歐陽世根

(華南師范大學,廣東省微納光子功能材料與器件重點實驗室,廣州 510631)

(2012年7月12日收到;2012年9月18日收到修改稿)

1 引言

在自散焦的非線性材料中可形成光學渦旋孤子.光學渦旋孤子具有均勻的背景光強,并且具有一個相位奇點,在該相位奇點處的光強為零,繞相位奇點一圈相位增加2π的整數倍(該整數倍數稱為渦旋孤子的拓撲荷,相應于臺風的螺旋度[1]).渦旋光孤子已在多種光學非線性材料中觀察到,包括Kerr非線性材料[2]、光折變晶體[3,4]和飽和非線性材料[5,6].對渦旋光孤子的穩(wěn)定性的研究在實際應用中具有重要的現實意義[3,6?13].在體材料中,一維暗孤子由于自身具有的橫向調制不穩(wěn)定性而演變出一系列的二維渦旋光孤子[7,8,11].拓撲荷|m|＞1的渦旋孤子具有拓撲不穩(wěn)定性,在擾動的作用下會裂變?yōu)閨m|個具有單拓撲荷的渦旋孤子,以保證裂變過程中總的拓撲荷守恒[3,9].然而,在擾動很小的情況下,這些裂變的產物會聚集在一個很小的距離內以至于無法把它們區(qū)分開來,在這種情況下,這些分裂的渦旋仍被認為組成一個拓撲荷為|m|＞1的渦旋孤子,因此,拓撲荷大于1的渦旋孤子被認為是準穩(wěn)定的(metastable)[10].實驗上,在各向同性的介質中,已觀測到拓撲荷|m|=1的同號/異號渦旋孤子間的相互繞轉/湮滅[9,14].理論表明,當渦旋孤子間的距離遠大于孤子的尺度時,渦旋間的相互作用可通過點渦旋模型很好地描述[15,16].但在各向異性的材料中,渦旋孤子的相互作用會呈現出新的特點,例如,在光折變晶體中,從|m|＞1的渦旋孤子中裂變出來的渦旋會相互排斥,沿著與晶軸垂直的方向排成一列[3].

本文通過數值模擬的方法研究非局域非線性對渦旋光孤子在自散焦材料中的傳輸和相互作用特性的影響.研究表明,隨著材料非局域特征響應長度的增大,渦旋孤子的半徑也隨之增大.與局域材料中的情況類似,在非局域材料中|m|＞1的渦旋孤子具有拓撲不穩(wěn)定性,在存在擾動的情況下會分裂成|m|個具有單拓撲荷的渦旋孤子.|m|=1的單拓撲荷渦旋孤子在非局域非線性材料中是穩(wěn)定的.這里,非局域性并沒有使渦旋孤子的傳播特性發(fā)生質的改變.當孤子間的距離遠大于孤子的半徑時,渦旋孤子間的相互作用仍可通過點渦旋模型很好地描述,這時渦旋的相互作用模式完全由空間的相位分布決定.只有當兩渦旋處在光誘導非線性折射率存在顯著變化的區(qū)域內,非局域非線性才會影響渦旋間的相互作用.

2 自散焦非局域材料中的渦旋孤子

考慮一連續(xù)單色光束E(X,Y,Z)=U(X,Y,Z)×exp(i kZ),這里X,Y,Z為實驗室坐標系,Z軸為光束的傳播方向,k=2πn0/λ0,其中n0為材料的線性折射率,λ0為真空中的波長,U為光束電場的慢變包絡.由時諧亥姆霍茲方程,在旁軸近似下,可獲得該慢變包絡的演化方程

這里?N為光誘導非線性折射率,依賴于空間中的光強,并且|?N|?n0.引入特征長度l0和特征電場強度E0,做無量綱代換x=X/l0,y=Y/l0,z=Z/(kl),u=U/E0,n=k2l?N/n0,那么上述傳輸方程變?yōu)橄旅娴?1+2)維無量綱非線性薛定諤方程

容易證明,在下面的尺度變換下:

方程(1)的形式保持不變,這里α為任意的正實數.這表明,我們只需研究背景光強為|u(±∞,z)|2=1的渦旋孤子就足夠了,因為具有其他背景光強的渦旋孤子可通過上述尺度變換而獲得.因此下文中,我們總是假定|u(±∞,z)|2=1.在柱坐標下,方程(1)的渦旋孤子解具有下面的形式[5,10,15]

