陳靜云 孫依人 劉佳音 徐 輝

(大連理工大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院,大連 116024)

瀝青混合料是一種典型的黏彈性材料,其泊松比是一個(gè)與加載時(shí)間(或頻率)相關(guān)的函數(shù),而非彈性材料通常采用的常數(shù)0.35[1]．若要客觀反映瀝青路面的實(shí)際行為特性,應(yīng)采用黏彈性泊松比對(duì)其進(jìn)行分析．伴隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的提高,以有限元法為基礎(chǔ)的力學(xué)研究方法為瀝青路面的黏彈性分析提供了有效途徑．然而,大多數(shù)通用有限元程序(如ABAQUS,ANSYS等)僅提供了瞬態(tài)泊松比的常數(shù)參數(shù)輸入,并未提供黏彈性泊松比隨時(shí)間(或頻率)變化的參數(shù)輸入．黏彈性泊松比隨時(shí)間變化的規(guī)律需要通過(guò)輸入體積松弛模量K(t)和剪切松弛模量G(t)的Prony級(jí)數(shù)來(lái)體現(xiàn)．由于體積松弛模量K(t)隨時(shí)間變化很小且難以測(cè)量,故通常對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕铺幚?并相應(yīng)衍生出3種常見(jiàn)的黏彈性泊松比近似方法．目前,關(guān)于這3種近似方法各自的特點(diǎn)、相互關(guān)系、適用條件以及對(duì)瀝青路面動(dòng)態(tài)響應(yīng)模擬的可靠性的研究較少．為此,本文推導(dǎo)了這3種黏彈性泊松比的數(shù)值關(guān)系,進(jìn)而建立了一種三維瀝青路面黏彈性有限元模型,比較分析了在不同溫度(10,25,50 ℃)、不同加載時(shí)間(0.1,0.01,0.001 s)下,3種黏彈性泊松比近似方法對(duì)瀝青路面橫向正應(yīng)力響應(yīng)的影響．

1 本構(gòu)關(guān)系

瀝青混合料是典型的黏彈性熱流變簡(jiǎn)單材料．根據(jù)Boltzmann線性疊加原理,可以得到瀝青混合料的積分型本構(gòu)關(guān)系為[2]

式中,τ為積分變量;E(t)為松弛模量;σ為應(yīng)力;ε為應(yīng)變;tr為參考溫度為T0時(shí)的縮減時(shí)間,其與物理時(shí)間t的關(guān)系為

式中,αT為時(shí)間-溫度移位因子．松弛模量E(t)通常可由Prony級(jí)數(shù)表示,即[3]

式中,Eg為玻璃態(tài)(瞬態(tài))模量;Ei為松弛強(qiáng)度;ρi為松弛時(shí)間;Ee為平衡模量．

黏彈性泊松比也可表示為相似的形式[3],即

式中,μg為玻璃態(tài)(瞬態(tài))泊松比；μi為與θi對(duì)應(yīng)的橫向收縮比;θi為推遲時(shí)間;μe為平衡泊松比．

對(duì)各黏彈性材料函數(shù)進(jìn)行Carson變換,將其從時(shí)間域變換到復(fù)數(shù)域,變換前后函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

由彈性-黏彈性對(duì)應(yīng)原理可知,在復(fù)數(shù)平面內(nèi)各材料函數(shù)間存在與彈性材料類似的關(guān)系,即

利用移位因子αT,可以將溫度T和加載角頻率ω合并成一個(gè)在參考溫度下的縮減角頻率ωr=ωαT．通過(guò)Carson變換和變量替換s→ωri,可將松弛模量E(t)轉(zhuǎn)換成頻域下的復(fù)數(shù)模量E*(ωr)．在高溫、低頻加載條件和低溫、高頻加載條件下,ωr分別趨于0和∞,復(fù)數(shù)模量E*(ωr)相應(yīng)達(dá)到接近平衡模量Ee和瞬態(tài)模量Eg的狀態(tài),均稱為準(zhǔn)彈性狀態(tài)．

2 3種黏彈性泊松比近似方法

體積松弛模量K(t)隨時(shí)間變化很小且難以測(cè)量,故通常對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕铺幚?并相應(yīng)衍生出如下3種黏彈性泊松比近似方法:

1)將體積松弛模量K(t)近似為彈性常數(shù)Kc時(shí),式(6)經(jīng)逆變換可得

此時(shí),泊松比可以表示為隨時(shí)間變化的泊松比μ(t)[4-6]．

2)將瀝青混合料視為不可壓縮材料時(shí),K(t)趨于無(wú)窮大,式(6)經(jīng)逆變換可得

此時(shí),泊松比可以表示為不可壓縮泊松比μ(t)=0.5[7]．

3)假設(shè)體積松弛模量K(t)、剪切松弛模量G(t)和松弛模量E(t)均具有相同的松弛時(shí)間分布,由式(6)可知,這3個(gè)材料函數(shù)之間仍存在彈性狀態(tài)下的數(shù)值關(guān)系,即

