朱天文，王宏力，陳 堅(jiān)，張立波

(第二炮兵工程大學(xué)304室，陜西西安710025)

0 引言

對(duì)于高可靠度產(chǎn)品，采用傳統(tǒng)的方法很難獲得大量的失效數(shù)據(jù)，從而使基于失效數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行可靠度評(píng)估變得非常困難。由于大部分產(chǎn)品的失效機(jī)理最終可以追溯到產(chǎn)品潛在的性能退化過(guò)程，從某種意義上講可以認(rèn)為性能退化最終導(dǎo)致了產(chǎn)品失效(或故障)的產(chǎn)生。因此，可以使用性能退化數(shù)據(jù)分析代替?zhèn)鹘y(tǒng)的失效數(shù)據(jù)分析來(lái)進(jìn)行產(chǎn)品的可靠度評(píng)估［1］。近十幾年來(lái)，國(guó)內(nèi)外很多的專家都對(duì)基于退化數(shù)據(jù)的產(chǎn)品可靠度評(píng)估方法進(jìn)行了研究［2～5］，這些基于退化失效建模的理論主要針對(duì)只有單性能退化量的情形。事實(shí)上，大多數(shù)產(chǎn)品具有多個(gè)性能退化量，其中任何一個(gè)特征量的退化都會(huì)對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)生很大的影響，甚至引起產(chǎn)品的失效。

目前，基于多性能退化量的可靠度評(píng)估方法研究不多，文獻(xiàn)［6］分析了具有多性能退化特征參數(shù)與產(chǎn)品失效之間的相關(guān)性，并運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)函數(shù)的方法，建立了概率表達(dá)式，但沒(méi)有考慮多個(gè)退化量間的相關(guān)性。文獻(xiàn)［7］分析了退化量之間的相關(guān)性，給出了基于多性能退化分析的一般模型，并用一個(gè)仿真實(shí)例證明了忽視退化量之間的相關(guān)性會(huì)低估產(chǎn)品可靠度。文獻(xiàn)［8］先用基于單退化量軌跡的方法對(duì)求出各個(gè)退化量隨時(shí)間變化的函數(shù)，得到產(chǎn)品各個(gè)退化量在需要時(shí)刻的值，再用多性能退化量分析方法［7］計(jì)算這些時(shí)刻的可靠度，并對(duì)某航空液壓泵的性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。這種方法對(duì)退化軌跡相對(duì)簡(jiǎn)單的產(chǎn)品效果較好，而對(duì)于大部分的產(chǎn)品，由于退化的軌跡未知，所以，運(yùn)用此種方法時(shí)需要對(duì)退化軌跡進(jìn)行假設(shè)，可能存在一定的誤差，影響可靠度預(yù)測(cè)的效果。

本文針對(duì)大部分產(chǎn)品性能退化規(guī)律復(fù)雜，退化軌跡未知的情況，在分析多性能退化一般模型的建模方法基礎(chǔ)上，利用多性能退化量分析方法［7］建立了產(chǎn)品在各個(gè)檢驗(yàn)時(shí)刻的可靠度評(píng)估模型，并利用三參數(shù)威布爾分布方法建立了多退化量產(chǎn)品的可靠度預(yù)測(cè)模型，并對(duì)某滑片泵的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠度預(yù)測(cè)，驗(yàn)證了該模型的有效性。

1 多性能退化數(shù)據(jù)評(píng)估模型

假設(shè)退化試驗(yàn)的容量為 p，在t1，t2，…，tm時(shí)刻對(duì)多退化特征隨機(jī)樣本進(jìn)行檢測(cè)，并利用檢測(cè)到的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)產(chǎn)品的可靠度。為了便于分析，還需如下假設(shè):1)試驗(yàn)中，每個(gè)樣本都是隨機(jī)選擇的;2)所有樣本的各個(gè)性能退化特征量的測(cè)量時(shí)刻和測(cè)量次數(shù)都是相同的;3)多個(gè)退化特征量之間可以是獨(dú)立的，也可以是相關(guān)的;4)各退化特征量都是單調(diào)遞減的;5)各退化特征量在檢驗(yàn)時(shí)刻t服從某種分布族。

