智麗麗 李艷青

（1,2.昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

1 分離變量法的概述

分離變量法關(guān)鍵是把分離變數(shù)形式的試探解代入偏微分方程，從而把它分解為幾個(gè)常微分方程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程［1-6］。另一方面，代入齊次邊界條件把它轉(zhuǎn)化為常微分方程的附加條件，這些條件與相應(yīng)的常微分方程構(gòu)成本征值問(wèn)題。雖然我們是從駐波引出解題的線索，其實(shí)整個(gè)求解過(guò)程跟駐波并沒有特殊的關(guān)系，從數(shù)學(xué)上講，完全可以推廣應(yīng)用于線性齊次方程和線性齊次邊界條件的多種定解問(wèn)題。這個(gè)方法，按照它的特點(diǎn)，叫做分離變量法。

2 分離變量法求解方程的應(yīng)用

2.1 第一類邊界條件定解問(wèn)題的求解

研究?jī)啥斯潭ǖ木鶆蛳业淖杂烧駝?dòng)，即定解問(wèn)題

這里研究的弦是有限長(zhǎng)的，它有兩個(gè)端點(diǎn)，波就在這兩端點(diǎn)之間往復(fù)反射，兩列反向行進(jìn)的同頻率的波形成駐波。這就是啟發(fā)我們嘗試從駐波出發(fā)解決問(wèn)題。這樣，駐波的一般表示為

在這里自變數(shù)x只出現(xiàn)于X之中，自變數(shù)t只出現(xiàn)于T之中，駐波的一般表示式具有分離變數(shù)的形式。

那么，在兩端固定的弦上究竟有哪些駐波呢？把駐波的一般表示式（4）代入弦振動(dòng)方程（1）和邊界條件（2），得

條件（6）的意義很清楚：不論在什么時(shí)刻t，X（0）T（t）和X（l）T（t）總是零。這只能是

注意：由于邊界條件是齊次的，才得出（7）這樣簡(jiǎn)單的結(jié)論，現(xiàn)在再看方程（5），用a2XT遍除各項(xiàng)即得。左邊是時(shí)間t的函數(shù)，跟坐標(biāo)x無(wú)關(guān)；右邊則是坐標(biāo)x的函數(shù)，跟時(shí)間t無(wú)關(guān)。兩邊相等顯然是不可能的，除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù)。把這個(gè)常數(shù)記作-，這可以分離為關(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程，前者還附帶有條件（7），

先求解X，將λ＜0,λ=0,λ＞0三種可能性逐一加考察。

②λ=0,方程（8）的解是X(x)=C1x+C2積分常數(shù)C1和C2由條件（1.7）確定，即，由此解出C1=0,C2=0,從而X(x)≡0，所求駐波u=XT≡0,沒有意義。于是，λ=0的可能性也排除了。

③λ＞0，方程（8）的解是X(x)=C1cos+C2Sin，積分常數(shù)C1和C2由條件（7）確定，即，如Sin≠0,則仍然解出從而u(x,t)≡0，同樣沒有意義，應(yīng)序排除。現(xiàn)只剩下一種可能性：于是，（n為正整數(shù)），即

當(dāng)λ取這樣的數(shù)值時(shí)，

C2為任意常數(shù)。請(qǐng)注意，（11）正是博里葉正玄級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族。這樣，分離變數(shù)過(guò)程中引入的常數(shù)λ不能負(fù)數(shù)或零，甚至也不能是任意的正數(shù)，它必須?。?0）所給出的特定數(shù)值，才可能從方程（8）和條件（7）求出有意義的解。常數(shù)λ的這種特定數(shù)值叫作本征值，相應(yīng)的解叫作本征函數(shù)。方程（8）和條件（7）則構(gòu)成所謂本征值問(wèn)題。

其中A和B積分常數(shù)，把（11）和（12）代入（4），得到分離變數(shù)形式的解

n為正整數(shù)，這就是兩端固定弦上的可能的駐波。每一個(gè)n對(duì)應(yīng)于一種駐波，這些駐波也叫作兩端固定弦的本征振動(dòng)，在x=κl n(κ=0,1,2,....n)共計(jì)n+1點(diǎn)上，sin(nπx l)=sinκπ=0,從而un(x,t)=0。這些點(diǎn)就是駐波的節(jié)點(diǎn)，相令節(jié)點(diǎn)間隔l n應(yīng)為半波長(zhǎng)，所以波長(zhǎng)=2l n。

本征振動(dòng)（13）的角頻率（又叫圓頻率）是ω=nπa l，從而頻率 f=ω 2π=na 2l。n=1的駐波除兩端x=0和x=l外沒有其它節(jié)點(diǎn)，它的波長(zhǎng)2 l在所有本征振動(dòng)中是最長(zhǎng)的，相應(yīng)地，它的頻率a 2l在所有本征振動(dòng)中最低的。這個(gè)駐波叫作基波。n＞1的各個(gè)駐波分別叫作n次諧波。n次諧波的波長(zhǎng)2l n是基波的1 n,頻率na 2l則是基波的n倍。

