王小娜，韓利戰(zhàn)，顧劍鋒

(上海交通大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院 上海市激光制造與材料改性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

時(shí)效鋁合金因?yàn)槠漭p質(zhì)高強(qiáng)的特點(diǎn)，廣泛地應(yīng)用于航空航天、汽車、船舶等領(lǐng)域，其強(qiáng)化機(jī)理以及性能相關(guān)的研究一直以來備受關(guān)注。時(shí)效鋁合金的高強(qiáng)度主要源于過飽和固溶體基體中析出的彌散分布并對(duì)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)起到阻礙作用的第二相粒子。所以，時(shí)效鋁合金的力學(xué)性能與析出第二相粒子的性質(zhì)、尺寸、析出量、形貌及其分布有密切的關(guān)系。將熱處理過程中合金析出相的微觀組織的演變以及其對(duì)于合金性能的影響定量化、模型化在生產(chǎn)研發(fā)中具有極高的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)于工藝優(yōu)化有一定的指導(dǎo)作用[1?3]。為了更加深入地理解材料強(qiáng)化機(jī)理，優(yōu)化工業(yè)生產(chǎn)中材料熱處理工藝，著重研究鋁合金熱處理?xiàng)l件、微觀組織與性能三者之間的關(guān)系。

綜合大量研究[4?10]，鋁合金的相變過程及力學(xué)性能可以利用不同模型進(jìn)行不同精度的預(yù)測(cè)，從復(fù)雜的數(shù)值解法到相對(duì)簡(jiǎn)單的解析模型。在非等溫時(shí)效中，“內(nèi)部變量法”解析模型只涉及簡(jiǎn)單的熱循環(huán)的數(shù)值積分；“尺寸分區(qū)”數(shù)值模型相對(duì)于解析模型更加復(fù)雜，尤其是將析出序列和不同析出相考慮在內(nèi)時(shí)；蒙特卡洛模型涉及到原子尺度的模擬，相比于前兩種模型更復(fù)雜，但更加精確[4]。

目前，鋁合金時(shí)效的微觀組織演變可通過基于Johnson-Mehl-Avrami-Kolmogorov(JMAK)方程的解析模型得到其析出相形核長(zhǎng)大階段的體積分?jǐn)?shù)[7?9]，也可通過微分形式的內(nèi)變量解析模型得到析出過程中第二相的密度和平均尺寸[6,11]，針對(duì)于第二相的粗化和溶解也有相應(yīng)的經(jīng)典解析模型[5?6,12?13]。非等溫時(shí)效過程中，同時(shí)有多種第二相析出并相互作用時(shí)，數(shù)值模型能夠較準(zhǔn)確地得到析出相的密度、尺寸分布及析出量[4,14?15]。對(duì)于析出相的強(qiáng)化模型，ESMAEILI等[7?9]提出了適用于棒/針/球狀第二相的強(qiáng)化模型，在一定的溫度范圍內(nèi)，可根據(jù)析出相的尺寸和析出體積分?jǐn)?shù)計(jì)算其強(qiáng)化作用。LIU等[1?2]提出盤片狀粒子的強(qiáng)化模型，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出棒/針狀析出相強(qiáng)化模型。DESCHAMPS等[6,11]在粒子尺寸分布符合高斯分布的前提下應(yīng)用 Friedel統(tǒng)計(jì)和 Kocks統(tǒng)計(jì)強(qiáng)化模型預(yù)測(cè)Al-Zn-Mg合金的析出相強(qiáng)化效果，并得到較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)結(jié)果。

本文作者綜述近年來應(yīng)用于鋁合金時(shí)效析出過程的模型，主要包括預(yù)測(cè)等溫與非等溫時(shí)效過程中鋁合金體系內(nèi)第二相尺寸、密度和析出量等微觀組織演變和析出強(qiáng)化作用的模型。模型主要分為解析模型和數(shù)值模型，不同的模型對(duì)應(yīng)的應(yīng)用范圍和條件各不相同，并具有不同的預(yù)測(cè)精度。

1 析出動(dòng)力學(xué)模型

鋁合金相變大多為擴(kuò)散相變，通過熱激活的原子運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)。過飽和固溶體中的第二相析出包含3個(gè)階段：形核、長(zhǎng)大與粗化[5]。形核與長(zhǎng)大為自由能驅(qū)動(dòng)過程，粗化則由界面能驅(qū)動(dòng)。

對(duì)時(shí)效過程中微觀組織演變的定量描述需要針對(duì)上述3個(gè)階段建立合適的數(shù)學(xué)模型。一般情況下，第二相的形核與長(zhǎng)大是同時(shí)進(jìn)行、相互競(jìng)爭(zhēng)的，所以通常將這兩個(gè)階段合在一起研究。本文作者對(duì)相關(guān)研究[1,6,13,15?17]進(jìn)行評(píng)述，主要包括內(nèi)變量解析模型與數(shù)值模型，用于描述等溫與非等溫時(shí)效過程中合金第二相的演變。

1.1 球狀粒子的析出動(dòng)力學(xué)

1.1.1 形核與長(zhǎng)大模型

1)內(nèi)變量析出模型

根據(jù)不同的合金體系和熱處理?xiàng)l件，微觀組織的變化可通過一系列內(nèi)變量進(jìn)行描述，一般問題通過 3個(gè)以內(nèi)的變量即可說明。第二相的析出通常采用析出相的密度、尺寸、體積分?jǐn)?shù)和基體的溶質(zhì)濃度等作為模型內(nèi)變量，這些變量均可通過一定的方法進(jìn)行直接或間接的測(cè)量。理論上在內(nèi)變量解析模型中，一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的組織變化與之前的溫度變化或組織無關(guān)，只取決于當(dāng)前的內(nèi)變量和溫度值，即可用下式表示：

但實(shí)際情況中，模型中往往需要引入一些初始量進(jìn)行修正。鋁合金析出動(dòng)力學(xué)最典型的內(nèi)變量解析模型即為JMAK方程：

其中，n隨著不同的析出相形貌和長(zhǎng)大機(jī)理變化，k隨著形核與長(zhǎng)大速率變化，與溫度相關(guān)，且滿足Arrhenius方程：

ESMAEILI等[8]指出，此處Q值并非第二相的析出激活能，而是第二相析出與擴(kuò)散長(zhǎng)大過程中整體的能量體現(xiàn)，并沒有確定的物理意義。通常在應(yīng)用過程中，假定在第二相轉(zhuǎn)變的不同階段和方程涉及的溫度及時(shí)間范圍內(nèi)，第二相轉(zhuǎn)變機(jī)理不變，即假定n、Q、k0值恒定。但實(shí)際上，它們均隨著溫度變化[7]。若將溫度分為無窮多的小區(qū)間JMAK方程可以應(yīng)用在非等溫?zé)崽幚磉^程中。

基于JMAK方程，對(duì)其參數(shù)進(jìn)行解析，可得到更加精確的模型描述析出動(dòng)力學(xué)，應(yīng)用于多種體系中。GRONG等[16]提出利用第二相的形核率和長(zhǎng)大速率表示等溫時(shí)效過程中的第二相體積分?jǐn)?shù)變化：

