呂海煒, 李映輝, 李中華, 李 亮

（1.西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031；2.中國石油寶雞石油機械有限責任公司，寶雞 721002）

0 引言

物體由軸向運動誘發(fā)產(chǎn)生的橫向振動[1-3]，對系統(tǒng)的振動頻率和穩(wěn)定性有很大影響，而且可能導致運動失穩(wěn)。有研究表明，為了改善鴨式飛機（V-173）的橫向穩(wěn)定性，通常在其垂直尾翼下安裝阻尼夾層板[3]。這是一個典型高速飛行黏彈性阻尼夾層板的例子，其他飛行夾層結構還有例如飛機蒙皮、航天器展開附件、高速飛行導彈外殼等。由軸向運動引起橫向振動并導致失穩(wěn)的問題有廣泛背景，因此對超聲速氣流下黏彈性夾層壁板的顫振進行研究具有重要的工程應用價值。

壁板顫振問題研究始于20世紀50年代，學者們使用不同方法對該問題進行了研究。Dowell[4]對1970年以前學者們在壁板顫振分析中所做的工作進行了全面總結，主要包括使用的結構理論和氣動力理論，同時還詳細分析了上述各種理論的缺點并提出了相應的改進方法；Deman 和Dowell[5]基于二維不可壓縮渦格氣動力理論從理論及實驗上研究了兩端固支兩端自由的二維壁板的極限環(huán)振動和線性顫振邊界；Jinsoo 和Younhyuck[6]使用非定常三維面法研究了機翼的超聲速顫振；Bogdan 等[7]基于von-Karmen 大變形理論和線性活塞理論，使用 有限差分法、Galerkin 法及正交分解法研究了非定常超聲速氣流下壁板的非線性振動；Plaut 等[8]研究了各態(tài)歷經(jīng)靜態(tài)高斯隨機載荷的長彈性板在超聲速氣流下的穩(wěn)定性；Bismarck-Nasr 和Bones[9]使用攝動法得到固支平板的極限環(huán)振動解，研究了結構阻尼對非線性壁板顫振的遲滯影響；Beldica 等[10]作了大量關于黏彈性壁板顫振的研究，主要關注材料的性能和結構的蠕變壽命時間；Kiiko[11]使用B-G 法和平均法研究了黏彈性矩形板的動力穩(wěn)定性及黏性系數(shù)對臨界參數(shù)的影響；Gordnier 和Visbal[12]使用數(shù)值算法研究了非線性壁板顫振的三維黏彈性解；Kyo-Nam 和Woo-Seok[13]基于哈密頓原理及線性活塞理論得到了復合材料壁板的超聲速顫振方程，研究了遲滯和氣動阻尼對顫振的影響；Bolotin 等[14]研究了初始條件對非線性彈性壁板的后臨界行為的影響，主要關注彈性壁板分叉邊界和混沌吸引子；張云峰和劉占生[15]研究了黏彈性材料壁板在超聲速來流作用下顫振時的分叉及混沌等復雜動力學特性；肖艷平等[16]基于Kelvin-voigt 黏彈性本構模型，根據(jù)von-Karmen 大應變-位移關系和一階活塞氣動力理論，建立了二維黏彈性壁板顫振方程，采用數(shù)值方法分析了黏彈性阻尼、面內壓力及壁板幾何尺寸對黏彈性壁板顫振的影響，并研究了黏彈性壁板顫振時的分叉及混沌特性；李映輝 等[17]基于薄板小變形理論和一階氣動力活塞理論建立了三維黏彈性夾層壁板的氣動彈性顫振方程，并用Galerkin 截斷方法研究了系統(tǒng)的不同參數(shù)對顫振特性的影響。

由上可見，研究超聲速氣流下彈性結構和黏彈性結構顫振方面的文獻相當多，但對黏彈性阻尼夾層結構顫振研究較少。鑒于此，本文將研究超聲速氣流下黏彈性阻尼夾層結構的顫振特性。