利用檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)產(chǎn)品的可靠度進(jìn)行分析時(shí)，首先應(yīng)判斷多個(gè)退化特征量間是否相關(guān)。如果它們之間相互獨(dú)立，可直接利用類似串聯(lián)系統(tǒng)的分析方法解決;如果它們是相關(guān)的，可通過(guò)測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)它們的聯(lián)合分布概率密度函數(shù)，然后，估計(jì)出產(chǎn)品的可靠度。

設(shè)產(chǎn)品有n個(gè)退化特征量，在t1，t2，…，tm時(shí)刻對(duì)p個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)，相互獨(dú)立時(shí)，產(chǎn)品在t時(shí)刻的可靠度為

當(dāng)n個(gè)退化特征量相關(guān)時(shí)，產(chǎn)品的可靠度為

式(1)和式(2)中，f(xi(t))表示退化量xi(t)在t時(shí)刻的概率密度函數(shù)，Di為第i個(gè)特征量的失效閾值，i=1，2，…，n，f(x1(t)，x2(t)，…，xn(t))表示 n個(gè)退化特征量在 t時(shí)刻的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

2 三參數(shù)威布爾分布及其參數(shù)估計(jì)

由于威布爾分布具有隨著形狀參數(shù)的變化反映不同失效規(guī)律的特性，對(duì)于大部分產(chǎn)品在退化軌跡未知的情況下，可以用威布爾分布來(lái)描述壽命變化的規(guī)律。

威布爾分布的可靠度函數(shù)為

其中，m為形狀參數(shù)，η為尺度參數(shù)，γ為位置參數(shù)。

為了方便對(duì)上述壽命分布中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，對(duì)式(3)方程兩邊取2次自然對(duì)數(shù)，并采用如下變換:令z=ln(t-γ)，μ=lnη，σ=1/m，此時(shí)，z=μ+σln［-ln(R(t))］。

當(dāng)γ已知時(shí)，可用最小二乘法求μ和σ的估計(jì)值，進(jìn)而可以算出m和η，代入式(3)可以求出任意時(shí)刻的可靠度估計(jì)值 ^R(t)。

當(dāng)只知道γ的取值范圍時(shí)，在很小的間隔內(nèi)，分別對(duì)γ不同取值求出 ^R(t)，用 ^R(t)代替R(t)，并令y(t)=ln(tγ)，x(t)=ln［-ln^R(t)］，可得到下面的線性模型

其中，ε(t)為零均值的白噪聲誤差。令

依上式的Q值最小為標(biāo)準(zhǔn)，搜索得到參數(shù)m，η，γ的估計(jì)值。

3 退化軌跡未知的可靠度預(yù)測(cè)方法與模型

為了在產(chǎn)品退化的軌跡未知情況下，通過(guò)分析產(chǎn)品的檢測(cè)數(shù)據(jù)得到可靠度預(yù)測(cè)模型，利用威布爾分布具有隨著形狀參數(shù)的變化反映不同失效規(guī)律的特性，本文在運(yùn)用多性能退化量分析方法建立了產(chǎn)品在各檢驗(yàn)時(shí)刻的可靠度評(píng)估模型的基礎(chǔ)上，采用三參數(shù)威布爾建立可靠度預(yù)測(cè)模型。具體步驟包括檢驗(yàn)退化量之間的相關(guān)性、評(píng)估各個(gè)檢驗(yàn)時(shí)刻的可靠度、建立可靠度預(yù)測(cè)模型。

3.1 檢驗(yàn)退化量之間的相關(guān)性

使用下面的協(xié)方差矩陣來(lái)判斷t時(shí)刻各個(gè)退化特征量間的相關(guān)性

其中，Var(xi(t))表示第i個(gè)退化量的方差，Cov(xi(t)，xj(t))，表示第i個(gè)退化量xi(t)和第j個(gè)退化量xj(t)的協(xié)方差，可用下式計(jì)算

式中 μxi(t)為 t時(shí)刻 xi(t)的均值，i=j=1，2，…，n。

若Cov(xi(t)，xj(t))=0，說(shuō)明第i個(gè)退化量和第j個(gè)退化量獨(dú)立。

若Cov(xi(t)，xj(t))≠0，說(shuō)明第i個(gè)退化量和第j個(gè)退化量相關(guān)。

3.2 評(píng)估各個(gè)檢驗(yàn)時(shí)刻的可靠度

若性能特征量之間獨(dú)立，分別針對(duì)每個(gè)性能參數(shù)，將t時(shí)刻的p個(gè)樣本的性能退化量進(jìn)行分布假設(shè)檢驗(yàn)，選擇最合適的分布，估計(jì)出分布參數(shù)，按照式(1)計(jì)算各個(gè)時(shí)刻可靠度。

