房春梅

(集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,烏蘭察布 012000)

Benjamin-Ono方程的對稱性約化

房春梅

(集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,烏蘭察布 012000)

CK直接方法是求精確解的一種簡單有效的方法，該方法的思想是將高維的偏微分方程約化為低維的常微分方程.本文根據(jù)此方法獲得了Benjamin-Ono方程新的對稱性約化，其中包括第一第二和第四Painleve型方程.

C-K直接方法；Benjamin-Ono方程；對稱性約化

0 引言

求非線性偏微分方程(組)的對稱約化方法很多，如Lie對稱方法[1],Clarkson-Kruskal(CK直接方法)[2-3]，以及擴展齊次平衡法[4-5]等等.這些方法都很有效，但其中最為有效的是CK直接約化方法.本文將CK直接約化方法推廣到Benjamin-Ono方程[6]:

htt+q(h2)xx+rhxxxx=0

中，獲得了該方程的三種形式的對稱性約化與相似解，其中包括第一第二和第四Painleve型方程.

對于Benjamin-Ono方程，文獻[6]獲得了該方程的Backlund變換、非線性疊加公式及無窮守恒律，文獻[7-8]獲得了該方程的多組精確解.

1 Benjamin-Ono方程的對稱性約化

對于Benjamin-Ono方程:

htt+q(h2)xx+rhxxxx=0

(1)

尋找如下形式的對稱性約化:

u(x,t)=α(x,t)+β(x,t)φ(ω(x,t))

(2)

其中：α(x,t),β(x,t),ω(x,t)為待定函數(shù).

將式(2)代入式(1)并合并φ(x,t)的單項式以及φ(x,t)的相同導(dǎo)數(shù)的同類項可得到：

+q(4αxβwx+4αβxwx+2αβwxx)+2βtwt+βwtt]φ′+[rβxxxx+q(2αxxβ+4αxβx+

(3)

要使上述方程約化為φ(w)的常微分方程，那么φ(w)的不同導(dǎo)數(shù)的不同次冪的系數(shù)均為w的函數(shù).

為了確定待定函數(shù)α(x,t),β(x,t),w(x,t)，有幾個規(guī)則可以利用：

規(guī)則1 取φ(4)的系數(shù)作為公共因子.

規(guī)則2 若α(x,t)=α0(x,t)+β(x,t)Ω(x,t)來確定，則可以取 Ω(x,t)=0.

規(guī)則3 若β(x,t)有β(x,t)=β0(x,t)Ω(x,t)則可以取 Ω(x,t)=1.

規(guī)則4 若w(x,t)由 Ω(x,t)=w0(x,t)，則Ω(x,t)是任意一個可逆函數(shù)，因此可以取Ω(x,t)=w(x,t).

(4)

w(x,t)=xρ(t)+τ(t)

(5)

其中：ρ(t),τ(t)是待定函數(shù)，再由式(4)有：

(6)

(7)

由式(5)～(7)，式(3)化簡成：

(8)

式(8)要化成φ(w)的常微分方程，則滿足：

(9)

(10)

(11)

其中：γ1(w),γ2(w),γ3(w)為待定函數(shù).

首先，由于式(9)的左端是x的線性形式，且w(x,t)=xρ(t)+τ(t)，故可以設(shè)γ1(w)=Aw+B，其中A,B是常數(shù).

由式(9)～(11)可得：

rρ4[A(ρx+τ)+B]=xρ″+τ″.

令x的不同次冪的系數(shù)為零可得：

ρ″=rAρ5

(12)

τ″=rρ4(Aτ+B)

(13)

容易看出：

γ2(w)=2A,γ3(w)=-2(Aw+B)2.

這樣便得到了Benjamin-Ono方程的對稱性約化:

其中：ρ(t),τ(t)滿足式(12)，(13)，φ(w)滿足：

φ(4)+φφ″+φ′2+(Aw+B)φ′+2Aφ=2(Aw+B)2.

下面分三種情況進行討論：

情形1A=0,B=0，此時由式(12)，(13)可解出：

ρ(t)=a1t+a0，τ(t)=b1t+b0.

則可得Benjamin-Ono方程的對稱性約化為:

情形2A=0,B≠0，此時由式(12)，(13)可解出：

ρ(t)=a1t+a0，τ″(t)=rB(a1t+a0)4.

其中φ(w)滿足φ?+φφ′+Bφ=2B2w+c0，此方程等價于 PainleveⅡ方程.

其中φ(w)滿足φ?+φφ′+Bφ=2B2w+c0，此方程等價于 PainleveⅡ方程.

情形3A≠0,B=0，此時由式(12)可得出：

(14)

此時可得對稱性約化為:

其中φ(w)滿足φ(4)+φφ″+φ′2+Awφ′+2Aφ=2A2w2，此方程等價于 PainleveⅡ方程.

2)當(dāng)A0≠0時，式(14)可利用雅可比橢圓函數(shù)求解.

η′2=(1-η2)(1-λ2η2)

(15)

若取D為零，可得到如下的對稱性約化:

u(x,t)=(sn2(t+t0;λ)+rA)-1φ(w)-[C(sn2(t+t0,λ)-rA)-

{x+c([3λ2(2-λ2)]t-λ-2E((t+t0,λ))}-[sn(t+t0,λ)×

其中:

φ(w)滿足φ(4)+φφ″+φ′2+Awφ′+2Aφ=2A2w2，此方程等價于PainleveⅣ型方程.

[1] Rodica Cimpoiasu,Rodu Constantinescu.Lie symmetries and invariants for a 2D nonlinear heat equation[J].Nonlinear Analysis,2008,68:2261-2268.

[2] 范恩貴.二類變式Boussinesq方程的對稱性約化和精確解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報，1999,19(4)：373-378.

[3] 樓森岳,唐曉艷.非線性數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

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SymmetryReductionsoftheBenjamin-OnoEquation

FANG Chun-mei

(Department of Mathematics,Jining Teachers College,Wulanchabu 012000,China)

CK direct method is a simple and effective way to find symmetry reductions of partial differential equations and the idea of the method is to reduce the high dimensional partial differential equation to a low-dimensional ordinary differential equation.According to this method,some new symmetry reductions of the Benjamin-Ono equation are obtained,including the first,second,and fourth Painleve equations.

CK direct method; Benjamin-Ono equation; similarity reductions

2013-04-03.

房春梅(1985- )，女(蒙古族)，碩士研究生,主要從事孤子方程與可積系統(tǒng)的研究.

O290

A

1008-8423(2013)02-0190-04