劉啟能 劉沁

1)(重慶工商大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院,重慶 400067)

2)(重慶工商大學(xué)設(shè)計(jì)藝術(shù)學(xué)院,重慶 400067)

(2012年7月29日收到;2012年9月7日收到修改稿)

1 引言

聲子晶體是繼光子晶體后的另一類人造帶隙材料,利用聲子晶體的密度和彈性常數(shù)在空間的周期性變化,使得聲波在其中傳播時(shí)會(huì)產(chǎn)生帶隙結(jié)構(gòu),出現(xiàn)一些特殊的傳輸性質(zhì).利用這些特殊的傳輸性質(zhì)能夠有效地控制聲波的傳播[1?9],因此聲子晶體成為近年來聲學(xué)前沿領(lǐng)域內(nèi)研究的熱點(diǎn)問題.一維聲子晶體由于結(jié)構(gòu)簡單,同時(shí)也具備其他高維聲子晶體的性質(zhì),因此成為人們研究較多的一類聲子晶體結(jié)構(gòu).

在介質(zhì)中傳播的彈性波分為縱波(又稱P波)和橫波(又稱S波)兩種形式[10].對(duì)于P波因其偏振方向與傳播方向平行而容易確定.對(duì)于S波因其偏振方向與傳播方向垂直而不易確定,因此進(jìn)一步將S波分為SV波(即偏振方向平行于入射面的橫波)和SH波(即偏振方向垂直于入射面的橫波).在文獻(xiàn)[11]中推導(dǎo)出P波和SV波垂直入射一維聲子晶體的轉(zhuǎn)移矩陣,并研究了P波和SV波垂直入射一維聲子晶體的禁帶特征.文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)出了P波和SV波斜入射一維聲子晶體的轉(zhuǎn)移矩陣,并研究了P波和SV波斜入射一維聲子晶體的禁帶特征.文獻(xiàn)[13]利用P波的轉(zhuǎn)移矩陣研究了P波在一維固-液聲子晶體的全反射隧穿效應(yīng),得出了其全反射隧穿效應(yīng)的特征.但是在文獻(xiàn)[11—13]中沒有涉及SH波的相關(guān)問題.對(duì)于SH波這種典型的橫波在一維聲子晶體的轉(zhuǎn)移矩陣及其全反射隧穿效應(yīng)都是一個(gè)值得研究的重要問題.本文將推導(dǎo)SH波在一維固-固無限周期聲子晶體中的轉(zhuǎn)移矩陣,得出SH波在一維固-固無限周期聲子晶體中的色散關(guān)系.并建立一維固-固無限周期聲子晶體的諧振模型,得出SH波在一維固-固無限周期聲子晶體中的全反射隧穿效應(yīng)的波長公式,并對(duì)諧振理論和色散法的結(jié)果進(jìn)行比較研究,解釋SH波產(chǎn)生全反射隧穿效應(yīng)的原因.

2 模型與理論

設(shè)計(jì)這樣一種一維固-固無限周期聲子晶體(AB)N,A層為玻璃(密度為ρ1,厚度為d1),B層為有機(jī)玻璃(密度為ρ2,厚度為d2),N為無限大.玻璃和有機(jī)玻璃的密度、波速分別為ρ1=2230 kg/m3,c1=3430 m/s,ρ2=1180 kg/m3,c2=1120 m/s.設(shè)入射空間的介質(zhì)也是有機(jī)玻璃,即ρ0=ρ2,c0=c2.取中心波長λ0=100 mm,d1=d2=λ0/4.設(shè)歸一化波長Λ=λ/λ0,λ為入射波波長.

SH波在該一維聲子晶體中的轉(zhuǎn)移矩陣由兩個(gè)“基本單元”的轉(zhuǎn)移矩陣組成,即SH波通過界面的轉(zhuǎn)移矩陣和SH波通過同一介質(zhì)層的轉(zhuǎn)移矩陣.兩個(gè)“基本單元”的轉(zhuǎn)移矩陣推導(dǎo)如下.

