吳慶華

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

一類非局部擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的行波解的存在性

吳慶華

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

采用構(gòu)造上下解交叉迭代的方法，證明了帶有非局部擴(kuò)散項(xiàng)以及時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的存在性，依此并將原有的關(guān)于Lotka-Volterra型競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散模型的結(jié)論推廣到了更一般的Hosono-Mimura型競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)中。

行波解; Hosono-Mimura型競(jìng)爭(zhēng)模型; 時(shí)滯; 反應(yīng)擴(kuò)散方程

1 研究背景及預(yù)備知識(shí)

帶Laplace擴(kuò)散項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程可以描述許多現(xiàn)象，因此這類反應(yīng)擴(kuò)散方程的研究引起了很多研究者的興趣[1-3]。近年來(lái)一些研究者發(fā)現(xiàn)用Laplace算子來(lái)描述事物的空間擴(kuò)散情況有一些弊端，一個(gè)主要缺點(diǎn)就是Laplace算子只能反映一點(diǎn)處的擴(kuò)散，無(wú)法描述種群在一個(gè)空間范圍內(nèi)的擴(kuò)散情況，所以研究者們開(kāi)始研究非局部擴(kuò)散方程[4-5]。Yu 等人考慮了一般的非局部擴(kuò)散競(jìng)爭(zhēng)帶時(shí)滯系統(tǒng)行波解的存在性問(wèn)題，并將其結(jié)論應(yīng)用到了經(jīng)典的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)中[4]。夏靜等對(duì)文獻(xiàn)[4]的模型進(jìn)行了一些改進(jìn)，得出了較之更一般的結(jié)論[5]。本文將考慮Hosono-Mimura型競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)，運(yùn)用Yu Z.X.的存在性定理得出如下系統(tǒng)的行波解的存在性：

(1)

這里ui表示兩個(gè)生物種群的密度，di表示擴(kuò)散系數(shù)，ai為出生率，1/bi是最大容積率，ki是競(jìng)爭(zhēng)系數(shù),τi表示時(shí)滯。系數(shù)e>0為種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)率，表示隨著某種群數(shù)量的增加，其內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)率會(huì)減小。若e=0, 這時(shí)式(1)變成Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型，因此這種模型比Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型更具有一般性。Ji表示種群的空間分布密度函數(shù)，為了后面的需要假設(shè)Ji是偶函數(shù)，且

特別地，當(dāng)Ji=δ(x)+δ″(x) 時(shí)，系統(tǒng)(1)變成一般的帶Laplace擴(kuò)散項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程。

系統(tǒng)(1)的行波解是指形如u1(x,t)=φ1(x+ct),u2(x,t)=φ2(x+ct), (φ1,φ2)∈C1(R,R2)的解,c是波速。在(1)中代入φ1,φ2, 得到

(2)

我們需要如下的假設(shè)和預(yù)備知識(shí)：

(A2)fi(u1,u2),i=1,2,Lipschitz連續(xù)；

定義1WQM*條件：

如果對(duì)?φ1(s),φ2(s),ψ1(s),ψ2(s)∈C([-cτ,0],R),當(dāng)0≤ψ1(s)≤φ1(s)≤M1,0≤ψ2(s)≤φ2(s)≤M2時(shí)，存在正數(shù)β1,β2,使得

f1(φ1(s),φ2(s))-f1(ψ1(s),φ2(s))+(β1-d1)(φ1(0)-ψ1(0))≥0,

f1(φ1(s),φ2(s))-f1(φ1(s),ψ2(s))≤0;

f1(φ1(s),φ2(s))-f2(φ1(s),ψ2(s))+(β2-d2)(φ2(0)-ψ2(0))≥0,

f2(φ1(s),φ2(s))-f2(ψ1(s),φ2(s))≤0.

這里eβ1t[φ1(t)-ψ1(t)]和eβ2t[φ2(t)-ψ2(t)]不減,則稱函數(shù)f(φ1,φ2)滿足WQM*條件。

(3)

和

(4)

另外我們記：

后面我們將用到下面的引理。[4]

2 行波解的存在性

為了證明后面的主要定理，我們先證明下面的引理。

引理1(f1,f2)滿足WQM*條件。

證明假設(shè)(0,0)≤(ψ1,ψ2)≤(φ1,φ2)≤(M1,M2),且eβ1t[φ1(t)-ψ1(t)],eβ2t[φ2(t)-ψ2(t)]不減，則

f1(φ1,φ2)-f1(ψ1,φ2)=φ1(0)[a1-b1φ1(-cτ1)-k1φ2(-cτ2)]-ψ1(0)[a1-b1ψ1(-cτ1)-k1φ2(-cτ2)]

=[a1-k1φ2(-cτ2)](φ1(0)-ψ1(0))-b1[φ1(0)φ1(-cτ1)-ψ1(0)ψ1(-cτ1)]

≥[a1-k1M2](φ1(0)-ψ1(0))-b1[φ1(0)(φ1(-cτ1)-ψ1(-cτ1))+(φ1(0)-ψ1(0))ψ1(-cτ1)]

≥[a1-k1M2-b1M1](φ1(0)-ψ1(0))-b1φ1(0)[φ1(-cτ1)-ψ1(-cτ1)]

=[a1-k1M2-b1M1](φ1(0)-ψ1(0))-b1φ1(0)eβ1cτ1e-β1cτ1[φ1(-cτ1)-ψ1(-cτ1)]

≥[a1-k1M2-b1M1](φ1(0)-ψ1(0))-b1φ1(0)eβ1cτ1(φ1(0)-ψ1(0))

≥[a1-k1M2-b1M1-b1M1eβ1cτ1](φ1(0)-ψ1(0)).