該解析模型涵蓋了析出相的形核與長(zhǎng)大階段，能預(yù)測(cè)體積分?jǐn)?shù)演變，數(shù)值解法也已驗(yàn)證了它的有效性。LIU等[18?19]根據(jù)軟碰撞的處理方式，根據(jù)不同形核與長(zhǎng)大機(jī)理對(duì)JMAK方程中的參數(shù)進(jìn)行分析與擬合，用以描述不同析出過程中第二相體積變化。

DESCHAMPS等[11]在研究Al-Zn-Mg合金析出過程時(shí)，使用簡(jiǎn)化差分形式的解析模型描述第二相析出各階段的相密度、平均尺寸等參數(shù)的變化率，得到合金的形核與長(zhǎng)大模型。

在他們的研究工作中，假設(shè)體系為二元體系，第二相為球狀粒子。形核與長(zhǎng)大階段析出相粒子的數(shù)目變化可由形核率給出，而粒子平均半徑的變化則由兩部分組成，一部分源自已存在的核胚長(zhǎng)大，另一部分源自新形成的核胚。

形核率可用下式表示[20]：

此階段粒子平均半徑的變化率為

式(7)右邊的第一項(xiàng)代表已經(jīng)存在粒子的長(zhǎng)大，第二項(xiàng)代表數(shù)目為 dN的新形成核胚。上述模型預(yù)測(cè)了第二相平均尺寸與析出密度，進(jìn)而得到第二相不同溫度下的臨界半徑和體系的溶質(zhì)濃度。

2)數(shù)值模型

非等溫時(shí)效條件下第二相的析出過程相對(duì)復(fù)雜，需要考慮不同析出相的相互作用及析出相粒子的尺寸分布，而上述內(nèi)變量解析模型無法適用于此類情況，故提出了數(shù)值模型。數(shù)值模型中忽略第二相形核對(duì)于粒子平均尺寸的影響，對(duì)粒子尺寸進(jìn)行分區(qū)處理，得到詳細(xì)的粒子尺寸分布。

假設(shè)二元合金體系中只有一種析出相，且忽略形核孕育期，則形核速率N˙可用式(5)表示。若假設(shè)析出相粒子周圍的彈性應(yīng)變場(chǎng)可以忽略不計(jì)，則形核率可表示為[5]

式(8)給出的形核率決定了時(shí)效中析出相按尺寸分區(qū)的數(shù)目。其中，Ce隨著溫度而變化。

根據(jù)Whelan理論[21]，析出相粒子尺寸變化率(v)可用下式表達(dá)：

在粒子長(zhǎng)大、溶解或粗化階段，其尺寸變化均可以用式(9)表示[5,22]。若Cm＜Ci，則粒子溶解；反之，若Cm＞Ci，則粒子長(zhǎng)大。

由式(9)可得，若忽略析出相粒子周圍彈性應(yīng)變場(chǎng)，粒子既不長(zhǎng)大也不溶解的臨界半徑為

此臨界公式既可作為析出相粒子形核階段長(zhǎng)大的臨界半徑，也可作為粒子粗化階段溶解與粗化的臨界半徑。

假設(shè)時(shí)效過程中粒子均為球狀，析出相體積分?jǐn)?shù)可表示為

式中：j表示析出相尺寸區(qū)間序號(hào)，i表示同一區(qū)間中不同尺寸的析出相粒子。

對(duì)于同一種析出相，粒子尺寸的變化可用下式表示：

其中，以r1=ε Δt作為初值[5]。假設(shè)所有的目標(biāo)溶質(zhì)原子最終都會(huì)進(jìn)入析出相，C0(質(zhì)量分?jǐn)?shù))為基體中溶質(zhì)原子的原始濃度，通過溶質(zhì)原子的守恒定律得到基體中平均溶質(zhì)原子濃度Cm：

數(shù)值模型通過將析出相的尺寸進(jìn)行分組的方法，將所有模型應(yīng)用于每一區(qū)間內(nèi)的析出相粒子，得到粒子的密度及其尺寸變化，從而得到析出相粒子的微觀參數(shù)。

1.1.2 溶解模型

WHELAN[21]所提出的第二相粒子尺寸變化模型是第二相溶解模型的基礎(chǔ)。假設(shè)第二相粒子與基體的界面始終保持平衡，溶解過程以擴(kuò)散方式進(jìn)行，且等溫過程中粒子處于無窮大基體中，則當(dāng)?shù)诙嗔Ｗ有蚊矠榍驙顣r(shí)，根據(jù)溶質(zhì)流量守衡，其尺寸變化為

上述模型形式復(fù)雜，無法得到封閉的解析解，需根據(jù)實(shí)際實(shí)驗(yàn)條件作一定簡(jiǎn)化。GRONG等[5]提出，當(dāng)時(shí)效時(shí)間比較長(zhǎng)時(shí)，可忽略過渡部分，而ESMAEILI等[8?9]在研究經(jīng)過自然時(shí)效的AA6111鋁合金GP區(qū)溶解時(shí)也采用了此模型。由于GP區(qū)含有的原子數(shù)相對(duì)較少，在這個(gè)過程中穩(wěn)定區(qū)未建立，故可忽略穩(wěn)定場(chǎng)，可得到第二相尺寸隨著時(shí)間的變化，根據(jù)可得到析出相體積分?jǐn)?shù)隨著時(shí)間的變化[5, 8]。

BJORNEKLETT等[13]研究了Al-Si合金的非等溫時(shí)效，結(jié)果表明經(jīng)簡(jiǎn)化后的溶解模型可應(yīng)用于非等溫時(shí)效，但溫度變化影響粒子周圍的擴(kuò)散場(chǎng)，上述模型無法描述非等溫時(shí)效過程中粒子溶解過程中擴(kuò)散場(chǎng)，但對(duì)于工業(yè)應(yīng)用中的問題提供了一個(gè)極好的近似。

1.1.3 粗化模型

時(shí)效進(jìn)行到一定階段，體系進(jìn)入粗化階段，由于界面能有減小的趨勢(shì)，故析出相出現(xiàn)了“大吃小”的現(xiàn)象，大粒子不斷長(zhǎng)大，小粒子因穩(wěn)定性較低而不斷減小，以提供溶質(zhì)原子給大的粒子。粗化階段粒子既不粗化也不溶解的臨界半徑可用式(10)表示。

根據(jù)LIFSHITZ等[12]和WAGNER等[23]提出的粒子粗化經(jīng)典理論(LSW理論)，假設(shè)在粗化階段粒子周圍的基體中沒有溶質(zhì)濃度的變化，即d/d 0f t= ，則析出相尺寸在過時(shí)效過程隨著時(shí)間的變化為

kc滿足

ESMAEILI等[8]指出過時(shí)效階段若沒有析出相粒子尺寸的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可由強(qiáng)化模型及力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)值反推尺寸，得到相應(yīng)的參數(shù)A和QA。DESCHAMPS等[11]在分析Al-Zn-Mg合金第二相析出動(dòng)力學(xué)時(shí)提出了滿足LSW粗化理論的微分形式，進(jìn)而可通過數(shù)值解法耦合形核長(zhǎng)大和粗化階段來得到微觀組織演變。研究認(rèn)為，當(dāng)粒子的平均半徑遠(yuǎn)大于溶解臨界半徑時(shí)，可視粒子處于純長(zhǎng)大階段。粒子的平均尺寸與溶解臨界半徑都隨著溫度不斷變化，當(dāng)粒子的平均尺寸與臨界半徑相等時(shí)粒子進(jìn)入粗化階段。因此，粒子的尺寸與數(shù)目的變化可表示為