以上本征振動(dòng)是滿足弦振動(dòng)方程（1）和邊界條件（2）的線性獨(dú)立的特解。由于方程（1）和邊界條件（2）都是線性而且齊次的，本征振動(dòng)的線性疊加

仍然滿足方程（1）和邊界條件（2），這就是滿足方程（1）和邊界條件（2）的一般解，其中 An和Bn為任意常數(shù)。這里尚未考慮初始條件。

下面的任務(wù)便是求定解問(wèn)題（1）∽（3）的確定解，在數(shù)學(xué)上，就是要選取適當(dāng)?shù)寞B加系數(shù)An和Bn使（14）滿足初始條件（3）。為此，以（14）代入（3），

（15）的左邊是傅里葉正弦級(jí)數(shù)，這就提示我們把右邊的?(x)和φ(x)展開為傅里葉正弦級(jí)數(shù)，然后比較兩邊的系數(shù)就可以確定An和Bn，

至此，定解問(wèn)題（1）∽（3）已經(jīng)解出，答案是（14），其中系數(shù)An和Bn取決于弦的初始狀態(tài)，具體計(jì)算公式是（16）。解（14）正好是傅里葉正弦級(jí)數(shù)，這是在x=0和x=l處的第一類齊次邊界條件（2）所決定的。

2.2 第二類邊界條件定解問(wèn)題的求解

前面已研究了區(qū)間兩端均為第一類齊次邊界條件的定解問(wèn)題，下面例是區(qū)間兩端均為第二類齊次邊界條件的例題。即定解問(wèn)題

解 按照分離變量法的步驟，先也分離變量形式的試探解

代入泛定方程（1）和邊界條件（2），得

再看方程（5），用a2XT遍出各項(xiàng)即得，兩邊分別是時(shí)間t和坐標(biāo)x的函數(shù)，不可能相等，除非兩邊實(shí)際上是同一個(gè)常數(shù)。把這個(gè)常數(shù)記作-λ,，這可分離變?yōu)殛P(guān)于X的常微分方程和關(guān)于T的常微分方程，前者附帶有條件（7），即有：

求解本征值問(wèn)題（8），（7）。如果λ＜0，只能得到無(wú)意義的解X(x)≡0。如果λ=0,則方程（7）的解是,代入條件（7），得D0=0，于是為任意常數(shù)，這是對(duì)應(yīng)于本征值λ=0的本征函數(shù)。如果λ＞0，方程（8）的解是：，積分常數(shù)C1和C2由條件（7）確定，即

C1為任意常數(shù)。（11）即傅里葉余弦的基本函數(shù)族。

其中 A0,B0,An,Bn均為獨(dú)立的任意常數(shù)，把（11），（12）和（13）代回（4），得到本征振動(dòng)

請(qǐng)注意，（14）正是傅里葉余弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族。所有本征振動(dòng)的疊加應(yīng)是一般解u(x,t)，即

系數(shù) A0,B0,An,Bn應(yīng)由初始條件（3）確定，以（15）代入（3），有

把右邊的?(x)和φ（x)展開為傅里葉余弦級(jí)數(shù)，然后比較兩邊的系數(shù)，得

（15）中的A0+B0t描寫桿的整體移動(dòng)，其余部分才真正描寫桿的縱振動(dòng)，從（16）知道A0與B0分別等于平均初始位移和平均初始速度，由于不受外力作用，桿以不變的速度B0移動(dòng)，解（15）正是傅里葉余弦級(jí)數(shù)，這是在x=0和x=l處的第二類齊次邊界條件（2）決定的。

3 結(jié)論

本文通過(guò)兩種不同邊界條件下振動(dòng)方程的求解，不難看出，分離變量法的基本思想是把多元函數(shù)所滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化為若干個(gè)一元函數(shù)的常微分方程，主要是產(chǎn)生本征值方程，再借助已有的數(shù)學(xué)知識(shí)得到相應(yīng)方程的解。

［1］吳少平.數(shù)學(xué)物理方程的幾種解法［J］.高等函授學(xué)報(bào)，1999，（1）:22-24.

［2］謝煥田.分離變量法的應(yīng)用［J］.高師理科學(xué)報(bào)，2010,30(3):4-5.

［3］張健.數(shù)學(xué)物理方程的分離變量法［J］.青海師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011,（3）:17-19.

［4］梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.高等教育出版社，2010.

［5］黃大奎，舒慕增.數(shù)學(xué)物理方法［M］.高等教育出版社,2001.