這里?為方位角,r=|r|為橫向矢徑的長度,非零整數 m= ±1,±2,···,為渦旋孤子的拓撲荷,實函數ψm(r)為渦旋孤子的包絡.作為渦旋孤子解,我們要求ψm(0)=0以及當r→∞時,有ψm(r)→1.下文中,我們假設渦旋光束在自散焦材料中誘導出的非線性折射率n由下式描述[17,18]

該方程可表達成卷積的形式

這里K0(x)為第二類修正貝塞爾函數,w為材料的特征非局域響應長度.把(4)式代入(1)式和(5)式,可得

圖1 渦旋孤子解 虛線為局域(w=0)孤子解,實線為非局域(w=5)孤子解,從左到右,拓撲荷依次為m=1,2,3,4

在求出非局域渦旋孤子解的基礎上,可以通過數值模擬來研究它們的傳輸特性.由圖2(a)可以看出,當非局域長度w=5時,拓撲荷m=1的渦旋孤子在z=100的傳播距離內沒有可觀察的變化.圖2(b)和(c)分別是初始半徑為渦旋孤子半徑的0.5倍和2倍的渦旋光束的演化,可以看出,這兩束初始偏離孤子形狀的渦旋光束可通過向外輻射光能的方式不斷地調整自己的形狀,并很快地演化成渦旋孤子的形式.這表明拓撲荷m=1的渦旋孤子是穩(wěn)定的.

圖2 渦旋光束在x-o-z平面內的光強分布 (a)渦旋孤子光束;(b)初始半徑為0.5倍孤子半徑的渦旋光束;(c)初始半徑為2倍孤子半徑的渦旋光束;這里非局域長度為w=5

圖3 相距d=10的m=1的兩非局域渦旋(w=5)間的相互繞轉 上圖為在z=0,38.8,77.8的傳輸距離處的x-o-y平面上的光強分布;下圖為相應的相位分布,其中的點狀結構為相位奇點

文獻[15,16]指出,當渦旋孤子間的距離遠大于孤子半徑時,這些渦旋孤子可被看成沒有結構的點渦旋,這時它們間的相互作用主要由空間中的相位分布決定,并可通過點渦旋模型進行描述.根據點渦旋模型,若在均勻背景光場中存在k個渦旋孤子,它們間的距離都遠大于它們的渦旋半徑,那么在點 ri(i=1,2,3,···,k)處的拓撲荷為 mi的渦旋孤子相對于背景運動的線速度

由下式描述

特別地,當空間中只有兩個渦旋時,它們的線速度分別為 v1=m2ez×(r1?r2)/d2和v2=m1ez×(r2?r1)/d2,其中 d=|r2?r1|為這兩渦旋間的距離.由此可以算出,當m1+m2?=0時,這兩渦旋會繞著它們連線上的一定點做勻速圓周運動,角速度ω=2π/T=|m1+m2|/d2,即|m1+m2|T/(2πd2)=1,其中T為圓周運動的周期,兩渦旋圓周運動的半徑分別為a1=|m2|d/|m1+m2|和 a2=|m1|d/|m1+m2|;當 m1+m2=0,即 m1=?m2時,兩渦旋以速度v=|m1|/d做勻速直線同向運動,運動方向垂直于它們的連線.我們通過數值模擬的方法研究非局域渦旋孤子間的相互作用.圖3為相距d=10的拓撲荷均為m=1的兩個渦旋間的相互繞轉,它們繞轉的角速度是均勻的,與傳輸距離無關;它們間的距離在相互作用的過程中也保持不變,因此它們的運動為勻速圓周運動.由圖3可以測算出渦旋繞轉的周期T≈77.8×4=311.2.由于圓周運動的線速度等于圓周運動的半徑d/2與角速度ω=2π/T的乘積,因此有v=dπ/T=10×3.14/311.2=0.1009.另一方面,由點渦旋模型(9)式,可以算出渦旋圓周運動的線速度為v=1/d=1/10=0.1,與數值模擬測算的結果一致.因此在這種情況下,渦旋間的相互作用可通過點渦旋模型很好地描述.