1.1.4 耦合求解算法

上述模型中，析出相的形核長(zhǎng)大與粗化階段分別用不同的模型表述。在實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中，需要預(yù)測(cè)在整個(gè)時(shí)效過程中，析出相的粒子尺寸與體積分?jǐn)?shù)隨時(shí)間和溫度的變化，因此，有研究[11,24]提出將3個(gè)階段耦合的模型與求解方法。

1)粒子尺寸分區(qū)數(shù)值模型

該模型實(shí)際上是對(duì) KAMPMANN等[24]和LANGER等[25]提出的經(jīng)典模型的差分形式。通過對(duì)粒子尺寸進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的離散化，計(jì)算每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)流入與流出各尺寸區(qū)間的粒子數(shù)。

數(shù)值模型包括3部分：形核方程、速率方程和連續(xù)方程。通常假定第二相粒子形狀為球形，每種析出相穩(wěn)定且成分一致[22]。模型將粒子尺寸分為一系列不同的區(qū)間，即[r, r+Δr]，每個(gè)區(qū)間用一個(gè)控制體積表示，每一區(qū)間粒子都有相應(yīng)的單位體積內(nèi)析出相密度N(r)。析出相密度隨著時(shí)效不斷變化，受形核率N˙和粒子長(zhǎng)大或溶解速率的影響(相當(dāng)于粒子離開一個(gè)尺寸區(qū)間，到達(dá)另外一個(gè)尺寸區(qū)間)。形核長(zhǎng)大和粗化模型通過連續(xù)方程耦合，進(jìn)而得到粒子尺寸分布在時(shí)效過程中的演變。

擴(kuò)散型相變數(shù)值模型中的連續(xù)方程為

對(duì)于每個(gè)尺寸區(qū)間，N˙和v的瞬時(shí)值均可通過式(8)和式(9)得出，每一時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的連續(xù)方程可通過三對(duì)角矩陣法進(jìn)行求解[15]。

如果粒子尺寸分布函數(shù)φ是連續(xù)的，則基體中的平均溶質(zhì)原子濃度可以寫為

為了得到在每個(gè)離散格點(diǎn)上的N值，析出相粒子尺寸被分為一系列小的間隔，即，基體溶質(zhì)原子的濃度也可寫為

根據(jù)平均溶質(zhì)濃度，可得到析出相體積分?jǐn)?shù)：

根據(jù)粒子尺寸分布進(jìn)行格點(diǎn)劃分，如圖1所示。

圖1 差分模型中節(jié)點(diǎn)示意圖[17]Fig.1 Grid-point configuration used in finite difference model[17]∶ (a)Definition of interface velocities vw and ve;(b)Number of grid-points within string

每個(gè)區(qū)間的邊界即為w和e兩條實(shí)線所代表的邊界。要得到結(jié)點(diǎn)處的粒子數(shù)N，則需要在控制體積內(nèi)對(duì)連續(xù)守恒方程式(20)進(jìn)行積分，得到邊界速度和基體中的溶質(zhì)原子平均濃度，并設(shè)定模型的邊界條件，如圖1所示。離散方程可通過標(biāo)準(zhǔn)高斯消元方法TDMA(Tridiagonal-matrix algorithm)求解[26]。在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)開始時(shí)，設(shè)為上一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的值，即，在該時(shí)間步長(zhǎng)結(jié)束時(shí)，根據(jù)新的尺寸節(jié)點(diǎn)下速度場(chǎng)進(jìn)行更新。在另一邊界處，沒有粒子存在[17]。根據(jù)上述原理，MYHR等[17]實(shí)現(xiàn)了對(duì)于熱處理過程中合金的微觀組織演變的預(yù)測(cè)與模擬。每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，計(jì)算新的核胚形成和粒子不斷長(zhǎng)大或者消失引起的各尺寸區(qū)間的粒子數(shù)目的變化，即。粒子尺寸分布與基體中的溶質(zhì)濃度需要重新計(jì)算，并以此預(yù)測(cè)下一時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)析出相粒子的尺寸、粒子數(shù)目和析出相分?jǐn)?shù)，如此循環(huán)往復(fù)[27]。

MYHR等[28]提出在鋁合金的熱處理過程中，合金的時(shí)效依賴于溶質(zhì)原子的濃度和相應(yīng)的析出相粒子尺寸分布。所以要想得到微觀組織的演變，就要得到析出過程的相關(guān)信息(如不同的析出相和析出順序)和不同析出相之間的相互作用，包括亞穩(wěn)相的轉(zhuǎn)變。MYHR等[28]將鋁合金中的β′′相和β′相看作平衡相，且具有相似的熱力學(xué)性質(zhì)和固定成分。這種簡(jiǎn)化方法意味著一些工業(yè)材料也可以當(dāng)作二元體系，用同一粒子尺寸分布描述。

上述數(shù)值模型在應(yīng)用時(shí)，通常假設(shè)體系為二元體系，且析出相均為球狀粒子，實(shí)際的工業(yè)應(yīng)用遠(yuǎn)比這復(fù)雜。在應(yīng)用該數(shù)值模型時(shí)，針對(duì)不同體系和析出相，有不同的處理方式：

Ⅰ)對(duì)于多元體系，僅憑借相圖無法準(zhǔn)確得到界面濃度Ci，需根據(jù)體系溶度積的變化求界面濃度：

它與Ci的關(guān)系如下：

其中，q表示析出相中元素種類。通過界面通量平衡方程可得到

Ⅱ)體系中有不同的形核位置，就有不同的析出動(dòng)力學(xué)模型。一般情況下有3種形核形式：均勻形核、以粒子為形核位置的非均勻形核和以位錯(cuò)為形核位置的非均勻形核。3種不同的形核方式在析出動(dòng)力學(xué)上表現(xiàn)為不同的形核驅(qū)動(dòng)力(即ΔGv，異質(zhì)形核中彈性應(yīng)變能ΔGe可忽略)等參數(shù)[15]。

Ⅲ)很多析出相并不是球形的，而是盤片狀或棒狀的。在實(shí)際應(yīng)用中需要考慮長(zhǎng)度與半徑的比值[15]。WANG等[10]對(duì)AA6111鋁合金的析出相進(jìn)行大量組織觀察，并對(duì)析出相粒子的尺寸進(jìn)行定量以后提出，對(duì)于長(zhǎng)條或棒狀的粒子，若假設(shè)析出相的橫截面是圓形的，其等效半徑(re)可以表示為與其橫截面積有關(guān)的表達(dá)式