圖1 界面兩側(cè)的SH波

設(shè)SH波在一維聲子晶體中的xoz平面內(nèi)傳播,如圖1所示.在介質(zhì)i層內(nèi)有沿z軸正方向傳播的SH波和沿z軸負(fù)方向傳播的SH波,它們的位移分別為

其中ω為SH波的圓頻率,k=ω/c為波矢,c為SH波的波速,θ為傳播方向與z軸的夾角.引入二維位移波矢Ui來描述上述兩個(gè)位移波:

位移波矢Ui通過一個(gè)“系統(tǒng)”后轉(zhuǎn)變?yōu)槲灰撇ㄊ窾j,Ui和Uj的耦合關(guān)系可以表示為

Mij稱為“系統(tǒng)”的轉(zhuǎn)移矩陣.對(duì)于SH波其位移始終垂直于xoz平面,只有y分量,即Uy=U,Ux=0,Uz=0,在圖1中用?表示其偏振方向.因此當(dāng)SH波通過介質(zhì)i和介質(zhì) j的界面時(shí),其轉(zhuǎn)移矩陣可以根據(jù)在界面兩側(cè)位移的y分量Uy連續(xù)以及應(yīng)力的y分量σzy連續(xù)推出[14].應(yīng)力σzy滿足

其中μ為拉梅常數(shù),它與波速c和介質(zhì)密度ρ的關(guān)系為

由位移和應(yīng)力的y分量在介質(zhì)i和介質(zhì) j的界面兩側(cè)連續(xù)有下面兩個(gè)方程:

將(5)式整理為二維位移波矢Ui和Uj的矩陣關(guān)系為

令

(6)式表示為

位移波矢在界面處的轉(zhuǎn)移矩陣Mij為

當(dāng)位移波矢通過厚度為di的第i層介質(zhì)時(shí),位相變化為kidicosθi[15],其轉(zhuǎn)移矩陣Gi容易得到:

該一維固-固無限周期聲子晶體一個(gè)基本周期單元的轉(zhuǎn)移矩陣m為

SH波在該一維固-固無限周期聲子晶體的色散關(guān)系為[16]

當(dāng)|cos(K d)|＞1時(shí),K為復(fù)數(shù),布洛赫波為衰減波,SH波出現(xiàn)禁帶.當(dāng)|cos(K d)|≤1時(shí),K為實(shí)數(shù),布洛赫波為非衰減波,SH波出現(xiàn)導(dǎo)帶.其色散函數(shù)

利用(13)式繪出色散函數(shù)F的圖像,在F的圖像中,F＜0對(duì)應(yīng)禁帶,F≥0對(duì)應(yīng)導(dǎo)帶.

3 隧穿效應(yīng)

波從波速小(c0)的介質(zhì)入射到波速大(c1)的介質(zhì)的分界面時(shí)會(huì)發(fā)生全反射現(xiàn)象,當(dāng)SH波從有機(jī)玻璃中入射到該聲子晶體時(shí),其全反射角為θm=arcsin c0/c1=0.333 rad.SH波以大于全反射角入射該一維聲子晶體時(shí)能否出現(xiàn)全反射隧穿現(xiàn)象呢?計(jì)算出SH波以入射角θ0=0.55 rad入射該一維固-固無限周期聲子晶體其色散函數(shù)F隨歸一化波長Λ的響應(yīng)曲線,如圖2所示.由圖2可看出,SH波大于全反射角入射該一維固-固無限周期聲子晶體時(shí)出現(xiàn)了三個(gè)隧穿導(dǎo)帶,三個(gè)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長中心分別在Λ=0.45,0.22,0.14處.這表明SH波也會(huì)產(chǎn)生全反射隧穿效應(yīng),其全反射隧穿效應(yīng)具有以下特征:全反射隧穿效應(yīng)是由多級(jí)導(dǎo)帶組成,歸一化波長最大的隧穿導(dǎo)帶稱為一級(jí)隧穿導(dǎo)帶,隨著歸一化波長的減小分別稱為二級(jí)隧穿導(dǎo)帶、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶、······.

圖2 色散函數(shù)隨歸一化波長響應(yīng)曲線(θ0=0.55 rad)

4 諧振理論

SH波產(chǎn)生全反射隧穿效應(yīng)的原因可以通過建立諧振腔模型給予解釋:一維無限周期聲子晶體由無限多個(gè)如圖3的諧振腔組成,腔內(nèi)介質(zhì)的波速c2小于腔壁介質(zhì)的波速c1.當(dāng)SH波以大于全反射角的角度在腔內(nèi)傳播時(shí)會(huì)在腔內(nèi)往復(fù)地全反射,這時(shí)ρ2層就成為一個(gè)勢(shì)壘很高的勢(shì)井,即形成一個(gè)諧振腔.當(dāng)SH波以大于全反射角入射該聲子晶體時(shí),由于c0＜c1,SH波會(huì)在從ρ0入射到ρ1的界面上發(fā)生全反射,但SH波并不是完全不能進(jìn)入ρ1中,SH波能夠以倏逝波的形式進(jìn)入ρ1約一個(gè)波長的深度[15].而該聲子晶體中ρ1的厚度d1約為0.25個(gè)波長,因此SH波能夠穿過ρ1進(jìn)入ρ2中.滿足下列駐波條件的SH波才能在諧振腔發(fā)生共振而存在:

滿足(14)式波長的SH波會(huì)在諧振腔中產(chǎn)生共振,并且滿足(14)式的SH波在諧振腔內(nèi)相鄰兩次往復(fù)反射所產(chǎn)生的透射波會(huì)發(fā)生相長干涉.因此,這些波長的SH波就能夠穿過高勢(shì)壘產(chǎn)生一維無限周期聲子晶體的全反射隧穿效應(yīng).由(14)式可得全反射隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長滿足的解析公式:

由(15)式可看出當(dāng)介質(zhì)材料一定時(shí),全反射隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長由 j,d2,θ0三個(gè)參量確定.其中自然數(shù)變量 j用來確定全反射隧穿導(dǎo)帶的級(jí)數(shù),稱為隧穿導(dǎo)帶級(jí)數(shù),j=1對(duì)應(yīng)一級(jí)隧穿導(dǎo)帶,j=2對(duì)應(yīng)二級(jí)隧穿導(dǎo)帶,······.由 (15)式看出歸一化波長Λj隨著級(jí)數(shù) j成反比變化.這個(gè)結(jié)論正好對(duì)圖2中由色散法得出的全反射隧穿效應(yīng)的特征給出了滿意的解釋.將d2=λ0/4,θ0=0.55 rad,代入(15)式計(jì)算出一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長分別為Λ1=0.42,Λ2=0.21,Λ3=0.14,這些數(shù)值與圖2中的色散法的結(jié)果符合.(15)式中d2是諧振腔的厚度,θ0是入射角.波在諧振腔中往返一次的波程為2d2cosθ0,即波在諧振腔中往返一次的波程由θ0和d2共同決定.下面進(jìn)一步對(duì)θ0,d2兩個(gè)參量對(duì)全反射隧穿導(dǎo)帶歸一化波長的影響進(jìn)行研究.

圖3 諧振腔模型

4.1 入射角對(duì)波長的影響

固定d2=λ0/4,由(15)式計(jì)算出入射角對(duì)一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長的影響關(guān)系為

由(16)式繪出歸一化波長隨入射角的響應(yīng)曲線,如圖4所示.利用色散法繪出歸一化波長隨入射角的響應(yīng)曲線,如圖5所示.圖5中黑色部分為禁帶區(qū)域,三條白色帶分別為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶.從圖4和圖5中可得:

1)(16)式給出一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長都隨入射角的余弦成正比變化,即歸一化頻率隨入射角的增加而減小,這一個(gè)結(jié)論與色散法的結(jié)果(圖5中的圖像)完全符合;

圖4 波長隨入射角的響應(yīng)曲線(諧振理論)

圖5 波長隨入射角的響應(yīng)曲線(色散法)

2)在θ0=0.6 rad處,由(16)式計(jì)算出一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長分別為Λ1=0.41,Λ2=0.21,Λ3=0.14,而在圖 5中θ0=0.6 rad處一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長中心分別為Λ1=0.46,Λ2=0.22,Λ3=0.14,這表明諧振理論的結(jié)果與色散法的結(jié)果也符合較好.

4.2 腔厚度對(duì)波長的影響

為了研究方便,令d2=Xλ0,X為無量綱的參變量,腔厚度的變化通過X的變化實(shí)現(xiàn).由(15)式得出腔厚度對(duì)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長的影響關(guān)系為

由(17)式計(jì)算出SH波以θ0=0.42 rad入射時(shí)其一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長為

由(18)式繪出歸一化波長隨腔厚度的響應(yīng)曲線,如圖6所示.由色散法計(jì)算出歸一化波長隨腔厚度的響應(yīng)曲線,如圖7所示.圖7中黑色部分為禁帶區(qū)域,三條白色帶分別為一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶.從圖6和圖7可得:

圖6 波長隨腔厚度的響應(yīng)曲線(諧振理論)

圖7 波長隨腔厚度的響應(yīng)曲線(色散法)

1)(18)式給出一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長都隨腔厚度成正比變化,這一結(jié)論與色散法的結(jié)果(圖7中的圖像)完全符合;

2)由(18)式計(jì)算出一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶在X=0.3處其歸一化波長分別為Λ1=0.55,Λ2=0.27,Λ3=0.18,而圖7圖像中在三處一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶的歸一化波長中心分別為Λ1=0.8,Λ2=0.28,Λ3=0.19,除一級(jí)隧穿導(dǎo)帶諧振理論的結(jié)果與色散法的結(jié)果有一定差別外,二級(jí)、三級(jí)隧穿導(dǎo)帶兩種方法的結(jié)果符合得很好.