此時(shí),泊松比即為常數(shù)泊松比μ(t)=μc[8-9]．

瀝青混合料黏彈性泊松比隨溫度或加載頻率變化,其范圍約為0.1～0.5[10-11]．本文令瞬態(tài)泊松比μg=0.1,平衡泊松比μe=0.5．由式(7)～(9)可知,本質(zhì)上方法2)是假設(shè)泊松比始終為平衡泊松比μe,方法3)是假設(shè)泊松比始終為瞬態(tài)泊松比μg,而方法1則是介于上述兩者之間的狀態(tài),即泊松比為0.1～0.5之間隨時(shí)間(或頻率)變化的函數(shù)．

3 有限元模型

為比較不同黏彈性泊松比近似方法對(duì)瀝青路面動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響,利用ANSYS程序建立了瀝青路面三維黏彈性有限元模型(見(jiàn)圖1)．路面結(jié)構(gòu)由瀝青面層、基層和路基組成．瀝青上面層材料型號(hào)為SMA13,厚度為0.04 m;中面層材料為改性瀝青Superpave20,厚度為0.06 m;下面層材料為普通瀝青Superpave25,厚度為0.08 m．瀝青面層的3種材料松弛模量E(t)的Prony級(jí)數(shù)參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[12];時(shí)間-溫度移位因子的試驗(yàn)過(guò)程及結(jié)果詳見(jiàn)文獻(xiàn)[13]．基層材料為級(jí)配碎石,厚度為0.4 m,彈性模量為250 MPa,阻尼比為0.05;路基的彈性模量為60 MPa,阻尼比為0.05．路面幾何尺寸為6 m×6 m×6 m,采用雙輪均布荷載,將加載區(qū)域簡(jiǎn)化為2個(gè)正方形(尺寸為20 cm×20 cm),雙輪中心距為30 cm．模型與荷載均具有對(duì)稱性,故采用1/4模型．施加對(duì)稱邊界條件,并假設(shè)模型底面無(wú)z方向位移,行車方向前后面無(wú)y方向位移,左右面無(wú)x方向位移．采用SOLID185單元對(duì)幾何模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分．采用半正弦荷載模擬動(dòng)態(tài)輪載,即[7]

式中,q=0.7 MPa為荷載幅值;d為加載時(shí)間,此處d=0.1,0.01,0.001 s．

圖1 路面模型示意圖

4 橫向正應(yīng)力響應(yīng)分析

在豎向車輪荷載作用下泊松比效應(yīng)對(duì)路面的橫向響應(yīng)影響最為顯著,故本文對(duì)應(yīng)用不同黏彈性泊松比近似方法獲得的橫向正應(yīng)力響應(yīng)進(jìn)行比較分析．首先,確定計(jì)算點(diǎn)．在溫度為25 ℃、加載時(shí)間為0.01 s的條件下，荷載達(dá)到峰值時(shí)距輪隙中心不同距離、不同深度處橫向正應(yīng)力σx的分布情況見(jiàn)圖2．由圖可見(jiàn),在距離輪隙中心5～25 cm的位置(即單側(cè)輪載)處,橫向正應(yīng)力的絕對(duì)值隨著路面深度的增加逐漸減小,最終從壓應(yīng)力變?yōu)槔瓚?yīng)力,而在輪隙中心除0.02 m深處橫向正應(yīng)力絕對(duì)值低于單側(cè)輪底壓應(yīng)力外,其他深度處橫向正應(yīng)力絕對(duì)值均達(dá)到最大值,即輪隙中心處為最能體現(xiàn)泊松比對(duì)橫向正應(yīng)力影響的位置．通過(guò)對(duì)輪隙中心處不同深度橫向正應(yīng)力的比較發(fā)現(xiàn),最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在改性瀝青SMA13層和改性瀝青Superpave20層的結(jié)合處,因此選擇輪隙中心改性瀝青SMA13層和改性瀝青Superpave20層的結(jié)合處作為計(jì)算點(diǎn)．