式中：P為粒子的橫截面積。

2)用數(shù)值方法求解解析模型

DESCHAMPS等[11]在分析Al-Zn-Mg合金的時(shí)效析出時(shí)，分別處理形核與長(zhǎng)大、長(zhǎng)大與粗化兩個(gè)階段，耦合簡(jiǎn)化解析模型，計(jì)算參數(shù)變化率，并利用數(shù)值積分求解。

形核與長(zhǎng)大階段第二相密度與平均尺寸的變化見

式(6)和(7)，在長(zhǎng)大與粗化階段，當(dāng)粒子的平均半徑遠(yuǎn)大于溶解臨界半徑時(shí)，視粒子處于純長(zhǎng)大階段，其尺寸與數(shù)目的變化可表示為

當(dāng)粒子的平均尺寸與臨界半徑相等時(shí)，視作粒子進(jìn)入粗化階段，則粒子的尺寸與數(shù)目的變化可表示為式(18)及(19)。若將長(zhǎng)大階段與粗化階段合并，并定義粗化分?jǐn)?shù)：

則在長(zhǎng)大與粗化階段，粒子尺寸變化率與粒子數(shù)目變化率可表示為

DESCHAMPS等[11]進(jìn)一步提出了這兩個(gè)階段的過渡判斷標(biāo)準(zhǔn)，即當(dāng)粗化導(dǎo)致粒子減少的數(shù)目大于因形核增加的粒子數(shù)目，體系即進(jìn)入長(zhǎng)大與粗化階段。

描述第二相形核與長(zhǎng)大階段組織演變的內(nèi)變量解析模型中，基于JMAK方程的模型只能預(yù)測(cè)時(shí)效過程中析出相的體積分?jǐn)?shù)變化，描述了材料的宏觀反應(yīng)[15]。DESCHAMPS等[11]提出的差分形式的解析模型相比于JMAK方程更好地預(yù)測(cè)了體系的微觀組織參數(shù)，如平均尺寸及粒子數(shù)密度，但此模型應(yīng)用更為煩瑣。

內(nèi)變量解析模型可以較為準(zhǔn)確地描述只涉及一種析出相或一種擴(kuò)散機(jī)理的析出反應(yīng)，但是大部分鋁合金時(shí)效過程中涉及不同的析出相，且不同種析出相之間相互競(jìng)爭(zhēng)。當(dāng)需要析出相粒子完整的尺寸分布信息時(shí)，內(nèi)變量解析模型便不再適用。數(shù)值模型對(duì)經(jīng)典析出模型進(jìn)行差分變換，將析出相粒子尺寸進(jìn)行分區(qū)，通過計(jì)算時(shí)效過程中每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)各尺寸區(qū)間內(nèi)粒子數(shù)目的變化得到析出相尺寸分布，進(jìn)而將形核、長(zhǎng)大與粗化三者耦合起來，有效解決內(nèi)變量解析模型不能應(yīng)用于復(fù)雜體系的問題。數(shù)值模型能夠足夠全面地處理合金的非等溫?zé)崽幚磉^程中的相轉(zhuǎn)變，但另一方面，它需要一系列較為準(zhǔn)確的輸入?yún)?shù)，以及析出相的性質(zhì)和完整的粒子尺寸的初始分布，這也限制了此模型對(duì)于某些特定合金系列的應(yīng)用[17]。

1.2 盤片狀粒子的析出動(dòng)力學(xué)

許多鋁合金時(shí)效時(shí)，析出相往往不是球狀，而是盤片狀或針/棒狀的。盤片狀析出相是在滿足盤(片)面平行于慣習(xí)面的條件下析出的，且形貌具有尺寸上的各向異性，使得其強(qiáng)化模型的確定存在較大的難度。劉剛等[1?3]總結(jié)了以往鋁合金的析出熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型之后，以析出熱力學(xué)、長(zhǎng)大動(dòng)力學(xué)和位錯(cuò)理論為工具，提出了盤片狀和針/棒狀析出相的熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型。

1.2.1 析出熱力學(xué)模型

均勻形核條件下，盤片狀粒子的形核率與球狀粒子相同，可用式(6)表示，但其中參數(shù)有不同的定義。由于τ極小，故其形核率也可簡(jiǎn)化為

1.2.2 析出相長(zhǎng)大動(dòng)力學(xué)模型

盤片析出相有不同的方向和界面，盤片側(cè)面的長(zhǎng)大速率大于共格或半共格盤面的長(zhǎng)大速率。假定在整個(gè)時(shí)效過程中析出相的直徑與厚度比 C為恒定值，r和h為任一析出相形核t時(shí)間后瞬時(shí)尺寸。由于臨界形核尺寸r*和h*比較小，且孕育時(shí)間也可以忽略不計(jì)，則析出相形核t時(shí)間后瞬時(shí)長(zhǎng)大速率可表示為

對(duì)于整個(gè)時(shí)效過程而言，各析出相的形核是以動(dòng)態(tài)的形式進(jìn)行的，即形核有先后之分，所以任一時(shí)刻析出相的平均尺寸會(huì)由于受到即時(shí)形核的新析出相的影響而降低。將尺寸僅為r*和h*的析出相對(duì)平均尺寸的影響考慮在內(nèi)，時(shí)效過程中析出相的平均尺寸變化表達(dá)式為

式中：N為瞬時(shí)析出相密度。相應(yīng)地，析出相所占的體積分?jǐn)?shù)(假設(shè)析出相與基體的摩爾體積相等)為

當(dāng)過剩溶質(zhì)被耗盡時(shí)，析出相的均勻長(zhǎng)大階段結(jié)束。此時(shí)，

1.2.3 盤片狀粒子溶解模型

當(dāng)?shù)诙嗔Ｗ訛楸P片狀時(shí)，若假設(shè)第二相粒子與基體的界面始終保持平衡，且溶解過程以擴(kuò)散方式進(jìn)行，盤片狀粒子處于無限大基體中，由界面處溶質(zhì)平衡可以得到析出相粒子的溶解速率：

經(jīng)積分可得

1.2.4 粗化階段

假設(shè)析出相的長(zhǎng)大與粗化是兩個(gè)不相干的過程，tm時(shí)刻之后，過剩溶質(zhì)已經(jīng)被耗盡，不會(huì)再有新核形成，第二相的體積分?jǐn)?shù)也恒為fm，此時(shí)析出相的進(jìn)一步長(zhǎng)大須以“此消彼長(zhǎng)”的方式實(shí)現(xiàn)，即部分析出相粗化，而另一部分析出相則溶解。劉剛等[1]提出第二相的粗化速率及平均尺寸表達(dá)式仍將沿用式(36)和(37)，即析出相的粗化速率與長(zhǎng)大速率相同。

在粗化階段，第二相的平均尺寸r與密度N之間的相互變化關(guān)系為

即隨著粗化過程中析出相平均尺寸的增大，其粒子數(shù)將減少。

基于上述模型，也有一些研究嘗試了將描述各個(gè)相變階段的模型耦合起來。CAO 等[29]利用PanPrecipitation耦合了3種不同的模型：JMAK模型用于預(yù)測(cè)相變速率，基于 LANGER等[25]理論的Fast-Acting模型用于預(yù)測(cè)析出相粒子數(shù)目及平均尺寸的演變，KWN(KAMPMANN和WAGNER[30]數(shù)值)模型用于預(yù)測(cè)析出相粒子尺寸分布演變。