從前面諧振理論和色散法的比較結(jié)果中可以看出,盡管兩者整體上是一致的,但是也存在一定的差別.其主要差別是:諧振理論給出的是隧穿導(dǎo)帶的波長中心的解析變化規(guī)律,由它繪出的圖像只能反映隧穿導(dǎo)帶的波長中心的變化曲線.而色散法繪出的圖像是隧穿導(dǎo)帶的波長變化圖像,它不僅反映出隧穿導(dǎo)帶的波長中心的變化規(guī)律,而且還能夠反映出隧穿導(dǎo)帶的波長寬度的變化規(guī)律.產(chǎn)生這種差別的主要原因是:諧振理論是以一個(gè)諧振腔為研究對(duì)象得出的結(jié)果,而色散法是以無限多個(gè)諧振腔為研究對(duì)象得出的結(jié)果.這樣就出現(xiàn)了兩種方法結(jié)果上的一些差別.

5 結(jié)論

利用邊界條件推導(dǎo)出SH波在一維固-固聲子晶體中的轉(zhuǎn)移矩陣,得出一維固-固無限周期聲子晶體中SH波的色散關(guān)系.通過建立一維固-固無限周期聲子晶體的諧振腔模型,利用共振條件推導(dǎo)出一維固-固無限周期聲子晶體全反射隧穿導(dǎo)帶的波長滿足的解析公式,利用波長的解析公式對(duì)全反射隧穿導(dǎo)帶的波長隨導(dǎo)帶級(jí)數(shù)、入射角和腔厚度的變化規(guī)律進(jìn)行了研究,圓滿地解釋了一維無限周期聲子晶體的全反射隧穿效應(yīng)的變化規(guī)律.從理論上解釋了一維固-固無限周期聲子晶體中SH波的全反射隧穿效應(yīng)產(chǎn)生的原因.并與色散法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較,結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩種方法得出的結(jié)論是符合的.這種符合表明本文推導(dǎo)出的SH波的轉(zhuǎn)移矩陣、色散關(guān)系以及諧振理論都是正確的.

[1]Pi G L,Zhen Y 2001 Phys.Rev.E 63 066611

[2]Jesen J S 2003 J.Sound Vib.266 1053

[3]Wang G,Yu D L,Wen JH 2004 Phys.Lett.A 327 512

[4]Mar T H 2004 Appl.Phys.Lett.84 3364

[5]Hou Z L,Fu X J,Liu Y Y 2005 Phys.Rev.B 71 024304

[6]Benchabanel S,Khelifl A,Choujaul A 2006 Europhys.Lett.72 570

[7]Wen JH,Wang G,Liu Y H 2004 Acta Phys.Sin.53 3384(in Chinese)[溫激鴻,王剛,劉耀宗2004物理學(xué)報(bào)53 3384]

[8]Liu Q N 2011 Acta Phys.Sin.60 1934(in Chinese)[劉啟能2011物理學(xué)報(bào)60 1934]

[9]Liu Q N 2011 Acta Phys.Sin.60 044302(in Chinese)[劉啟能2011物理學(xué)報(bào)60 044302]

[10]Wen X S,Wen J H,Yu D L 2009 Phononic Crystal(National Defense Industry Press)p25(in Chinese)[溫熙森,溫激鴻,郁殿龍2009聲子晶體(國防工業(yè)出版社)第25頁]

[11]Liu Q N 2008 J.Synthetic Crys.37 179(in Chinese)[劉啟能2008人工晶體學(xué)報(bào)37 179]

[12]Liu Q N 2009 Chin.J.Appl.Mech.26 164(in Chinese)[劉啟能2009應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)26 164]

[13]Liu Q N 2012 J.Vibration Shock 31 173(in Chinese)[劉啟能2012振動(dòng)與沖擊31 173]

[14]]Luo S 2004 Ultrasonic Waves in Solid Media(Beijing:Science Press)p43(in Chinese)[羅斯2004固體中的超聲波(北京:科學(xué)出版社)第43頁]

[15]Ji J R 2007 Higher Optical Directory(Beijing:Science Press)p74(in Chinese)[季家镕2007高等光學(xué)教程(北京:科學(xué)出版社)第74頁]

[16]Liu Q N 2009 J.Synthetic Crys.38 112(in Chinese)[劉啟能2009人工晶體學(xué)報(bào)38 112]