戴 璐，汪勝橋

(1.武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢430070;2.華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢430074)

即期利率在金融活動(dòng)中扮演著舉足輕重的角色。至今已有很多經(jīng)濟(jì)學(xué)者和數(shù)學(xué)學(xué)者建立了相應(yīng)的模型來模擬它，式(1)的模型就是很有代表性的一個(gè)隨機(jī)微分方程［1］:

這是一個(gè)很重要的模型，它包含了眾多經(jīng)典的模 型，例 如，BLACK 和 SCHOLES［2］，MERTON［3］，COX［4］，VASICEK［5］，DOTHAN［6］，BRENNAN 和 SCHWARTZ［7］，COX，INGERSOLL 和ROSS［8］建立的模型。類似的，AIT－SAHALIA［9］建立了如下的非線性隨機(jī)微分方程模型:

其中:αi＞0，i=－1，0，1，2;βj＞0，j =0，1，2;β3＞1。該方程的漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)均是非線性的，比式(1)更具普遍性。CHENG［10］已經(jīng)證明了式(2)的特例:

解析性質(zhì)，包含解的存在唯一性、有界性、EM 解的收斂性。筆者將在式(3)的基礎(chǔ)上證明式(2)的有關(guān)解析性質(zhì)，包括非負(fù)解的存在唯一性、EM解的收斂性，以及在金融資產(chǎn)定價(jià)中的應(yīng)用，將結(jié)論推向更一般的情形。

1 解的存在唯一性

假設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是一個(gè)完備的概率空間，{Ft}t≥0是一個(gè)流且滿足基本條件，即它是右連續(xù)遞增的且F0包含所有的零測(cè)度集。令w(t)為定義在概率空間上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)?？煽紤]式(2)在滿足初值x(0)＞0 時(shí)t≥0 的情況。為了使式(1)在任意給定的初值條件下有唯一的全局解，方程的系數(shù)需要滿足線性增長(zhǎng)條件和Lipschitz 條件。但是，式(2)的系數(shù)顯然不滿足線性增長(zhǎng)條件，僅滿足局部Lipschitz 條件，可懷疑其解可能在有限的時(shí)刻爆炸。另外，式(2)通常用來描述利率與其他的金融產(chǎn)品，因此很自然地希望其解是非負(fù)的。下面證明式(2)存在非負(fù)的唯一解。

定理1 設(shè)參數(shù)αi＞0，i=－1，0，1，2;βj＞0，j=0，1，2;β3＞1，則對(duì)任意的初始條件x(0)＞0，式(2)在t≥0 時(shí)依概率1 存在非負(fù)的唯一解。

證明 雖然CHENG 只是證明了式(3)，但是其思想還是很重要的，可用該方法完成證明。

由于式(2)的系數(shù)滿足局部Lipschitz 條件，因此對(duì)任意給定的初始條件x(0)＞0，式(2)存在一個(gè)最大局部解x(t)，t∈［0，τe)，其中，τe是停時(shí)，表示首次爆炸時(shí)刻或者零時(shí)。為了證明定理，需要證明τe=∞a.s.對(duì)于充分大的整數(shù)k，定義停時(shí):

顯然V(·)≥0，當(dāng)x→∞或x→0 時(shí)，V(x)→∞。由Ito 公式可得:

由αi＞0，i =－1，0，1，2;βj＞0，j =0，1，2;β3＞1可知，LV 的最高次數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，從而LV 有界，取一個(gè)上界K1。在式(6)兩側(cè)取積分、期望，則對(duì)任意的T ＞0，可有:

很自然地就可以得到關(guān)于解的有界性的一個(gè)簡(jiǎn)單推論如下:

推論 對(duì)任意給定的初始條件x(0)＞0，ε∈(0，1)，T ＞0，存在充分大的整數(shù)k =k(x(0)，ε，T)，使得對(duì)一切0≤t≤T，都有P(1/k ＜x(t)＜k)≥1－ε成立。

2 EM 解的收斂性

雖然式(2)的具體解很難求出，但是可以考慮其數(shù)值解。以下主要研究方程的EM 數(shù)值解。

對(duì)于給定的時(shí)間步長(zhǎng)Δ ∈(0，1)，令X0=x(0)＞0，且:

Xn+1=Xn+f(Xn)Δ+ |g(Xn)|Δwn，n=0，1，2，…

證明 證明分兩步完成:

(1)對(duì)于充分大的整數(shù)k，定義停時(shí)ρk=inf{t∈［0，T］∶X(t)?［1/k，k］}。設(shè)V 如式(5)，由Ito公式，結(jié)合Lipschitz 條件，可有:

其中，ck為與k 有關(guān)的非負(fù)常數(shù)。

對(duì)任意的s∈［0，T∧ρk］，令［s/Δ］為s/Δ 的整數(shù)部分。由式(7)可有:

(2)設(shè)τk為式(4)所定義，令θk=τk∧ρk，則存在正常數(shù)c=c(k，T)使得:

3 金融產(chǎn)品定價(jià)

筆者列舉兩例來說明建立在EM 算法上的收斂性可以廣泛地應(yīng)用在以式(2)為基本模型的金融產(chǎn)品定價(jià)問題上，這就充分說明了基于EM 算法的蒙特卡洛模擬可計(jì)算各類金融產(chǎn)品的預(yù)期收益率。

例1 若歐式期權(quán)在期滿時(shí)刻T 的合約價(jià)格為E，那么在期滿時(shí)的收益為:

定義其近似值為:

應(yīng)用定理2 就可得到:

定義其近似值為:

應(yīng)用定理2 可以得到:

［1］ CHAN K C，KAROLYI G A，LONGSTAFF F A，et al.An empirical comparesion of alternativemodels of the short－term interest rate［J］. Fianance，1992，7(3):1209－1277.

［2］ BLACK F，SCHOLES M.The prices of options and corporate liabilities［J］. Polit Economy，1973，81(6):637－654.

［3］ MERTON R C.Theory of rational option pricingl［J］.Eco Manage Sci，1973(4):141－183.

［4］ COX J C.Notes on option pricing I:constant elasticity of variance diffusion［R］. Stanford:Stanford University，1975.

［5］ VASICEK O.An equilibrium characterization of the term structure［J］.Finan Econ，1977(5):177－188.

［6］ DOTHAN U L. On the term structure of interest rates［J］.Finan Econ，1978(6):59－69.

［7］ BRENNAN M J，SCHWARTZ E S.Analyzing convertible bond［J］.Finan Quant Anal，1980(15):389－403.

［8］ COX J C，INGERSOLL J E，ROSS S A.An analysis of variable rate loan contracts［J］. Finance，1985(35):389－403.

［9］ AIT－SAHALIA Y. Testing continuous－time models of the spot interest rate［J］. Rev Finan Stud，1996，9(2):385－426.

［10］ CHENG S R. Highly nonlinear model in finance and convergence of Monte Carlo simulations［J］.Math Anal Appl，2009(353):531－545.