2 強(qiáng)化模型

合金強(qiáng)度主要來源于幾個(gè)方面，即合金固有強(qiáng)度、固溶強(qiáng)化、析出相強(qiáng)化等。SIMAR等[22]在研究6005-T6鋁合金攪拌摩擦焊后的時(shí)效時(shí)提出，晶粒尺寸對(duì)于合金強(qiáng)度dσ的影響滿足Hall-Petch定律，即

kd為常數(shù)，鋁合金中，kd約為 0.04 MPa·m?1/2。即晶粒相比于固溶原子與析出相強(qiáng)化作用(100～250 MPa)來說很小，幾乎可以忽略。

2.1 析出強(qiáng)化模型

ESMAEILI等[8]研究在 AA6111鋁合金時(shí)效強(qiáng)化時(shí)根據(jù)位錯(cuò)與析出相的相互作用提出強(qiáng)化模型。在一定溫度范圍內(nèi)，合金強(qiáng)度只與析出相尺寸和析出量有關(guān)，其他參數(shù)可視為常數(shù)。SEPEHRBAND等[31]利用AA7030鋁合金的DSC(差示掃描量熱)與IC(等溫量熱)實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合相應(yīng)強(qiáng)化模型中的參數(shù)。

ESMAEILI等[8]提出，析出相的強(qiáng)化作用(pptσ)與幾個(gè)微觀變量相關(guān)，可表示為

式中：F為尺寸為平均半徑的粒子與位錯(cuò)之間的最大相互作用力；l是有阻礙作用的析出相粒子之間的平均距離；S是表示析出相粒子形狀和粒子與基體之間的位向關(guān)系的微觀參數(shù)。假設(shè)在時(shí)效過程中粒子形狀及其與基體的位向關(guān)系均保持不變，則析出相強(qiáng)化只與粒子尺寸和析出量有關(guān)[8]。

析出相強(qiáng)化(preciσ)的基本模型為

2.1.1 針狀/棒狀/板條/盤片狀粒子析出強(qiáng)化模型

ESMAEILI等[8]提出，位錯(cuò)與粒子之間的最大相互作用力決定于強(qiáng)化機(jī)制，當(dāng)粒子被位錯(cuò)切過時(shí)，對(duì)于大多數(shù)析出強(qiáng)化機(jī)制(如共格強(qiáng)化、原子有序排列、層錯(cuò)堆垛等)，位錯(cuò)與析出相間的最大相互作用力與粒子尺寸呈線性關(guān)系，對(duì)少數(shù)析出強(qiáng)化機(jī)制理論也存在非線性關(guān)系。當(dāng)析出相粒子不可被位錯(cuò)切割時(shí)，最大相互作用力為常數(shù)(2T，T為位錯(cuò)的線張力)。

ESMAEILI等[8]研究 AA6111鋁合金時(shí)提出析出相在峰時(shí)效時(shí)仍然可被位錯(cuò)切過，位錯(cuò)與析出相粒子間的相互作用力F符合關(guān)系式：

其中rpeak代表合金峰時(shí)效析出相的橫截面半徑。

一般認(rèn)為，22bGT=′。

SEPEHRBAND等[31]認(rèn)為，粒子平均距離和位錯(cuò)切過析出相粒子的臨界角度有關(guān)。若臨界角度小于120°則認(rèn)為是強(qiáng)粒子；若臨界角度大于120°則為弱粒子。粒子間平均距離還與析出相粒子形狀相關(guān)。ESMAEILI等[8]研究 AA6111鋁合金的時(shí)效析出時(shí)，得出其析出相為針狀、棒狀或板條狀，并沿〉〈100方向排列，根據(jù)析出相的形貌及其與基體的位向關(guān)系，可得粒子間的平均距離，進(jìn)而推導(dǎo)析出強(qiáng)化模型。

對(duì)于欠時(shí)效與峰時(shí)效合金，若粒子為強(qiáng)粒子，析出相的強(qiáng)化作用為

若粒子為弱粒子，析出相的強(qiáng)化作用為

上述模型中，假設(shè)在研究的時(shí)效溫度范圍內(nèi)，fpeak和Fpeak/fpeak基本恒定不變，則C1和C2可視為常數(shù)。ESMAEILI等[8]指出，若一定溫度范圍內(nèi)合金主要析出相不變，則Fpeak/fpeak不變，若不同等溫過程所釋放的總熱量相等，即可保證fpeak不變。

對(duì)于過時(shí)效合金，當(dāng)rpeak≤r≤rc時(shí)，

1)若粒子為強(qiáng)粒子，析出相的強(qiáng)化作用為

2)若粒子為弱粒子，析出相的強(qiáng)化作用為

當(dāng)r≥rc時(shí)，

由過時(shí)效合金強(qiáng)度模型可得，析出相粒子的大小隨著溫度的變化(式(16))影響合金過時(shí)效階段的強(qiáng)度。弱粒子模型只在欠時(shí)效階段考慮，此階段中粒子還處于長(zhǎng)大階段，其尺寸隨時(shí)間變化可表示為

劉剛等[1?2]提出了盤片析出相的強(qiáng)化作用，并將其應(yīng)用至Al-Cu合金的時(shí)效析出過程中。研究假設(shè)盤片析出相在整個(gè)時(shí)效過程中不可變形，則其強(qiáng)化機(jī)制為位錯(cuò)繞過強(qiáng)化。不可變形盤狀析出相強(qiáng)化引起的屈服強(qiáng)度增量與其尺寸、體積分?jǐn)?shù)有關(guān)[32]。

當(dāng)盤狀析出相的慣習(xí)面為{100}時(shí)，

當(dāng)盤狀析出相的慣習(xí)面為{111}時(shí)，

上述模型描述了析出強(qiáng)化作用與析出相微觀組織之間的聯(lián)系，劉剛等[1]在此基礎(chǔ)上得到了屈服強(qiáng)度與時(shí)效工藝的解析關(guān)系式：

當(dāng)r＞rm時(shí)，

根據(jù)r與t和T之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系式，則可得含盤狀析出相鋁合金的時(shí)效工藝-屈服強(qiáng)度增量定量解析表達(dá)式。

劉剛等[1?2]根據(jù)上述所盤片析出相強(qiáng)化模型，提出棒/針狀第二相的析出強(qiáng)化模型。棒/針狀析出相可以簡(jiǎn)化為沿盤面軸向拉長(zhǎng)的變形盤狀析出相，此時(shí)棒/針狀析出相的長(zhǎng)徑比為軸向半長(zhǎng)(L)和側(cè)面半徑(r)之比，即 C=L/r。對(duì)其尺寸參數(shù)作出相應(yīng)調(diào)整后，原盤片狀析出相強(qiáng)化模型即可用于棒/針狀析出相的強(qiáng)化預(yù)測(cè)。