1 黏彈性夾層板顫振方程

圖1為超聲速氣流下黏彈性夾層板的模型，其幾何尺寸和材料參數(shù)與實際的軸向運動黏彈性夾層板一致，不同的是夾層板上表面有沿x方向的超聲速氣流時，夾層板將會受氣動力作用。

圖1 黏彈性夾層壁板模型Fig.1 Model of the viscoelastic sandwich panel

在文獻[17]中若考慮幾何非線性，即黏彈性夾層板應變εx、εy、γxy與撓度w的關系為：

且超聲速氣流作用下產(chǎn)生的氣動載荷p采用三階活塞理論[18]可表示為

其中：qa=ρ∞V2/2 表示動壓，ρ∞為來流空氣密度；M∞為馬赫數(shù)；V為來流速度；Cit和Cix(i=1, 2, 3)取0或1，就可分別討論氣動力相應子項對壁板氣動彈性穩(wěn)定性的影響。

則可得超聲速氣流下黏彈性夾層壁板顫振的非線性振動方程為

其系數(shù)見文后附錄。

2 Galerkin 離散

對四邊簡支壁板，邊界條件為

設方程(3)的解形式為

其中：φmn(x,y)是滿足邊界條件的試函數(shù)；M、N為 截斷階數(shù)。在四邊簡支條件下通常取

將式(5)代入方程(3)，得系統(tǒng)的殘差R(x,y,t)（詳見文獻[19]）。使用Galerkin 方法，得

2.1 一階非線性分析

2.1.1 一階截斷方程

由文獻[18]可知，由于壁板的兩邊被簡支，又與來流垂直，高階模態(tài)不易被激發(fā)，在y方向的截斷取一階模態(tài)就可以體現(xiàn)此方向上變形的影響，故在垂直來流y方向上，N值取為1。

令M=1，得到一階截斷方程。令x1=q11，x2=，得到二維一階常微分方程組：

其系數(shù)見附錄。

2.1.2 系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性 系統(tǒng)的平衡點為

求得方程(8)有3 個平衡點，分別為：

要使平衡點X2和X3有意義，須滿足即來流速度應滿足

當來流速度超過此速度時，系統(tǒng)發(fā)生靜態(tài)分叉，平衡點的個數(shù)將由1 個變?yōu)? 個。

式(8)的Jacobi 矩陣為

X1=(0,0)處的特征方程為

其中λ1為X1的特征根，求得

λ1=令C22- 4C1= 0，得系統(tǒng)的臨界來流速度為

由C1＞0，C2＞0 可知該平衡點的兩個特征根均具有負實部，所以是穩(wěn)定的。

與討論平衡點X1的計算方法一樣，可計算平衡點X2、X3處Jacobi 矩陣的特征值，從而判斷其穩(wěn)定性。

2.1.3 數(shù)值模擬

超聲速氣流下黏彈性夾層壁板的幾何參數(shù)見表1，材料參數(shù)見表2。氣動力參數(shù)為：馬赫數(shù)M∞=5，比熱比γ=1.4，C1x=C1t=C2x=C2t=C3x=C3t=1。

表1 黏彈性夾層板幾何參數(shù)Tabel 1 Geometrical size of viscoelastic sandwich panel

表2 黏彈性夾層板材料參數(shù)Tabel 2 Materials parameters of viscoelastic sandwich panel

圖2給出了平衡點隨來流速度變化的分叉圖。從圖2中可以看到，當速度小于7571 m/s 時，系統(tǒng)只有一個平衡點X1；當速度大于7571 m/s 時，系統(tǒng)的平衡點個數(shù)由1 個變?yōu)? 個。

