關鍵因素之一。內壓下套管的破裂屬于彈塑性變形破壞，變形前后尺寸有較大改變，因此應力—應變關系宜采用塑性力學中的真應力和真應變加以描述，以區(qū)別于通常在小變形假設下的（不計尺寸改變影響）工程應力和工程應變。真應力—真應變關系可表示為［7］

式中，σ 為真實應力，MPa；ε 為真實應變；e 為自然常數；n 為材料強化系數，由單軸拉伸實驗確定，n=ln（1+εuts）；εuts為極限應變；σuts為極限強度。

2 偏磨套管破裂機理及強度準則

2.1 破裂機理分析

偏磨套管在內壓下破裂屬于三維彈塑性大變形破壞問題。套管偏磨后的最薄處存在一定的應力集中，其內壁首先屈服并逐漸向外壁擴展，最后屈服面貫穿整個壁厚，破裂發(fā)生。具體情況相當復雜，有些套管要等到內壁達到極限強度才破裂，極少數當外壁接近極限強度時才破裂，即使是無偏磨套管目前還沒有一個公式能概括所有情況。其原因除變形復雜外，還在于各種套管的厚徑比及材料性質不同。幾何偏心、偏磨等缺陷更增加了預測套管破裂壓力的難度。破裂強度這里指套管承受內壓的極限強度，達到該強度意味著破裂即刻發(fā)生。

2.2 強度準則

圖4 不同強度準則的相對誤差

3 偏磨套管破裂壓力的影響因素

3.1 偏磨半徑對破裂壓力的影響

由圖1 可見，當偏磨半徑R1從小于套管內徑R起逐漸增加，偏磨形式自然從“月牙形”模型變化到“偏心筒”模型。以表1 中的TP140 套管為例，首先假定套管最大偏磨量保持不變，為初始壁厚的一半，按本文有限元法計算不同偏磨半徑R1所對應的破裂壓力，比較不同偏磨形式下破裂壓力的變化，結果見圖5?？梢钥闯?，最大偏磨量相同的情況下，除非偏磨半徑很大，套管破裂壓力幾乎與偏磨半徑無關，即套管破裂壓力幾乎與偏磨形式無關。同時意味著，僅就破裂壓力而言，不管是計算還是實驗，為了方便，“偏心筒”模型與 “月牙形”模型可以互換。

表1 不同套管的幾何尺寸及材料參數

圖5 破裂壓力與偏磨半徑關系

3.2 偏磨率對破裂壓力的影響

“月牙形”模型是套管偏磨的主要形式之一。現場實測表明，回收套管中有50%是“月牙形”偏磨［10］。由式（4）可知，最大磨損量一定時，“偏心筒”模型中的偏心率可由“月牙形”模型中的偏磨率表示，因此，此節(jié)僅討論偏磨率對套管破裂壓力的影響。以P110套管為例，幾何尺寸和材料參數見表1，現假定偏磨半徑為60 mm 保持不變，探討偏磨率與套管破裂壓力的關系。本文有限元法計算結果和實驗數據對比見表2，實驗數據來自文獻［5］，磨損率為0 的點對應于無偏磨套管，其他點對應偏磨套管。可以看出，本文有限元法計算結果與實驗數據基本吻合，隨著偏磨率的增大，破裂壓力近似呈線性下降。

表2 偏磨率對套管破裂壓力的影響

4 結論

（1）建立了考慮材料非線性和幾何非線性三維套管有限元模型，針對內壓下套管破裂問題進行研究，提出了新的判斷套管是否破裂的強度準則，并依據此準則對偏磨套管的破裂強度進行了初步的探討。

（2）在套管外徑、內徑和最大磨損量相等的條件下，偏磨半徑對套管破裂強度影響較小，偏磨形式幾乎與破裂壓力無關， “月牙形”模型和“偏心筒”模型可以相互代替。對于偏磨套管，破裂壓力隨偏磨率的增加近似呈線性下降。

（3）地層條件復雜多變，載荷也較為復雜，可進一步在本文基礎上討論套管在復合載荷下的破裂強度，以及水泥環(huán)和殘余應力對套管破裂強度的影響。

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