2.1.2 球狀粒子的析出強(qiáng)化模型

SEPEHRBAND等[31]研究AA7030鋁合金的時(shí)效強(qiáng)化時(shí)，應(yīng)用球狀粒子的析出強(qiáng)化模型，與上述ESMAEILI等[8]提出的棒/針狀粒子強(qiáng)化模型相似，只是其粒子間平均距離不同。

假設(shè)析出相球狀粒子規(guī)則排列，當(dāng)析出相為強(qiáng)粒子時(shí)，

當(dāng)析出相為弱粒子時(shí)，

其他假設(shè)不變，得到模型中系數(shù)表達(dá)式與針、棒狀粒子不同。SEPEHRBAND等[31]在應(yīng)用模型時(shí)，沒有考慮不同析出強(qiáng)化機(jī)制對(duì)于位錯(cuò)與析出相的相互作用力的影響，認(rèn)為當(dāng)位錯(cuò)切過析出相粒子時(shí)，相互作用力與第二相粒子尺寸呈線性關(guān)系，當(dāng)位錯(cuò)繞過析出相粒子時(shí)，相互作用力為 T′2 。則析出強(qiáng)化作用只分為強(qiáng)粒子與弱粒子強(qiáng)化兩種情況：

根據(jù)上述模型可知，為預(yù)測(cè)合金的析出強(qiáng)化，需要一個(gè)重要的參數(shù)，即粒子與位錯(cuò)相互作用機(jī)理改變的臨界半徑rc，而此參數(shù)不易獲得。WANG等[10]在研究A6111鋁合金的析出強(qiáng)化時(shí)提出了計(jì)算平均相互作用力的方法，同時(shí)根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合獲得rc，并進(jìn)一步預(yù)測(cè)合金的析出強(qiáng)化作用。

析出強(qiáng)化的基本模型可用式(46)描述，式中 r為針狀粒子的平均等效半徑。假設(shè)體系中只存在一種析出相粒子，根據(jù)長(zhǎng)大定律(式(56))和Avrami方程得到等效粒子半徑和析出量隨著時(shí)間的變化，即可得到粒子平均間距l(xiāng)在等溫時(shí)效過程中隨著時(shí)間的變化[10]。

DESCHAMPS等[6]提出，假設(shè)位錯(cuò)與析出相粒子間相互作用力符合線性關(guān)系，且析出相粒子尺寸符合高斯分布，則位錯(cuò)與析出相粒子之間的平均相互作用力()可以表示為

式中：Δ為析出相粒子半徑分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

得到平均相互作用力，即可得到析出相對(duì)于合金的強(qiáng)化作用，將固溶原子的強(qiáng)化作用和合金本身的強(qiáng)度考慮在內(nèi)，再與合金力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)值比較，即可得到此模型中唯一需要調(diào)整參數(shù)rc的值。他們還提出了驗(yàn)證rc的方法，即當(dāng)析出相粒子的理論強(qiáng)度與位錯(cuò)環(huán)對(duì)粒子的剪切應(yīng)力平衡時(shí)，對(duì)應(yīng)的粒子的半徑為rc。

DESCHAMPS等[11]還提出了基于 Freidel統(tǒng)計(jì)和Kocks統(tǒng)計(jì)的球狀粒子強(qiáng)化模型。兩種統(tǒng)計(jì)方法的不同之處在于粒子間的平均距離。

在Freidel統(tǒng)計(jì)中：

Freidel統(tǒng)計(jì)成立的前提是與位錯(cuò)相交的粒子數(shù)目是恒定的。

在Kocks統(tǒng)計(jì)中：

DESCHAMPS等[11]在研究Al-Zn-Mg合金的強(qiáng)度模型時(shí)，采用了上述兩種平均距離表達(dá)式，同時(shí)假設(shè)粒子尺寸符合高斯分布，位錯(cuò)與析出相粒子間相互作用與粒子尺寸符合線性關(guān)系( T′=0.5Gb2)，則對(duì)于位錯(cuò)與粒子不同的相互作用機(jī)制，可得到兩種不同的析出強(qiáng)化模型：

若位錯(cuò)切過析出相粒子，

若位錯(cuò)繞過析出相粒子，

兩種模型都依賴于析出相平均尺寸與析出分?jǐn)?shù)。MYHR等[14]也用其他析出強(qiáng)化模型驗(yàn)證了上述Freidel統(tǒng)計(jì)和Kocks模型的準(zhǔn)確性。

2.2 固溶強(qiáng)化

固溶原子對(duì)于合金的強(qiáng)化作用可以用下式表示：

在二元體系中，基體中溶質(zhì)原子的濃度與析出相的析出量相關(guān)，根據(jù)這個(gè)理論可得溶質(zhì)原子固溶強(qiáng)化作用：

α表示在合金峰時(shí)效階段，當(dāng)析出分?jǐn)?shù)接近于 1時(shí)，析出相所消耗的溶質(zhì)原子分?jǐn)?shù)。一般情況下近似認(rèn)為α值為1[8]。

2.3 整體強(qiáng)度

鋁合金的強(qiáng)度可通過上述幾種影響合金強(qiáng)度的因素線性疊加表示：

其中：pptσ可能來自于幾種不同的析出相，可用下式表示：

合金硬度(H)與強(qiáng)度的關(guān)系可表示為

3 分析與討論

3.1 模型應(yīng)用

3.1.1 內(nèi)變量解析模型應(yīng)用

DESCHAMPS等[6]利用微分形式的內(nèi)變量解析模型描述析出動(dòng)力學(xué)，計(jì)算時(shí)效過程中析出相的尺寸與析出量，假設(shè)析出相粒子尺寸符合高斯分布，并將此模型與2.1部分提到的Freidel和Kocks強(qiáng)化模型結(jié)合，應(yīng)用于Al-Zn-Mg合金的強(qiáng)度預(yù)測(cè)中。

通過實(shí)驗(yàn)得到時(shí)效過程中析出相尺寸演變與屈服強(qiáng)度變化的數(shù)據(jù)，在對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行校正后，DESCHAMPS等[6]分別研究了在快速與慢速加熱條件下體系微觀組織和機(jī)械性能隨著時(shí)效過程的演變，驗(yàn)證了模型預(yù)測(cè)能力?？焖偌訜嶂?60 ℃進(jìn)行等溫時(shí)效時(shí)，使用上述模型預(yù)測(cè)析出相尺寸及其合金的力學(xué)性能，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，如圖2所示。

圖2 Al-Zn-Mg合金快速加熱至160 ℃時(shí)效模型預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[6, 11]Fig.2 Aging prediction model and experimental data on Al-Zn-Mg alloy for aging at 160 ℃ with fast heating rate[6, 11]∶(a)Comparison of predicted precipitate radius with experimental results by small angle X-ray scattering and TEM;(b)Comparison of microhardness with predicted yield stress