圖3給出了d=0.01 s時(shí)不同溫度(10,25,50 ℃)下橫向正應(yīng)力σx的時(shí)程曲線．由圖3(b)可知,溫度為25 ℃時(shí)采用不同黏彈性泊松比近似方法計(jì)算出的橫向正應(yīng)力有很大差別．由方法2計(jì)算得到的最大橫向正應(yīng)力(0.412 MPa)為方法3計(jì)算結(jié)果(0.223 MPa) 的1.81倍,而方法1得到的橫向正應(yīng)力曲線處于上述2條曲線之間．由圖3(c)可知,在高溫(50 ℃)條件下,基于方法2和方法3的曲線差別更大,而基于方法1和方法2的曲線幾乎重合．另一方面,由圖3(a)可知,10 ℃時(shí)基于方法1的曲線更為接近基于方法3的曲線;由3種泊松比之間的數(shù)值關(guān)系可以推測(cè),若溫度繼續(xù)降低,這2條曲線也將變得更加接近甚至重合．這種現(xiàn)象可以用時(shí)間-溫度等效原理來(lái)解釋,即高溫條件等效于低頻加載條件,而低溫條件等效于高頻加載條件．高溫時(shí)瀝青混合料更容易產(chǎn)生應(yīng)力松弛現(xiàn)象,從而導(dǎo)致泊松比從0.1迅速變化到接近0.5的狀態(tài),因此50 ℃時(shí)基于方法1與方法2的曲線十分接近．相反地,在低溫條件下,由于瀝青混合料松弛時(shí)間延長(zhǎng),瀝青面層處于準(zhǔn)彈性狀態(tài),其泊松比接近于瞬態(tài)泊松比0.1,故基于方法1的曲線更靠近基于方法3的曲線．

圖3 d=0.01 s時(shí)橫向正應(yīng)力的時(shí)程曲線

考慮到黏彈性材料除具有溫度依賴性外,還具有時(shí)間(或頻率)依賴性,故對(duì)相同溫度、不同加載時(shí)間(不同車速)下的橫向正應(yīng)力進(jìn)行了比較分析．圖4給出T=25 ℃,d=0.001,0.1 s時(shí)橫向正應(yīng)力的時(shí)程曲線．與圖3(b)相比,d=0.001 s時(shí),基于方法1的曲線更接近基于方法3的曲線;而d=0.1 s時(shí),基于方法1的曲線幾乎與基于方法2的曲線重合．由3種泊松比之間的數(shù)值關(guān)系可以推測(cè),若加載時(shí)間足夠短(頻率足夠高),基于方法1的曲線將十分接近基于方法3的曲線,甚至與之重合．這仍然可由時(shí)間-溫度等效原理解釋．由圖3和圖4可知,當(dāng)溫度增加時(shí),基于方法2和方法3的曲線差異增大,但當(dāng)加載時(shí)間增加時(shí)這2條曲線間的差異逐漸縮?。@是因?yàn)槌损椥圆此杀?瀝青層的彎曲剛度也對(duì)曲線變化趨勢(shì)造成了一定的影響,而瀝青路面的橫向正應(yīng)力是各黏彈性材料函數(shù)共同作用產(chǎn)生的綜合響應(yīng)．

圖4 T=25 ℃時(shí)橫向正應(yīng)力的時(shí)程曲線

黏彈性泊松比作為反映瀝青混合料橫向變形的重要物理參數(shù),與流動(dòng)性車轍的產(chǎn)生存在密切關(guān)系[14]．瀝青路面橫向正應(yīng)力造成的側(cè)向推移是流動(dòng)性車轍產(chǎn)生的主要原因之一．通過(guò)上述分析可以發(fā)現(xiàn),黏彈性泊松比對(duì)瀝青路面在豎向荷載作用下產(chǎn)生的側(cè)向推移有直接影響．因此,依據(jù)道路材料工作溫度區(qū)域和荷載頻率的不同,采用正確的黏彈性泊松比近似方法,對(duì)于模擬橫向流動(dòng)性車轍及進(jìn)一步研究其產(chǎn)生機(jī)理有重要意義．

5 結(jié)論

1) 高溫、低頻加載條件下,采用隨時(shí)間變化泊松比方法得到的橫向正應(yīng)力與采用不可壓縮泊松比方法得到的結(jié)果接近;低溫、高頻加載條件下,采用隨時(shí)間變化泊松比方法得到的橫向正應(yīng)力與采用常數(shù)泊松比方法得到的結(jié)果接近．這種規(guī)律符合熱流變簡(jiǎn)單材料的時(shí)間-溫度等效原理．

2) 不同黏彈性泊松比近似方法對(duì)橫向正應(yīng)力計(jì)算結(jié)果影響顯著．不可壓縮泊松比始終保持為0.5,適用于高溫、低頻加載條件;常數(shù)泊松比始終保持為初始瞬態(tài)泊松比0.1,適用于低溫、高頻加載條件;隨時(shí)間變化泊松比則由溫度和加載時(shí)間(或頻率)決定,其值在0.1～0.5之間變化,應(yīng)用不受溫度與加載模式的限制．

3) 瀝青路面的側(cè)向推移是流動(dòng)性車轍產(chǎn)生的主要原因之一,而黏彈性泊松比對(duì)瀝青路面在豎向荷載作用下產(chǎn)生的側(cè)向推移有直接影響．因此,依據(jù)道路材料工作溫度區(qū)域和荷載頻率的不同,采用正確的黏彈性泊松比近似方法對(duì)于模擬橫向流動(dòng)性車轍及分析其產(chǎn)生機(jī)理有重要意義．

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