王宗堯，姜紅燕，朱紅波

（淮陰工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安223003）

1 矩估計(jì)法的基本思想及理論依據(jù)

矩估計(jì)法是最古老的求估計(jì)的方法之一，它是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.Pearson 在1900年提出的.其基本思想是用樣本矩及其函數(shù)估計(jì)相應(yīng)的總體矩及其函數(shù)，理論依據(jù)是辛欽大數(shù)定律.

定理1［1］（辛欽大數(shù)定律）設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望E（Xi）=μ（i=1，2…），則對(duì)于任意正數(shù)ε，有:

辛欽大數(shù)定律告訴我們，樣本1 階原點(diǎn)矩依概率收斂于總體1 階原點(diǎn)矩.

定理2［2］設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望E（）=μk（k=1，2，…），則對(duì)于任意正數(shù)ε，有:

由定理2 可知，樣本k 階原點(diǎn)矩依概率收斂于總體k 階原點(diǎn)矩.這樣，樣本k 階原點(diǎn)矩是總體k 階原點(diǎn)矩的相合估計(jì).根據(jù)依概率收斂的序列的性質(zhì)，可以得到，其中g(shù)為連續(xù)函數(shù)，.因此樣本k 階原點(diǎn)矩的函數(shù)也是總體k 階原點(diǎn)矩的函數(shù)的相合估計(jì)，故矩估計(jì)一般都具有相合性.所以矩估計(jì)法在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用.

2 矩估計(jì)的方法及計(jì)算步驟

用樣本k 階原點(diǎn)矩作為總體k 階原點(diǎn)矩的估計(jì)量，建立含有待估參數(shù)的方程并解出待估參數(shù).一般分布中有幾個(gè)未知參數(shù)，就求到幾階矩.例如:

例1 設(shè)總體X 的數(shù)學(xué)期望μ和方差σ2都存在，試求μ，σ2的矩估計(jì)量.

解 設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，由題設(shè):

解得μ=μ1，σ2=μ2－.用A1，A2分別替換式中的μ1，μ2，即求得μ，σ2的矩估計(jì)量:

3 矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)及不足

矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)非常明顯，簡(jiǎn)單易行，眾人都能接受，使用場(chǎng)合甚廣，且在總體分布未知時(shí)也可使用，如上述例1.一般來(lái)講，若總體中的未知參數(shù)有k 個(gè)，則要求總體的前k 階矩存在.當(dāng)然，矩估計(jì)法的不足也有很多，本文在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上，進(jìn)行更加具體深入的討論如下.

1）矩估計(jì)有時(shí)會(huì)得到不合理的解

例2［4］設(shè)總體X 服從區(qū)間［0，θ］上的均勻分布，其中θ ＞0 是未知參數(shù)，求θ 的矩估計(jì)量.

解 設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，由題設(shè):

若抽取了一個(gè)容量為3 的樣本，觀測(cè)值分別為1，2，9.代入到后可得=8，，即總體X 服從區(qū)間［0，8］上的均勻分布.這樣，樣本值都應(yīng)在區(qū)間［0，8］中，它們?nèi)≈档纳辖绮粦?yīng)超過(guò)8.但注意到樣本觀測(cè)值中的9 已落在［0，8］外，這顯然是不合理的.這道題里，未知參數(shù)出現(xiàn)在總體所有可能取值的邊界上，即未知參數(shù)界定了總體取值的范圍.這一類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)之為門(mén)檻參數(shù)問(wèn)題.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)用矩估計(jì)法求出的參數(shù)估計(jì)量往往不太合理.用極大似然估計(jì)法可以有效解決此類(lèi)問(wèn)題.

2）矩估計(jì)量不惟一

例3 設(shè)總體X 服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為f（x）=λe－λx（x ＞0），求λ 的矩估計(jì)量.

解 設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，由題設(shè):

當(dāng)矩估計(jì)不惟一時(shí)，涉及到的矩的階數(shù)應(yīng)盡可能小，從而對(duì)總體的要求也盡可能少.常用的矩估計(jì)一般只涉及一、二階矩.當(dāng)然，有時(shí)總體的一階矩雖然存在，但是不含有待估參數(shù)，這時(shí)就要計(jì)算總體的二階矩了（見(jiàn)例題4）.