采用硬度法推測(cè)屈服強(qiáng)度，并表明屈服強(qiáng)度值約為硬度值的3倍。假設(shè)η′為主要強(qiáng)化相，結(jié)果表明，整個(gè)時(shí)效過程中，模型準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了第二相尺寸的演變，但力學(xué)性能的預(yù)測(cè)只有在峰時(shí)效附近比較準(zhǔn)確，低估了時(shí)效初期和過時(shí)效階段的力學(xué)性能。DESCHAMPS等[6]認(rèn)為時(shí)效初期的誤差是由于體系中還存在未溶解的GP區(qū)，過時(shí)效階段的誤差可能由于對(duì)于強(qiáng)化模型中的線張力或析出相之間的平均距離描述不準(zhǔn)造成的。

Al-Zn-Mg合金慢速(30 ℃/h)加熱至160 ℃時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖3所示。

圖3 Al-Zn-Mg合金慢速(30 ℃/h)加熱至160 ℃時(shí)效模型預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[6, 11]Fig.3 Aging prediction model and experimental data on Al-Zn-Mg alloy for aging at 160 ℃ with slow heating rate of 30 ℃/h[6, 11]∶ (a)Comparison of predicted precipitate radius with experimental results by small angle X-ray scattering and TEM; (b)Comparison of microhardness with predicted yield stress

結(jié)果表明，慢速加熱過程中，模型可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)整個(gè)時(shí)效過程中析出相尺寸的變化，但是在欠時(shí)效階段嚴(yán)重低估了力學(xué)性能。

內(nèi)變量解析模型形式簡(jiǎn)單，耦合了析出過程中的3個(gè)階段，所用輸入?yún)?shù)較少，強(qiáng)化模型將析出相與位錯(cuò)相互作用力的分布考慮在內(nèi)，在合金沒有變形的情況下能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)時(shí)效過程中體系的組織及力學(xué)性能演變。但當(dāng)兩種析出相(比如 GP區(qū)和η′相)同時(shí)存在時(shí)，模型無法準(zhǔn)確描述GP區(qū)向η′相的轉(zhuǎn)變和力學(xué)性能演變。同時(shí)，描述時(shí)效過程中均勻形核與非均勻形核的競(jìng)爭(zhēng)、不同析出相之間的競(jìng)爭(zhēng)應(yīng)該成為下一步研究的目標(biāo)，對(duì)于非等溫時(shí)效過程中相對(duì)復(fù)雜的問題，可根據(jù)同樣的原理和大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)展更加完善的模型。

3.1.2 數(shù)值模型的應(yīng)用

在合金的攪拌摩擦焊接過程中，熱處理問題比較復(fù)雜，體系中可能存在不同的析出相相互作用，且析出相在一定的溫度條件下可能會(huì)發(fā)會(huì)回溶。GALLAIS等[15]利用粒子尺寸分區(qū)數(shù)值模型研究AA6056鋁合金攪拌摩擦焊接頭不同位置的微觀組織和力學(xué)性能演變。研究中假設(shè)GP區(qū)含量始終不變，結(jié)合攪拌摩擦焊接過程中的熱循環(huán)、材料變形因素和非均勻形核，預(yù)測(cè)體系的析出相尺寸、體積分?jǐn)?shù)以及接頭不同區(qū)域的力學(xué)性能，預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖4所示。

結(jié)果表明，粒子尺寸分區(qū)數(shù)值模型準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了焊接接頭不同位置的微觀組織和力學(xué)性能演變，包括析出過程中均勻析出與非均勻析出的體積分?jǐn)?shù)，有助于理解焊接過程中材料的變化。

粒子尺寸分區(qū)數(shù)值模型有效地將析出相形核長(zhǎng)大與粗化階段耦合起來，給出了粒子尺寸分布，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)非等溫時(shí)效過程中體系的微觀組織與力學(xué)性能變化。但是應(yīng)用數(shù)值模型時(shí)需要輸入大量材料相關(guān)參數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。目前的模型只能預(yù)測(cè)一個(gè)均勻區(qū)域的性能，對(duì)于未來的研究，可著重于將此模型應(yīng)用于整體工件性能的預(yù)測(cè)，從而得到其他力學(xué)性能，如斷裂等。

3.1.3 棒/針狀析出相強(qiáng)化模型應(yīng)用

ESMAEILI等[7?9]將2.1部分提出的針/棒狀析出相強(qiáng)化模型應(yīng)用于經(jīng)固溶處理的AA6111鋁合金的時(shí)效過程中，預(yù)測(cè)其微觀組織和力學(xué)性能。研究分別應(yīng)用強(qiáng)粒子和弱粒子強(qiáng)化模型于固溶 AA6111鋁合金160～220 ℃的等溫時(shí)效，并與DSC和IC實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化得到析出相體積分?jǐn)?shù)變化對(duì)比，所得結(jié)果如圖5和6所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，160～220 ℃范圍內(nèi)的合金時(shí)效可用強(qiáng)粒子模型準(zhǔn)確描述，但弱粒子模型比較適用于低溫時(shí)效和時(shí)效初期，或者GP區(qū)較多的溫度范圍。

此強(qiáng)化模型假設(shè)在一定的溫度范圍內(nèi)其體系的相關(guān)參數(shù)均保持不變，如峰時(shí)效的位錯(cuò)粒子相互作用力及析出量，所以強(qiáng)粒子模型只與析出相的一個(gè)參數(shù)有關(guān)，適用于一定的溫度范圍。弱粒子模型僅適用于低溫時(shí)效或時(shí)效初期。模型應(yīng)用存在許多參數(shù)恒定的假設(shè)，當(dāng)溫度變化較大、參數(shù)改變時(shí)，不再適用。

圖4 T78合金FSW接頭的力學(xué)性能和微觀組織[15]Fig.4 Mechanical properties and microstructure of FSW joint of T78 alloy[15]∶ (a)Hardness; (b)Volume fraction; (c)Mean radius evolution in thermomechanically affected zone (TMAZ)and heat-affected zone (HAZ)

3.2 模型局限性

圖5 利用強(qiáng)粒子強(qiáng)化模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較[8]Fig.5 Comparison of experimental and modeling results for yield strength of solution treated material using strong obstacle assumption[8]∶ (a)Aging at 160 ℃ and 200 ℃; (b)Aging at 180℃ and 220 ℃

圖6 180 ℃等溫時(shí)效強(qiáng)粒子和弱粒子強(qiáng)化模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較[8]Fig.6 Comparison of experimental and modeling results for yield strength during aging at 180 ℃ using both weak and strong obstacle assumptions[8]

1)內(nèi)變量解析模型形式簡(jiǎn)單，在合金沒有變形的情況下能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)時(shí)效過程中體系的組織及力學(xué)性能演變。但當(dāng)多種析出相同時(shí)存在或存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系等類似復(fù)雜問題時(shí)，模型就無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)體系的微觀組織和力學(xué)性能演變，這種現(xiàn)象在非等溫時(shí)效過程中尤為明顯。

2)粒子尺寸分區(qū)數(shù)值模型有效地預(yù)測(cè)非等溫時(shí)效過程中體系的微觀組織與力學(xué)性能變化。但數(shù)值模型在應(yīng)用時(shí)需要輸入大量材料相關(guān)參數(shù)，這些參數(shù)有些需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合，有些來自于參考文獻(xiàn)。同時(shí)，模型的應(yīng)用還需要粒子尺寸分布的相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

