馬劍鵬,何中全

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 四川 南充 637000)

廣義漸近φ-半壓縮映射的強(qiáng)收斂定理

馬劍鵬,何中全

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 四川 南充 637000)

在任意實(shí)Banach空間中,研究了依中間意義漸近k-嚴(yán)格偽壓縮的廣義漸近φ-半壓縮映射帶誤差的修正Ishikawa迭代序列的強(qiáng)收斂性。 所得結(jié)果改近和推廣了這類問題的最新研究結(jié)果。

廣義漸近φ-半壓縮映射;不動(dòng)點(diǎn);依中間意義的漸近k-嚴(yán)格偽壓縮;帶誤差的修正Ishikawa迭代序列;實(shí)Banach空間

1 引言與預(yù)備知識(shí)

由于迭代過程往往不是精確的,存在誤差的,因而帶誤差項(xiàng)的迭代算法的收斂性問題的研究是十分有意義的工作。最近Yang[1]在Banach空間中,研究了漸近φ-半壓縮映射的帶誤差的Mann及Ishikawa迭代序列的收斂性。Kim[2]在實(shí)Banach空間中,研究了幾乎一致L-Lipschitzian的廣義漸近φ-半壓縮映射帶誤差的修正Mann迭代序列的收斂性。Zeng[3]和Wang[4]在任意實(shí)的Banach空間中研究了依中間意義漸近非擴(kuò)張的漸近偽壓縮映射的修正Ishikawa迭代序列的收斂性。受上面文獻(xiàn)啟發(fā),將漸近偽壓縮映象射推廣到廣義漸近φ-半壓縮映射,研究了依中間意義漸近k-嚴(yán)格偽壓縮的廣義漸近φ-半壓縮映射帶誤差的修正Ishikawa迭代序列的收斂性。本文證明的方法跟Wang的有根本的區(qū)別。改進(jìn)了Kim[2]、Zeng[3]和Wang[4]等人的研究結(jié)果。

本文設(shè)E是實(shí)的Banach空間,E*是其對(duì)偶空間,D是E的非空凸子集,F(T)={x∈D:T(x)=x}是映射T在D中的所有不動(dòng)點(diǎn)之集。正規(guī)對(duì)偶映射J:E→2E*定義為：

J(x)={f∈E*:〈x,f〉=‖x‖2=‖f‖2}},?x∈E。

其中〈·,·〉表示E和E*之間的廣義對(duì)偶組。

眾所周知,若E是光滑的Banach空間,則J是單值的。若E是一致光滑的Banach空間,則J在E的任一有界子集上是一致連續(xù)。用j表示單值的正規(guī)對(duì)偶映射。

定義1.1 設(shè)T:D→D是一個(gè)映射。

〈Tnx-Tny,j(x-y)〉≤kn‖x-y‖2-φ(‖x-y‖)。

〈Tnx-q,j(x-y)〉≤kn‖x-q‖2-φ(‖x-q‖)。

(3)T稱為一致L-Lipschitz的,如果存在常數(shù)L≥0,滿足‖Tnx-Tny‖≤L‖x-y‖?x,y

∈D,n∈N。

下面給出關(guān)于映射T的帶誤差項(xiàng)的修正Ishikawa迭代算法:

設(shè)任意x0∈D,{un},{vn}是D上的有界序列{βn},{γn},{bn},{cn}是[0,1]上的實(shí)數(shù)列,則{xn}是由下式定義的序列：

(1)

稱為含誤差項(xiàng)的修正Ishikawa迭代序列。特別,若在(1)中取bn=cn=0,?n≥0,則{xn}是由下式定義的序列：

xn+1=(1-βn-γn)xn+βnTnyn+γnun

(2)

稱為含誤差項(xiàng)的修正Mann序列。

引理1.2[7]設(shè)E是實(shí)的Banach空間,則對(duì)?x,y∈E有下面不等式成立

‖x-y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x-y)〉,?j(x+y)∈J(x+y)。

2 主要內(nèi)容

引理2.1 設(shè){an},{bn},{cn}是三個(gè)非負(fù)實(shí)序列,又存在非負(fù)整數(shù)n0,使得

證明: 由題意知

綜上可知{an}有界。

證明根據(jù)(1)以及定理的條件知

(3)

又由T:D→D是依中間意義漸近k-嚴(yán)格偽壓縮映射,則

‖Tnxn+1-Tnyn‖2

由引理1.4知

‖Tnxn+1-Tnyn‖→0 (n→∞)

(4)

根據(jù)(1)和引理1.2,知

‖xn+1-q‖2=‖(1-βn-γn)(xn-q)+βn(Tnyn-q)+γn(un-q)‖2

≤(1-βn-γn)2‖xn-q‖2+2βn〈Tnyn-q,j(xn+1-q)〉+2γn〈un-q,j(xn+1-q)〉

=(1-βn-γn)2‖xn-q‖2+2βn〈Tnyn-Tnxn+1,j(xn+1-q)〉

+2βn〈Tnxn+1-q,j(xn+1-q)〉+2γn〈un-q,j(un+1-q)〉

+2βnkn‖xn+1-q‖2-2βnφ(‖xn+1-q‖)+2γn‖un-q‖‖xn+1-q‖

則由上式子

(5)

結(jié)合(5)，得:

(6)

現(xiàn)在令

則由(6)得：

再根據(jù)定理?xiàng)l件假設(shè)知,

由(5)知

+4(γn‖un-q‖+βn‖Tnyn-Tnxn+1‖)‖xn+1-q‖

+4(γn‖un-q‖+βn‖Tnyn-Tnxn+1‖)‖M1

(7)

現(xiàn)在再令

則由(7)可得

下面證明不動(dòng)點(diǎn)的唯一性。

由于T是廣義漸近φ-半壓縮映射,則T的不動(dòng)點(diǎn)集非空。設(shè)x*∈F(T),如果q∈F(T),那么存在j(q-x*)∈J(q-x*),使得

‖q-x*‖2=

≤‖q-x*‖2-φ(q-x*),

則T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明完畢。

則{xn}強(qiáng)收斂于T的不動(dòng)點(diǎn)q。

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(責(zé)任編輯：張凱兵)

StrongConvergenceTheoremsofGeneralizedAsymptoticallyφ-hemicontractiveMappings

Ma Jianpeng,He Zhongquan

(SchoolofMathematicsandInformation,ChinaWestNormalUniversity,Nanchong,Sichuan637000,China)

Strong convergence of modified Ishikawa iteration algorithm with errors for asymptotically k-strict pseudocontractive mapping in the intermediate sense and generalized asymptoticallyφ-hemicontractive mappings are obtained in arbitrary real Banach space. The result of this paper improves and extends the results of the latest research in this field.

generalized asymptotically;φ-hemicontractive mappings; fixed point; asymptotically k-strict pseudocontractive papping in the intermediate sense; modified Ishikawa iterative sequence with errors；real Banach space

O177.91

A

2095-4824(2013)06-0079-04

2013-05-11

四川省省級(jí)精品課程泛函分析項(xiàng)目資助((2008)359-20)

馬劍鵬(1986- ),男,四川樂至人,西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院碩士研究生。

何中全(1955- ),男,四川南充人,西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院教授。