解 設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X 的樣本，由題設(shè):

不含待估參數(shù)θ，為此，又有:

3）矩估計(jì)法不一定可行

矩估計(jì)法在使用時(shí)要求總體的k 階矩存在（這里k 小于等于待估參數(shù)的個(gè)數(shù)）.然而有些分布的總體矩并不存在，這樣矩估計(jì)法就失效了.例如柯西分布的概率密度為，總體的各階矩皆不存在，因此不能用矩估計(jì)法來(lái)估計(jì)參數(shù)θ.事實(shí)上，柯西分布概率密度更一般的形式為:

柯西分布以數(shù)學(xué)期望和方差均不存在而著名.

4 有關(guān)矩估計(jì)法的兩點(diǎn)說(shuō)明

1）如前所述，矩估計(jì)法的基本思想是用樣本矩及其函數(shù)估計(jì)相應(yīng)的總體矩及其函數(shù)，這里的矩是原點(diǎn)矩.然而由于總體的k 階中心矩

總可以展開(kāi)成總體的不超過(guò)階的原點(diǎn)矩的函數(shù)，而樣本的k 階中心矩

可展成樣本不超過(guò)k 階原點(diǎn)矩的同樣函數(shù)，因此可以用樣本的k 階中心矩作為總體k 階中心矩的估計(jì)量.例如前面的例1，要估計(jì)總體的方差σ2，也即總體的二階中心矩，就可以用樣本二階中心距來(lái)估計(jì)σ2，即:

這個(gè)結(jié)果和前面是一樣的.因此矩估計(jì)法的基本思想可以重新闡述成“用樣本k 階原點(diǎn)矩（或中心矩）及其函數(shù)估計(jì)相應(yīng)的總體k 階原點(diǎn)矩（或中心矩）及其函數(shù)”.上述例3 中，由于總體二階中心矩，故可以用樣本二階中心距來(lái)替換D（X），從而得到λ 的又一個(gè)矩估計(jì).

2）當(dāng)矩估計(jì)不惟一時(shí)，就必須對(duì)這些估計(jì)的好壞給出評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).有一個(gè)基本標(biāo)準(zhǔn)是所有的估計(jì)都應(yīng)該滿(mǎn)足的，它是衡量一個(gè)估計(jì)是否可行的必要條件，這就是矩估計(jì)的相合性.前面已經(jīng)提到，矩估計(jì)一般都具有相合性.在這個(gè)基礎(chǔ)上，評(píng)價(jià)一個(gè)點(diǎn)估計(jì)的好壞使用的度量指標(biāo)總是點(diǎn)估計(jì)值與參數(shù)真值θ 的距離的函數(shù)，由此可以得到均方誤差MSE（）=E（－θ）2的概念.自然，我們希望估計(jì)的均方誤差越小越好.然而，可以證明:使均方誤差一致達(dá)到最小的最優(yōu)估計(jì)是不存在的.所以，通常是先對(duì)估計(jì)提出一些合理性要求，然后在滿(mǎn)足這種合理性要求的估計(jì)類(lèi)中尋找好的估計(jì).無(wú)偏性便是一種最常用的合理性要求［5］.如果是θ 的無(wú)偏估計(jì)，則MSE（）=D（），此時(shí)用均方誤差評(píng)價(jià)點(diǎn)估計(jì)與用方差是完全一樣的，這也說(shuō)明了用方差考察無(wú)偏估計(jì)有效性是合理的.當(dāng)不是θ 的無(wú)偏估計(jì)時(shí)，就要看其均方誤差.當(dāng)然，在均方誤差的含義下，有些有偏估計(jì)優(yōu)于無(wú)偏估計(jì)［6］，這里不再贅述.

［1］郭躍華，朱月萍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，2011:132.

［2］范光，李廣明.矩估計(jì)法的理論注釋?zhuān)跩］.十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，25（1）:98－100.

［3］張永利.矩估計(jì)的基本原理及其解題方法［J］.巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，7（3）:47－49.

［4］夏寧茂，秦衍，倪中新.新編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.上海:華東理工大學(xué)出版社，2006:179－181.

［5］茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，1998:87.

［6］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京:高等教育出版社，2004:295.