寧 娣

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

混沌同步在生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)和信息科學(xué)領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景， 自Pecora和Carroll提出了一種混沌同步方法以來[1-3]，混沌同步受到越來越多的關(guān)注，隨之也出現(xiàn)了各種各樣的同步方法，如驅(qū)動響應(yīng)法、變量耦合法、自適應(yīng)法、變量反饋法等[4-6].然而這些方法都是針對完全同步而言，在實際中難以產(chǎn)生兩個完全相同的混沌系統(tǒng)，參數(shù)失配和各種失真總是存在且不可避免.為此，人們提出了“廣義同步”的概念，它比完全同步具有更廣闊的應(yīng)用前景.

廣義同步，即在主從混沌系統(tǒng)之間建立一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系可能已知，也可能未知.一般來說，在函數(shù)關(guān)系已知時，是通過自適應(yīng)控制器的方法設(shè)置控制器主從系統(tǒng)滿足給定的函數(shù)關(guān)系[7,8]，而當(dāng)函數(shù)關(guān)系未知時，則是通過輔助系統(tǒng)的方法[9]來實現(xiàn)同步，即構(gòu)造與受控響應(yīng)系統(tǒng)相同的輔助系統(tǒng)，如下：

1 問題的描述

考慮如下數(shù)學(xué)模型描述的兩個非線性動力系統(tǒng)，分別作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)：

(1)

(2)

其中x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，y=(y1，y2，…，ym)T∈Rm分別為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f∈Rn,g∈Rm分別為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的非線性項，F(xiàn)∈Rn×l,G∈Rm×s為連續(xù)的向量函數(shù)，α∈Rl,β∈Rs為系統(tǒng)的未知參數(shù)向量，u(x,y)為控制器.

為了使系統(tǒng)(1)、(2)達(dá)到廣義同步，在這里借助輔助系統(tǒng)的方法，因此構(gòu)造系統(tǒng)(2)相應(yīng)的輔助系統(tǒng)：

(3)

假設(shè)1(全局Lipschitz條件) 假設(shè)存在一常數(shù)L≥0，使得對于任意的x(t),y(t)∈Rn，有：

‖g(x(t))-g(y(t))‖≤L‖x(t)-y(t)‖,

這里‖·‖是2-范數(shù).

假設(shè)2 假設(shè)存在一常數(shù)L′≥0，使得對于任意的y(t),z(t)∈Rn，有：

‖G(z(t))β*-G(y(t))β*‖≤L′‖z(t)-y(t)‖，

這里β*是一個常數(shù)向量.

定理1 假定假設(shè)1、假設(shè)2成立，且控制器滿足：

u(x,y)=-k(y-x),u(x,z)=-k(z-x),

(4)

以及參數(shù)自適應(yīng)律滿足：

(5)

則驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)達(dá)到廣義同步.

證明定義系統(tǒng)(2)和(3)的誤差為e=z-y，將(3)式減去(2)式，得到誤差系統(tǒng)為：

u(x,y).

令u(x,y)=-k(y-x)，u(x,z)=-k(z-x)，則誤差系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)換為：

(G(z)-G(y))β.

(6)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

由誤差系統(tǒng)(6)，將(4)、(5)式代入可得：

eT(-ke+g(z(t))-g(y(t)))+eT(G(z(t))

-keTe+LeTe+(G(z)β*-G(y)β*)Te≤

-keTe+LeTe+L′eTe.

2 R?ssler系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)廣義同步

在這部分中，我們用R?ssler系統(tǒng)[10]和Chen系統(tǒng)[11]來驗證上述理論的正確性，這里的驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的維數(shù)相同，且兩個系統(tǒng)的參數(shù)均未知.

驅(qū)動系統(tǒng)：

其中α=(a,b,c)T是未知參數(shù).因為R?ssler系統(tǒng)是混沌的，所以狀態(tài)變量xi(i=1,2,3)是有界的，如圖1所示.

圖1 R?ssler吸引子的相圖，系統(tǒng)參數(shù)為a=0.2,b=0.2,c=5.7

響應(yīng)系統(tǒng)：

其中β=(l,m,n)T是未知參數(shù).

輔助系統(tǒng)：

數(shù)值模擬中采用Matlab中的Ode45這個命令，隨機(jī)選擇混沌動力系統(tǒng)的初值，取常數(shù)k=20，r=10.圖2給出了受控響應(yīng)系統(tǒng)和其對應(yīng)的輔助系統(tǒng)的誤差圖，由圖2可知隨著時間的增加，同步誤差迅速趨向于零，即R?ssler系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)達(dá)到廣義同步，這些都說明了該理論的有效性和正確性.

圖2 在系統(tǒng)維數(shù)相同的情況下，受控的響應(yīng)系統(tǒng)與輔助系統(tǒng)的誤差隨時間的演化曲線

3 超R?ssler系統(tǒng)與Chen系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)廣義同步

在這部分中，主要討論的是混沌系統(tǒng)維數(shù)不相同的情況，其中驅(qū)動系統(tǒng)選擇超R?ssler混沌系統(tǒng)[10]，響應(yīng)系統(tǒng)選擇Chen系統(tǒng).因為二者維數(shù)不同，故對Chen系統(tǒng)進(jìn)行擴(kuò)階，即在Chen系統(tǒng)中增加一維，但不改變Chen系統(tǒng)的混沌動力學(xué)行為，其動力學(xué)行為在三維空間中的投影如圖3所示.

圖 3 四維的Chen混沌系統(tǒng)在三維空間(y1,y3,y4)上的投影

驅(qū)動系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

其中α=(a,b,c,d)T是未知參數(shù)向量.

此時受控的響應(yīng)系統(tǒng)可以寫為：

其中β=(l,m,n)T是未知參數(shù)向量.

其對應(yīng)的輔助系統(tǒng)為：

數(shù)值模擬中同樣采用Matlab中的Ode45命令，隨機(jī)選擇混沌動力系統(tǒng)的初值，此時取常數(shù)k=20，r=10.圖4給出了受控響應(yīng)系統(tǒng)和其對應(yīng)的輔助系統(tǒng)的誤差圖，由圖4可知隨著時間的增加，同步誤差迅速趨向于零，即超R?ssler混沌系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)達(dá)到廣義同步，這些都說明了該理論的有效性和正確性.

圖4 在系統(tǒng)維數(shù)不同的情況下，受控的響應(yīng)系統(tǒng)與輔助系統(tǒng)的誤差隨時間的演化曲線

4 結(jié)語

研究參數(shù)未知的混沌系統(tǒng)的廣義同步的文章已經(jīng)很多了，但這些文章主要用自適應(yīng)控制的方法來研究，本文借助構(gòu)造輔助系統(tǒng)的方法研究了參數(shù)未知情況下，混沌系統(tǒng)維數(shù)相同和不相同兩種情況下的異結(jié)構(gòu)廣義同步，利用R?ssler系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、超R?ssler系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，驗證了理論的正確性和有效性.

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