合肥工業(yè)大學(xué) 柯 龍

傳統(tǒng)的笛卡爾式正交坐標(biāo)測量機[1]由于體積大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、造價昂貴，而且受相互垂直的導(dǎo)軌和安裝環(huán)境的限制，因此有量程小、不易實現(xiàn)在線測量等缺點，不能滿足很多場合的應(yīng)用要求。隨著柔性化和在線測量等要求的不斷提出，新型非笛卡爾式的柔性關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機以其便攜、靈活、造價低、量程大的特點發(fā)展迅速，應(yīng)用也愈發(fā)廣泛，測量精度也越來越高，適宜于工業(yè)現(xiàn)場的使用。

1.測量機結(jié)構(gòu)

關(guān)節(jié)臂式柔性坐標(biāo)測量機的結(jié)構(gòu)設(shè)計模仿了工業(yè)機器人手臂的構(gòu)造，如圖1所示，測量機由基座、3根測量臂、6個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)和一個接觸式測頭組成，6個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)處安有圓光柵角度傳感器，前端的測頭通過接觸被測工件觸發(fā)信號，此信號被反饋給計算機處理系統(tǒng)，再結(jié)合各個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處圓光柵讀取的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度值，通過程序的運算，得到被測量點處的坐標(biāo)值（如圖1所示）。

圖1 被測量點處的坐標(biāo)值

2.測量機數(shù)學(xué)模型

由關(guān)節(jié)臂式柔性坐標(biāo)測量機的結(jié)構(gòu)形式不難看出，其結(jié)構(gòu)類似于工業(yè)生產(chǎn)中的機器人手臂，因此關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的模型建立也可以參照工業(yè)機器人的建模方法。Denavit和Hartenberg[2，3]在1955年提出了兩個相互連接且相對運動的構(gòu)件之間相互關(guān)系的分析方法，D-H方法是在兩個相互連接且相互運動的桿件上各自固定一個坐標(biāo)系，然后用一個4×4的齊次變換矩陣即D-H矩陣來描述相鄰兩連桿的空間關(guān)系。通過依次變換可最終推導(dǎo)出末端點位置相對于基座坐標(biāo)系的位置，從而建立坐標(biāo)測量機系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。利用齊次變換矩陣我們可以表示為T07=T01T12T23T34T45T56T67，模型參數(shù)包含有桿件的長度li、桿件的扭角iα、關(guān)節(jié)變量iθ和桿件i的偏置量di（i=1，2，…，6）。其測量模型，如式(1)所示。

3.測量空間分析

柔性關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量空間我們可以定義為測量機處于正常工作狀態(tài)下，末端測頭所能測量到的空間中所有點位置的集合。在理想狀態(tài)下，測量機的測量空間應(yīng)為一實心球體，并且測頭能夠探測到空間內(nèi)的任意一點。但是在實際情況當(dāng)中，由于受到測量機結(jié)構(gòu)的影響，除去基座位置因為固定不動而不能測量到以外，測量機的測量空間有可能會出現(xiàn)測量“死角”，如圖情況下所示的“空腔”位置，也就是測量機測頭無法探測到的區(qū)域。當(dāng)測頭長度l，桿件偏置d3，d5桿長l4滿足時會出現(xiàn)如圖2(a)所示的空腔，該測量空腔球徑為，而當(dāng)d3≤d5-時，坐標(biāo)測量機會出現(xiàn)圖2(b)所示的空腔情況，此時的球徑，由上述關(guān)系我們可知，要想不出現(xiàn)如圖所示的空腔，必須滿足即

圖2

圖3 抽樣的點的集合

4.測量機測量空間

對于前面關(guān)節(jié)臂式柔性坐標(biāo)測量機測量空間中存在測量“死角”的問題，我們可以通過尋找坐標(biāo)測量機的測量空間來進行驗證。我們借鑒工業(yè)機器人工作空間[4]的分析方法。機器人工作空間的分析方法主要有：幾何法、解析法及數(shù)值法。針對我們坐標(biāo)測量機的機械結(jié)構(gòu)及測量模型，我們選擇數(shù)值法當(dāng)中的蒙特卡洛法[5-7](Monte Carlo)，它是一種采用隨機抽樣來解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法，廣泛用于物理模型的建立、金融工程學(xué)、生物醫(yī)學(xué)、空氣動力學(xué)、宏觀經(jīng)濟學(xué)等。通常利用蒙特卡洛方法處理問題的步驟如下：

(1)描述并確定數(shù)學(xué)問題的概率模型；

(2)在隨機樣本中進行隨機抽樣；

(3)將樣本代入到模型當(dāng)中進行統(tǒng)計估計。

我們坐標(biāo)測量機的測量空間可以表示為如下的形式：

上式中，S表示空間中點的集合，P為末端測頭處點位置坐標(biāo)，f為坐標(biāo)測量機測量模型，θi為廣義關(guān)節(jié)變量，Q為關(guān)節(jié)變量取值范圍，R3表示三維空間。測量機模型前面已經(jīng)給出即坐標(biāo)測量機測量模型，廣義關(guān)節(jié)變量即我們的隨機抽樣樣本需要通過隨機數(shù)的產(chǎn)生來獲得。

首先我們利用RAND函數(shù)來產(chǎn)生均勻分布的[0，M]隨機數(shù)即我們進行抽樣分析的隨機樣本，我們?nèi)=106，使×RAND÷M，其中θ分別為關(guān)節(jié)變量的最大、最小值。這里我們?nèi)∈f組隨機樣本即十萬個形態(tài)位姿，將這些隨機樣本代入式(1)中的模型，我們便可以得到各個測頭點位置處的坐標(biāo)(xi，yi，zi)。

利用軟件進行模擬仿真，我們可以得到所抽樣的點的集合，如圖3所示，即為關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的測量空間，所取樣本數(shù)越多，測量空間就越精確。從圖上我們可以看到該測量空間為一完整的曲面球體，并沒有出現(xiàn)前面所討論的存在測量“死角”的情況，也反映了我們坐標(biāo)測量機結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計的合理性。

5.結(jié)論

本文闡述了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測量機的結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)模型，并基于結(jié)構(gòu)討論了測量機測量空間中測量“死角”的情況，采用了蒙特卡洛理論對測量空間進行了分析與軟件仿真，驗證了我們坐標(biāo)測量機測量空間當(dāng)中并無測量“死角”的存在，證明了我們坐標(biāo)測量機結(jié)構(gòu)設(shè)計的合理性。為我們今后找尋坐標(biāo)測量機的空間誤差分布規(guī)律與最佳測量區(qū)域奠定了理論基礎(chǔ)并提供了幫助。

表1 柔性坐標(biāo)測量機的結(jié)構(gòu)參數(shù)

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