3)ESMAEILI等[8]提出的強(qiáng)化模型假設(shè)在一定的溫度范圍內(nèi)其體系的相關(guān)參數(shù)均保持不變，如峰時(shí)效時(shí)位錯(cuò)與粒子之間的相互作用力以及第二相析出量，形式簡(jiǎn)單。弱粒子模型僅適用于低溫時(shí)效或時(shí)效初期。但模型應(yīng)用存在許多參數(shù)恒定的假設(shè)，當(dāng)溫度變化較大、參數(shù)改變時(shí)，不再適用。

3.3 未來研究方向

1)目前許多研究涉及時(shí)效過程中均勻形核與非均勻形核之間競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的模型，同時(shí)非等溫時(shí)效過程中，往往同時(shí)存在不同的析出相，且析出相之間存在競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象，所以描述不同析出相之間競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的模型是下一步研究的目標(biāo)。內(nèi)變量解析模型無法描述析出相之間相互作用此類相對(duì)復(fù)雜的問題，但可根據(jù)同樣的原理和大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)展更加完善的模型。

2)本研究總結(jié)的模型均基于實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行的小試樣研究，建立起微觀組織與性能演變的模型和算法，而對(duì)于實(shí)際的零件時(shí)效過程，不同位置有不同的溫度歷史，必然有不同的微觀組織和性能。結(jié)合有限元數(shù)值分析，可以進(jìn)行大型、復(fù)雜零件時(shí)效過程溫度—組織—性能的耦合模擬，實(shí)現(xiàn)時(shí)效后任意位置的組織與性能預(yù)測(cè)。利用本文論述的理論模型實(shí)現(xiàn)工程應(yīng)用也是重要的發(fā)展方向。

4 總結(jié)

1)歸納了預(yù)測(cè)鋁合金時(shí)效過程中微觀組織演變的內(nèi)變量解析模型和數(shù)值模型，以及實(shí)現(xiàn)形核、長(zhǎng)大和粗化3個(gè)階段耦合模擬的算法，評(píng)述了它們各自的特點(diǎn)。

2)總結(jié)了不同形貌析出相(針/棒/盤片/球狀)的幾種常用強(qiáng)化模型，并比較了它們的優(yōu)缺點(diǎn)、應(yīng)用條件和適用范圍。

3)歸納了目前針對(duì)鋁合金時(shí)效過程中微觀組織和力學(xué)性能演變的不同預(yù)測(cè)模型的局限性，并進(jìn)一步提出未來的可能研究方向。

附錄：

A為常數(shù)

A*為異質(zhì)形核等效激活能相關(guān)的參數(shù)

a為與溶質(zhì)原子的性質(zhì)相關(guān)的常數(shù)

B為盤片半厚度

B0為初始盤片半厚度

b為Burgers矢量

C0為合金初始溶質(zhì)濃度

Cm為基體中的平均溶質(zhì)濃度

Ci為界面濃度

Cp為粒子溶質(zhì)濃度

Ce為粒子與基體界面處溶質(zhì)原子的平衡濃度

C盤片狀析出相直徑與厚度之比

C1、C2、C3、C4、C5分別為擬合參數(shù)

D為擴(kuò)散系數(shù)

d為晶粒尺寸

f為粒子體積分?jǐn)?shù)

f0為初始粒子體積分?jǐn)?shù)

fcoars為粗化體積分?jǐn)?shù)

fm為溶質(zhì)耗盡時(shí)粒子體積分?jǐn)?shù)

fpeak為峰時(shí)效時(shí)粒子體積分?jǐn)?shù)

fr為相對(duì)體積分?jǐn)?shù)

f1為性能預(yù)測(cè)模型中與r、f、F、l和S相關(guān)的函數(shù)

F為粒子與位錯(cuò)的平均相互作用力

Fpeak為峰時(shí)效時(shí)粒子與位錯(cuò)平均作用力

g為參數(shù)

G為基體的剪切模量

H為維氏硬度

h1、h2為S1, S2, …, T的任何函數(shù)

h為盤片粒子厚度

h*為臨界厚度

i為同一尺寸區(qū)間不同粒子編號(hào)

j為析出相尺寸區(qū)間序號(hào)

kc為與溫度相關(guān)系數(shù)

kd為常數(shù)系數(shù)

k為與溫度相關(guān)的速率常數(shù)或波爾茲曼常數(shù)

k0為比例常數(shù)

kg為與粒子長(zhǎng)大相關(guān)系數(shù)

K(r)為半徑為r的粒子溶度積

K∞為平面平衡溶度積

L為阿佛加德羅常數(shù)

l為滑移面上有效的粒子間距

LF為Freidel模型中滑移面上有效平均粒子間距

LK為Kocks模型中滑移面上有效平均粒子間距

M為泰勒因子

m為半徑指數(shù)

N為粒子數(shù)密度

N0為描述形核率N˙的材料系數(shù)

Nm為溶質(zhì)耗盡時(shí)粒子密度

n為時(shí)間指數(shù)

p為無量綱濃度參數(shù)

P為粒子橫截面積

Q為等效激活能

Qd為擴(kuò)散激活能

QA為粗化激活能

q為析出相中元素種類編號(hào)

R為普適氣體常數(shù)

R0為材料與溫度相關(guān)系數(shù)

r*為粒子臨界半徑

rpeak為峰時(shí)效時(shí)的粒子平均半徑

r0為初始粒子半徑

rm為溶質(zhì)耗盡時(shí)粒子尺寸

rc為位錯(cuò)與粒子相互作用機(jī)理改變臨界半徑

rin為位錯(cuò)繞過強(qiáng)化相時(shí)的內(nèi)半徑

r為粒子半徑

requivalent為粒子等效半徑

rp為峰時(shí)效粒子尺寸

S1和S2為任意內(nèi)變量

S為與粒子形狀和其與基體位向關(guān)系相關(guān)的參數(shù)

T為溫度(℃或K)

T′為位錯(cuò)線張力

t為時(shí)間

tp為達(dá)到峰時(shí)效的時(shí)間

tm為溶質(zhì)耗盡所用時(shí)間

Vm為粒子摩爾體積

v為粒子尺寸變化速率

Z為Zeldovich非平衡因子(20/1≈)

α為合金峰時(shí)效階段，析出相所消耗的溶質(zhì)原子分?jǐn)?shù)

τ為滑移面上的剪切應(yīng)力或孕育時(shí)間

β為無量綱長(zhǎng)大常數(shù)

η為參數(shù)，表示析出相只有在尺寸大于形核半徑時(shí)才能有長(zhǎng)大，一般取1.05

ε為長(zhǎng)大速率相關(guān)常數(shù)

γ為粒子與基體界面能

φ為粒子尺寸分布函數(shù)

σd為晶粒尺寸對(duì)強(qiáng)度增加量

Δσ 為屈服強(qiáng)度增量

σ0ss為未經(jīng)時(shí)效處理合金固溶原子對(duì)合金強(qiáng)度的貢獻(xiàn)

σss為固溶強(qiáng)化增量

σppt為析出相強(qiáng)化增量

σ0為合金原始強(qiáng)度

σy為合金屈服強(qiáng)度

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