對于上述m=1的兩渦旋相互繞轉的例子,在點渦旋模型下,渦旋間相互繞轉的圓周運動周期和它們間的距離存在下面的簡單關系T/(d2π)=1.由圖4可以看出,無論對于局域渦旋孤子(w=0)還是非局域渦旋孤子(w=5),隨著兩渦旋孤子間的距離d不斷增大,比值T/(d2π)都趨向等于1,因此點渦旋模型在渦旋間距離遠大于渦旋半徑的情況下都是適用的,與非線性的具體形式無關.由圖4還可以看出,當渦旋間的距離小于或接近于渦旋半徑時,渦旋間的相互作用就會明顯地偏離點渦旋模型,它們會感受到非線性折射率分布的影響.事實上,當距離d比較小時,渦旋圓周運動的周期T會大于d2π,而且d越小,偏離越明顯;在相同距離d下,圓周運動的周期T隨著材料的特征非局域響應長度w的增大而增大.

圖4 拓撲荷m=1的兩渦旋相互繞轉的周期T與它們間的距離d之間的關系 三角形數據點為非局域情況w=5;正方形數據點為局域情況w=0

圖5 相距d=10,拓撲荷分別為m=?1和m=1的兩非局域渦旋(w=5)間的相互作用

圖6 初始距離為d=5,拓撲荷分別為m=?1和m=2的兩非局域渦旋(w=5)間的相互作用

圖5 為相距d=10的拓撲荷分別為m=?1和m=1的兩渦旋間的相互作用.根據點渦旋模型[15,16]或(9)式,對于相距甚遠的帶有相反拓撲荷的兩渦旋,它們運動的速度大小相等,方向相同,均垂直于它們的連線,所以它們間不存在相對運動,它們不可能相互靠近而發(fā)生湮滅.由圖5可以測算出它們的共動速度為v=?y/?z=10/100=0.1,與點渦旋模型預言的速度v=1/d=1/10=0.1一致.因此,如果沒有其他外部的作用,對于相距甚遠的帶有相反拓撲荷的兩渦旋孤子,僅靠它們間的相互作用是不可能導致渦旋間相互靠近和湮滅的.但如果帶有相反拓撲荷的兩渦旋間的距離很小,它們可通過非線性效應改變其周邊空間的折射率分布而導致它們相互靠近從而相互湮滅,在這短距離下,點渦旋模型不再適用(通過數值模擬,也可以觀察到近距離下帶有相反拓撲荷的兩渦旋間的湮滅,參看下文).

拓撲荷|m|＞1的渦旋孤子具有拓撲不穩(wěn)定性[3,9],微小的擾動都足以使這些渦旋分裂成一群單拓撲荷的渦旋,但如果擾動較小,這些分裂出來的單拓撲荷渦旋彼此將非?？拷灾劣诤茈y把它們一一分辨,這種情況下,實驗上還是認為它們組成一個|m|＞1的渦旋.另一方面,線性衍射效應也會對拓撲不穩(wěn)定性起到推波助瀾的作用,使初始為橢圓形的|m|＞1的渦旋發(fā)生分裂[3].本文中,我們發(fā)現,渦旋間的近距離相互作用也會引起|m|＞1的渦旋的分裂.當兩渦旋距離比較近時,它們之間的折射率將會由于非局域非線性效應而引起變化,使得渦旋周邊的折射率偏離圓對稱,這種不對稱的折射率分布就會導致|m|＞1的渦旋分裂.圖6為拓撲荷分別為m=?1和m=2的兩渦旋間的近距離相互作用.可以看出m=2的渦旋很快分裂成兩個單拓撲荷渦旋.從m=2的渦旋中分裂出來的其中一個單拓撲荷渦旋與原來的m=?1的渦旋相互靠近湮滅,留下了一個移動的暗條紋,該暗條紋在移動的過程中不斷向外輻射光能而漸漸消失,最后留下從原來的m=2的渦旋中分裂出來的另一個單拓撲荷渦旋.由此可見,渦旋間的湮滅不是直接發(fā)生在m=?1和m=2的渦旋之間的,而是m=2的渦旋首先分裂成兩個單拓撲荷渦旋,后者中的一個與m=?1的渦旋相互湮滅.因此,實際上不存在拓撲荷大于1的渦旋間的相互湮滅,所有湮滅都是發(fā)生在|m|=1的渦旋之間.