圖2 平衡點隨來流速度變化Fig.2 The equilibrium points against the flow speed

圖3為平衡點X1的特征值λ1隨來流速度變化情況。從圖中看到，當來流速度小于27 036 m/s 時，隨著來流速度的增加，特征值λ1的虛部絕對值逐漸減小，實部（始終為負）絕對值逐漸增大，故平衡點X1為穩(wěn)定的焦點；當來流速度大于27 036 m/s時，特征值虛部為0，實部則分為兩支，但數(shù)值均小于0，說明此時平衡點仍然是穩(wěn)定的，只是平衡點類型由穩(wěn)定的焦點變?yōu)榉€(wěn)定的結點。

圖4為平衡點X2的特征值λ2隨來流速度變化情況。從圖中看到，特征值λ2虛部始終為0，且為一正一負，說明平衡點X2為不穩(wěn)定的鞍點。

圖4 特征值λ2 隨來流速度變化Fig.4 The eigenvalue (λ2) against the flow speed

圖5為特征值λ3隨來流速度變化情況。因特征值λ3實部與虛部絕對值相差較大，在圖5中不能完全反映λ3實部的真實走向，故單獨畫出其實部隨來流速度變化圖（圖6）。從圖5和圖6看到，特征值λ3虛部絕對值隨來流速度增大而增大，當來流速度在區(qū)間(7571, 18 161) m/s 中，實部為負數(shù)，平衡點X3為穩(wěn)定的焦點；當來流速度等于18 161 m/s 時，實部等于0，特征值為純虛數(shù)，此時平衡點X3為中心；當來流速度超過18 161m/s，特征值實部變?yōu)檎龜?shù)，并隨來流速度的增大而增大，此時平衡點X3的類型為不穩(wěn)定焦點。

圖5 特征值λ3 隨來流速度變化Fig.5 The eigenvalue (λ3) against the flow speed

圖6 特征值λ3 實部隨來流速度變化Fig.6 The real part of eigenvalue (λ3) against the flow speed

表3給出了關鍵來流速度下平衡點的特征值及其平衡點類型。

表3 關鍵來流速度下平衡點的特征值及其類型Table 3 The eigenvalue at the equilibrium point and its type under typical flow speeds

2.2 二階非線性分析

2.2.1 二階截斷方程

令M=2，得二階截斷方程組。令則有

其中相關系數(shù)C1，C2，．．．，C39見文后附錄。將式(15)寫為矢量形式為=f(x)，x∈R4。

2.2.2 系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分叉的臨界來流速度

由f(x)=0，即可求得系統(tǒng)的平衡點。顯然X0= [0，0，0，0]是系統(tǒng)的平衡點。在X0處的Jacobi矩陣為

由分叉理論，考慮式(16)的特征值可得發(fā)生分叉的邊界曲線方程，則其特征方程為

其中：

由于馬赫數(shù)M∞、來流速度、黏彈性系數(shù)大于0，可知a1＞0，a2＞0，a3＞0，a4＞0。式(18)的Hurwitz行列式為

其中Δ1＞0，Δ2＞0，令Δ3=0，可解出臨界來流速度Vcr。

2.2.3 數(shù)值模擬

2.2.3.1 平衡點的穩(wěn)定性

非零平衡點的穩(wěn)定性也可通過上述方法判斷，因f(x)為高階非線性方程組，無法求其解析解，本文通過數(shù)值方法求其數(shù)值解。所使用的幾何參數(shù)見表1，材料參數(shù)見表2。

圖7給出了在平衡點X0處Δ3隨來流速度變化圖。數(shù)值分析結果表明，隨著來流速度的變化，系統(tǒng)始終只有平衡點X0。可以看到當來流速度為1700 m/s時，Δ3=0。當來流速度未達到臨界來流速度時，Δ3＞0，根據(jù)Hurwitz 定理判斷在此區(qū)間的平衡點X0是穩(wěn)定的焦點；當來流速度為1700 m/s 時，Δ3=0，此時平衡點為穩(wěn)定極限環(huán)；超過臨界速度后Δ3＜0，平衡點變?yōu)椴环€(wěn)定焦點。表4給出了關鍵來流速度 下平衡點X0處Jacobi 矩陣的特征值。

