石蘭芳 莫嘉琪

1)(南京信息工程大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,南京 210044)

2)(安徽師范大學數(shù)學系,蕪湖 241000)

(2012年9月6日收到;2012年9月21日收到修改稿)

1 引言

近年來,轉(zhuǎn)動相對Birkhoff系統(tǒng)動力學理論有了一些新的發(fā)展[1,2].例如文獻[3,4]利用相對性原理,建立了彈性轉(zhuǎn)軸任意兩個橫截面間的相對轉(zhuǎn)動的動力學模型.相對轉(zhuǎn)動非線性動力系統(tǒng)是具有復雜的動力學行為.文獻[5]研究了一類相對轉(zhuǎn)動非線性動力學系統(tǒng)的混沌運動表現(xiàn).文獻[6]針對一類非線性阻尼和強迫周期力項的相對轉(zhuǎn)動非線性動力學系統(tǒng),并用Yoshizawa非線性系統(tǒng)周期解的理論,證明了系統(tǒng)解存在惟一性和有界性,得到了自治系統(tǒng)存在極限環(huán)及穩(wěn)定性的條件,并研究了其精確解.

非線性問題是數(shù)學物理界十分重視的一個問題[7].近年來,許多學者做了大量的工作[8?10],許多近似方法被發(fā)展,包括匹配法、合成展開法、邊界層法、多重尺度法等.文獻[11—21]利用漸近理論研究了一類非線性問題.本文討論一類相對轉(zhuǎn)動非線性擾動動力學的模型,利用變分原理,構(gòu)造了廣義變分迭代式來求出任意次精度的近似解.

2 相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)動力學模型

考慮如下一類彈性轉(zhuǎn)軸任意兩端間的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性擾動動力學模型[5,6]:

其中x=θ2?θ1為相對轉(zhuǎn)角,θ1θ2分別為彈性轉(zhuǎn)軸兩端面的轉(zhuǎn)角;g(t)=(T2?T1),J為彈性轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量,T1,T2分別為彈性轉(zhuǎn)軸兩端面的外加力矩,常數(shù) b ＞ 0,c≥ 0,a1＞ 0,a2k+1≥ 0(k=1,2···,n),且h(x)為非線性強迫擾動函數(shù),設(shè)它是充分光滑的有界函數(shù).

3 廣義變分迭代

為了進一步求得相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性動力學擾動方程(1)式的近似解,引入泛函

令δF=0,于是有

由迭代式(9),(10),(11)式,當分別選定零次近似函數(shù)x0后,可以分別逐次求出方程(1)的n次漸近解xn(n=1,2,···).又由于相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性動力學擾動方程(1)式的結(jié)構(gòu)及擾動項的解析性和不動點原理[23],就是原方程(1)式的解.

因為迭代式(9),(10),(11)式出自于不同的三個Lagrange乘子,因而得到的迭代近似解性態(tài)也不同,這說明在對應的系數(shù)a＜4b,a＞4b,a=4b情形下,原相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性擾動動力學方程(1)有三種不同性態(tài)的解.

4 相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的一個相關(guān)物理特例

為了便于比較,現(xiàn)考慮一個簡單的微擾相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性動力學模型.設(shè)方程(1)中的規(guī)范化無量綱參數(shù)a0=2,a1=ε,n=1,b=2,c=0.并且設(shè)g(t)=sin t,h(x)=εcos x,其中ε為正的小參數(shù)0＜ε?1.這時相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性動力學方程為

圖1 方程(12)精確解x(t)的模擬曲線,ε=0.1,x(0)=0,x(0)=?

為了能更好地得到近似度較高的近似解,下面來選取零次迭代x0(t).考慮對應于模型(12)的線性方程

方程(14)的解為

選取相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性動力學方程(12)的零次近似函數(shù)x0(t)為(15)式?jīng)Q定的xˉ(t).即

由零次近似函數(shù)(16)式及迭代關(guān)系式(13)式,可得非線性動力學方程(12)的一次近似解x1(t):

由(17)式和迭代關(guān)系式(13)式可得非線性動力學方程(12)的二次近似解x2(t):

其中

作為比較,當選取ε=0.1時,用數(shù)值模擬方法求得模型(12)式的精確解x(t)和用廣義迭代方法求出的二次近似數(shù)值解x2(t)參見表1.由表1可以看出兩者之間很接近.

繼續(xù)用迭代關(guān)系(13)式可依次得到非線性動力學方程 (12)的 n 次近似解 xn(t)(n=3,4,···),顯然,用廣義迭代方法求出的更高次的近似解與模型(12)的精確解更加接近.

表1 方程(12)模擬數(shù)值精確解x(t)與二次迭代模擬數(shù)值解x2(t)比較

5 與擾動解的精度比較

由于相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性動力學方程(12)為擾動方程,故我們還可用攝動方法求其漸近解.設(shè)(12)式的漸近解t,ε)為

將(19)式代入方程(12),按ε的冪展開非線性項,合并ε的同次冪項,并令各次冪的系數(shù)為零.由ε0的系數(shù)為零,得

方程(20)的解為(仍然設(shè)任意常數(shù)為零)

將(19)式代入方程(12),由ε1的系數(shù)為零,得

方程(22)的解為

將(21)式代入(23)式,可得

將(19)式代入方程(12),由ε2的系數(shù)為零,得

方程(25)的解為

將(21),(24)式代入上式,可得

于是,由(19),(21),(24),(27)式,相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性動力學擾動方程(12)的二次攝動漸近解2per(t)為

由此可知,對于相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的非線性動力學方程(12),利用廣義變分迭代方法求出的近似解和用攝動方法求出的漸近解具有相同的近似度.