3 結論

本文通過數值模擬的方法研究了非局域渦旋光孤子在自散焦材料中的傳輸和相互作用特性.研究表明,渦旋孤子的半徑隨著材料非局域特征響應長度的增大而增大.無論是局域渦旋還是非局域渦旋,|m|＞1的渦旋孤子都具有拓撲不穩(wěn)定性,而|m|=1的渦旋孤子都是穩(wěn)定的.當渦旋間的距離遠大于渦旋半徑時,點渦旋模型能很好地描述非局域渦旋孤子間的相互作用.非局域渦旋和局域渦旋具有相同的長距離相互作用模式.但在短距離相互作用中,非局域渦旋間的相互繞轉的周期隨材料非局域特征響應長度的增大而增大.短距離的相互作用也會導致|m|＞1的渦旋孤子分裂為一群單拓撲荷的渦旋.

[1]Zhao S N,Xiong X Y,Zhu J 1996 Acta Phys.Sin.45 1817(in Chinese)[趙松年,熊小蕓,朱江1996物理學報45 1817]

[2]Swartzlander G A,Law C T 1992 Phys.Rev.Lett.69 2503

[3]Mamaev A V,Saffman M,Zozulya A A 1997 Phys.Rev.Lett.78 2108

[4]Lu Y,Liu S M,Wang D Y 2002 Acta Phys.Sin.51 1300(in Chinese)[陸猗,劉思敏,汪大云2002物理學報51 1300]

[5]Dreischuh A,Paulus G G,Zacher F,Grasbon F,Walther H 1999 Phys.Rev.E 60 6111

[6]Dreischuh A,Paulus G G,Zacher F,Grasbon F,Neshev D,Walther H 1999 Phys.Rev.E 60 7815

[7]Law C T,Swartzlander G A 1993 Opt.Lett.18 586

[8]Sakaguchi H,Higashiuchi T 2006 Phys.Lett.A 359 647

[9]Basistiy I V,Bazhenov V Y,Soskin M S,Vasnetsov M V 1993 Opt.Commun.103 422

[10]Aranson I,Steinberg V 1996 Phys.Rev.B 53 75

[11]Pelinovsky D E,Stepanyants Y A,Kivshar Y S 1995 Phys.Rev.E 51 5016

[12]Kuznetsov E A,Rasmussen J J 1995 Phys.Rev.E 51 4479

[13]Velchev I,Dreischuh A,Neshev D,Dinev S 1997 Opt.Commun.140 77

[14]Luther-Davies B,Powles R,Tikhonenko V 1994 Opt.Lett.19 1816

[15]Neu JC 1990 Physica D 43 385

[16]Lund F 1991 Phys.Lett.A 159 245

[17]Ouyang S G,Guo Q 2009 Opt.Express 17 5170

[18]Ouyang S G,Hu W,Guo Q 2012 Chin.Phys.B 21 040505

[19]Zhou L H,Gao X H,Yang Z J,Lu D Q,Guo Q,Cao WW,Hu W 2011 Acta Phys.Sin.60 044208(in Chinese)[周羅紅,高星輝,楊振軍,陸大全,郭旗,曹偉文,胡巍2011物理學報60 044208]

[20]Yang Z J,Zhou L H,Zheng Y Z,Lu D Q,Hu W,Gao X H 2011 Acta Phys.Sin.60 084213(in Chinese)[楊振軍,周羅紅,鄭一周,陸大全,胡巍,高星輝2011物理學報60 084213]

[21]Snyder A W,Poladian L,Mitchell D J 1992 Opt.Lett.17 789

[22]Baluschev S,Dreischuh A,Velchev I,Dinev S,Marazov O 1995 Phys.Rev.E 52 5517

[23]Ablowitz M J,Musslimani Z H 2005 Opt.Lett.30 2140

[24]Petviashvili V I 1976 Fiz.Plazmy 2 469

[25]Petviashvili V I 1976 Sov.J.Plasma Phys.2 257

[26]Zozulya A A,Anderson D Z,Mamaev A V,Saffman M 1998 Phys.Rev.A 57 522