圖7 Δ3 隨來流速度變化Fig.7 Δ3 against the flow speed

表4 關鍵來流速度下平衡點X0 特征值及類型Table 4 The eigenvalue at X0 and its stability under different flow speeds

2.2.3.2 Hopf 分叉圖

圖8給出了二階截斷下系統(tǒng)隨來流速度變化的Hopf 分叉圖，其中圖8(b)為來流速度在[1600, 2000]m/s 區(qū)域的分叉圖。

圖8 二階截斷下系統(tǒng)隨來流速度分叉圖Fig.8 Bifurcation diagram under the second order truncation

2.2.3.3 不同來流速度下系統(tǒng)的時間歷程圖和 相圖

當V＜1700 m/s 時，系統(tǒng)僅有穩(wěn)定的平衡點X0，不論初值大小，最后都趨于此平衡點。圖9、圖10給出了二階截斷下來流速度V＝1500 m/s、1690 m/s，初值取(0.000 01, 0.01, 0.000 01, 0.01)時系統(tǒng)的時間歷程圖和相圖。可以看到系統(tǒng)作衰減運動，說明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

圖9 二階截斷下來流速度V=1500 m/s 時系統(tǒng)時間 歷程圖和相圖 （其中紅色*號表示初始點，綠色+號表示終結點，下同）Fig.9 The time history and phase portrait of the system when V=1500 m/s

圖10 二階截斷下來流速度V=1690 m/s 時系統(tǒng)時間 歷程圖和相圖Fig.10 The time history and phase portrait of the system when V=1690 m/s

當V≥1700 m/s時，平衡點X0變得不穩(wěn)定；但由于發(fā)生Hopf分叉產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)，軌線均趨于穩(wěn)定的極限環(huán)。圖11、圖12分別給出了來流速度V=1700 m/s、2000 m/s，初值為(0.000 01, 0.01, 0.000 01, 0.01)時系統(tǒng)的時間歷程圖，可以看出，當速度大于等于 1700 m/s時，系統(tǒng)作周期運動。

圖11 二階截斷下來流速度V=1700 m/s 時系統(tǒng)時間歷程圖Fig.11 The time history of the system when V=1700 m/s

圖12 二階截斷下來流速度V=2000 m/s 系統(tǒng)時間歷程圖Fig.12 The time history of the system when V=2000 m/s

3 結束語

本文基于von-Karmen 薄板大撓度理論、Kelvin-Voigt 黏彈性本構方程和非線性活塞理論，建立了超聲速黏彈性夾層板顫振非線性方程，并使用Galerkin 方法研究該方程。對非線性系統(tǒng)主要研究了隨著來流速度的變化，系統(tǒng)的平衡點及穩(wěn)定性變化情況，得到如下結論：

1）對于一階截斷，系統(tǒng)在來流速度小于臨界來流速度7571 m/s 時只有一個平衡點，且平衡點類型為穩(wěn)定焦點；當來流速度超過臨界來流速度后，系統(tǒng)的平衡點個數(shù)，由1 個變?yōu)? 個。平衡點X2始終為不穩(wěn)定的鞍點；平衡點X3在來流速度 18 161 m/s 處穩(wěn)定性發(fā)生改變，由穩(wěn)定的焦點變?yōu)椴环€(wěn)定焦點。

2）對于二階截斷，得到系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分叉時的臨界速度為1700 m/s。使用數(shù)值方法研究了黏彈性夾層壁板隨來流速度變化的動力學行為：來流速度在臨界速度前，系統(tǒng)作穩(wěn)定的衰減運動；臨界速度后，系統(tǒng)產(chǎn)生周期運動。

研究表明，對同一系統(tǒng)采用不同的截斷，得到的臨界速度差別相當大。應該說，所取的截斷階數(shù)越高，得到的結果越符合實際。

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附 錄

且