利用廣義變分迭代方法在一定的情況下可以求解諸如相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的一類非線性動力學模型.它不一定必須要在方程中含有小參數(shù).所以在一定的場合下用此方法也能得到非攝動方程的近似解.

6 討論

廣義變分迭代方法是利用變分原理,引入Lagrange乘子,再應用變分的極值條件選定合適的Lagrange乘子.這樣依次得到的各次迭代解具有較快的近似度.

廣義變分迭代方法,對初始迭代的選取十分關(guān)鍵.選取合理,能較快地得到所要求精度的近似解.一般總是選取原非線性方程對應的線性部分所構(gòu)成的線性方程的解作為原方程的初始迭代.當然,也可根據(jù)原方程的特點或模型的物理性態(tài)來選取初始迭代,這樣可以快捷地得到所要求精度的近似解.

7 結(jié)論

用廣義變分迭代方法求解相對轉(zhuǎn)動的非線性動力學模型的近似解是一個簡單而有效的方法.用廣義變分迭代方法得到的近似解不是簡單的離散數(shù)值解,它還可繼續(xù)進行解析運算,并可做相應的定性和定量方面的分析.同時,本文選取初始近似u0(t),是線性情形下典型系統(tǒng)的解.它保證了相對轉(zhuǎn)動非線性動力學模型(1)式較快地求得在所求的精度范圍內(nèi)的近似解.

[1]Fu JL,Chen L Q,Xue Y 2003 Acta Phys.Sin.52 256(in Chinese)[傅景禮,陳立群,薛紜2003物理學報52 256]

[2]Wang K 2005 Acta Phys.Sin.54 5530(in Chinese)[王坤2005物理學報54 5530]

(4)創(chuàng)新驅(qū)動效應偏低，自主研發(fā)能力有待加強。湖北省汽車零部件產(chǎn)業(yè)集聚了很多僅有組裝生產(chǎn)功能而無研發(fā)能力的零部件企業(yè)，但技術(shù)研發(fā)能力強、營業(yè)規(guī)模超10億元級的龍頭企業(yè)還很少。另外，還缺乏汽車零部件方面的公共創(chuàng)新服務(wù)平臺，導致整體創(chuàng)新驅(qū)動效應明顯不足，汽車零部件技術(shù)研發(fā)、檢驗檢測、產(chǎn)業(yè)孵化等公共配套服務(wù)缺乏，無法有效促進整體汽車零部件技術(shù)和生產(chǎn)工藝的提升。

[3]Zhao W,Liu B,Shi P M,Jiang J S 2006 Acta Phys.Sin.55 3852(in Chinese)[趙武,劉彬,時培明,蔣金水2006物理學報55 3852]

[4]Shi P M,Liu B 2007 Acta Phys.Sin.56 3678(in Chinese)[時培明,劉彬2007物理學報56 3678]

[5]Shi P M,Liu B,Hou D X 2008 Acta Phys.Sin.57 1321(in Chinese)[時培明,劉彬,侯東曉2008物理學報57 1321]

[6]Wang K,Guan X P,Qiao J M 2010 Acta Phys.Sin.59 3648(in Chinese)[王坤,關(guān)新平,喬杰敏2010物理學報59 3648]

[7]Barbu L,Morosanu G 2007 Singularly Perturbed Boundary-Value Problems(Basel:Birkhauserm Verlag AG)

[8]Barbu L,Cosma E 2009 J.Math.Anal.Appl.351 392

[9]Ramos M 2009 J.Math.Anal.Appl.352 246

[10]Sagon G 2008 Nonlinearity 21 1183

[11]Mo J Q 2009 Sci.China G 52 1007

[12]Mo J Q 2009 Chin.Phys.Lett.26 010204

[13]Mo J Q 2010 Commun.Theor.Phys.53 440

[14]Mo J Q 2010 Chin.Phys.B 19 010203

[15]Mo J Q,Lin Y H,Lin W T 2010 Chin.Phys.B 19 030202

[16]Shi L F,Zhou X C 2010 Acta Phys.Sin.59 2915(in Chinese)[石蘭芳,周先春2010物理學報 59 2915]

[17]Shi L F,Mo J Q 2010 Chin.Phys.B 19 050203

[18]Shi L F,Chen C S,Zhou X C 2011 Chin.Phys.B 20 100507

[19]Shi L F,Zhou X C,Mo J Q 2011 Acta Phys.Sin.B 60 110205(in Chinese)[石蘭芳,周先春,莫嘉琪2011物理學報60 110205]

[20]Shi L F,Ouyang C,Mo J Q 2012 Acta Phys.Sin.61 120201(in Chinese)[石蘭芳,歐陽成,莫嘉琪2012物理學報 61 120201]

[21]Shi L F,Ouyang C,Chen L H,Mo J Q 2012 Acta Phys.Sin.61 050203(in Chinese)[石蘭芳,歐陽成,陳麗華,莫嘉琪2012物理學報61 050203]

[22]He J H 2002 Aproximate Nonlinear Analytical Methods in Engineering and Sciences(Zhengzhou:Henan Science and Technology Press)(in Chinese)[何吉歡2002工程與科學計算中的近似非線性分析方法(鄭州:河南科學技術(shù)出版社)]

[23]de Jager E M,Jiang F R 1996 The Theory of Singular Perturbation(Amsterdam:North-Holland Publishing Co.)