如果τ1充分小，只要取β1≥k1M2+b1M1+b1M1eβ1cτ1-a1+d1>0，那么就有

f1(φ1,φ2)-f1(ψ1,φ2)+(β1-d1)(φ1(0)-ψ1(0))≥0。

同時(shí)

f1(φ1,φ2)-f1(φ1，ψ2)=φ1(0)[a1-b1φ1(-cτ1)-k1φ2(-cτ2)]-φ1(0)[a1-b1φ1(-cτ1)-k1ψ2(-cτ2)]=-k1φ1(0)[φ2(-cτ2)-ψ2(-cτ2)]<0。

類似地

f2(φ1,φ2)-f2(φ1，ψ2)

=a2[φ2(0)-ψ2(0)]-b2[φ2(0)φ2(-cτ3)-ψ2(0)ψ2(-cτ3)]-k2φ1(-cτ4)

≥(a2-b2M2-k2M1)[φ2(0)-ψ2(0)]-b2φ2(0)eβ2cτ3[φ2(0)-ψ2(0)]

≥(a2-b2M2-k2M1-b2M2eβ2cτ3)[φ2(0)-ψ2(0)]

如果τ3充分小，只要取β2≥b2M2+k2M1+b2M2eβ2cτ3-a2+d2>0,則有

f2(φ1,φ2)-f2(φ1,ψ2)+(β2-d2)(φ2(0)-ψ2(0))≥0。另外容易證明

下面我們將構(gòu)造并證明(1)的上下解。令

△1(λ,c)=d1J1*eλ·-d1-cλ+a1,

△2(λ,c)=d2J2*eλ·-d2-cλ+a2。

b1ε1-k1ε4>ε0,b1ε2-k1ε3>ε0,

min{t2,t4}-cmax{τ1,τ2}≥max{t1,t3}. (5)

引理2Φ和Ψ是系統(tǒng)(2)的一對(duì)上下解。

證明(1)t≤t2時(shí)，

=△1(λ1,c)eλ1t=0

(2)t2

因?yàn)?/p>

(3)t≥t2+cτ1時(shí),則t-cτ2≥t2-cτ2≥t3。

引理3上下解Φ和Ψ滿足條件(P3)。

證明

上面最后一個(gè)不等式是根據(jù)上解的定義(3)以及f1的WQM*條件得到的。

最后我們得出本文的主要結(jié)論。

證明根據(jù)引理 2和引理3，運(yùn)用引理1, 可以得出證明。

[1] Wu J H,Zou X F.Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delays[J].J Dyna Diff Equa,2001(13):651-687.

[2] Zou X F,Wu J H. Existence of travelling wavefronts in delayed reaction-diffusion system via monotone iteration method[C]//Proceeding of Amer Math Soc,1997:2589-2598.

[3] Li W T, Lin G, Ruan S G.Existence of traveling wave solutions in delayed reaction-diffusion systems with applications to diffusion-competition systems[J].Nonlinearity, 2006(19):1253-1273.

[4] Yu Z X, Yuan R.Traveling waves solutions in nonlocal reaction-diffusion systems with delays and applications[J].Anziam Journal, 2009, 51(1): 49-66.

[5] 夏靜,余志先,袁榮.一類具有非局部擴(kuò)散的時(shí)滯Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型的行波解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2011(34):1082-1093.

[6] Hosono Y, Mimura M.Singular perturbation approach to traveling waves in competing and diffusing species models[J].J Math Kyoto Univ,1982(22):435-461.

(責(zé)任編輯：張凱兵)

ExistenceofTravelingWaveSolutionsinNonlocalReaction-DiffusionSystem

Wu Qinghua

(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)

This paper proves the existence of traveling wavefronts for a reaction-diffusion system with nonlocal diffusion and delays, which is based upon the crossing iteration technique with upper-lower solutions. With the conclusion arrived at, the competitive Lotka-Volterra model can be extended to more general competitive Hosono-Mimura model.

traveling wave solution; competitive Hosono-mimura model; delay; reaction-diffusion equation

O175. 29

A

2095-4824(2013)06-0086-04

2013-09-25

國(guó)家自然科學(xué)基金 (11171127)；湖北工程學(xué)院科研項(xiàng)目(Z2013018)

吳慶華(1977- )， 女，湖北天門人，湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，博士生。