若性能特征量之間相關(guān)，估計(jì)出各個(gè)時(shí)刻的聯(lián)合分布密度函數(shù)，一般可假定服從多元正態(tài)分布。若不服從多元正態(tài)分布，可用Box-Cox變換，使得變換后的多元退化數(shù)據(jù)服從多元正態(tài)分布。多元正態(tài)分布的聯(lián)合分布概率密度可用下式計(jì)算

式中 x(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xn(t)］是退化特征量的列向量，|∑(t)|是協(xié)方差矩陣的行列式，μ(t)=［μx1(t)，μx2(t)，…，μxn(t)］T是退化量的均值向量。然后按照式(2)計(jì)算各個(gè)時(shí)刻的可靠度R(tk)(k=1，2，…，m)。

3.3 建立可靠度預(yù)測(cè)模型

根據(jù)求出的各個(gè)時(shí)刻的可靠度R(tk)，使用第2節(jié)中三參數(shù)威布爾分布方法得到可靠度的分布函數(shù)，完成可靠度預(yù)測(cè)。

4 實(shí)例分析

以某加油車用滑片泵［9］為樣本進(jìn)行性能測(cè)試，每隔一段時(shí)間記錄一次泵的轉(zhuǎn)速和流量數(shù)據(jù)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示，樣本量為4，發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速保持不變。泵無(wú)故障判斷的標(biāo)準(zhǔn)是轉(zhuǎn)速不低于750 r/min，流量不低于500 L/min。

表1 轉(zhuǎn)速與流量數(shù)據(jù)表Tab 1 Data sheet of rotation rate and flow

現(xiàn)根據(jù)本文的方法進(jìn)行可靠度分析，求出可靠度分布函數(shù)。

由式(6)和式(7)得各時(shí)刻協(xié)方差矩陣和均值向量如表2所示。

表2 各個(gè)時(shí)刻的協(xié)方差矩陣和均值(轉(zhuǎn)速:r/min;流量:L/min)Tab 2 Covariance matrix and means in different time

從表2中的數(shù)據(jù)可以看出:2個(gè)退化量在各個(gè)檢驗(yàn)時(shí)刻是相關(guān)的，其相關(guān)性隨時(shí)間的延長(zhǎng)逐漸增強(qiáng)，運(yùn)用退化量相關(guān)時(shí)的算法，根據(jù)式(8)和式(2)求出產(chǎn)品在各個(gè)檢驗(yàn)時(shí)刻的可靠度，見(jiàn)表3。

表3 各個(gè)檢驗(yàn)時(shí)刻的可靠度Tab 3 Reliability in different test time

從表3的各個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)的可靠度值來(lái)看，直到1 000 h，產(chǎn)品的可靠度仍達(dá)到0.99999。因此，可以認(rèn)為產(chǎn)品在1000 h內(nèi)不會(huì)發(fā)生失效，所以，γ的取值范圍應(yīng)該為:γ∈［1 000，1200］，利用式(5)搜索得到γ=1090時(shí)，Q值最小，此時(shí)，m=2.0080，η =727.2483。

于是，由式(3)得產(chǎn)品可靠度預(yù)測(cè)的模型為

利用文獻(xiàn)［8］中退化軌跡擬合法處理本實(shí)例得到2個(gè)退化量的退化軌跡如圖1和圖2所示;取t=500，1 000，1400，1600，1800五個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，用文獻(xiàn)［8］方法得到它們的協(xié)方差陣、均值和可靠度，如表4所示。

圖1 轉(zhuǎn)速退化軌跡Fig 1 Degradation paths of rotation rate

圖2 流量退化軌跡Fig 2 Degradation paths of flow

表4 文獻(xiàn)［8］方法得到的各個(gè)時(shí)刻的可靠度Tab 4 Reliability in different test time based on method of the 8th reference

用本文求出的模型式(9)得到上述5個(gè)時(shí)刻的可靠度為表5所示。

表5 新模型預(yù)測(cè)的各個(gè)時(shí)刻的可靠度Tab 5 Predicted reliability in different test time based on the new model

從對(duì)比結(jié)果可以看出:用本文方法得到的可靠度預(yù)測(cè)模型在所取的5個(gè)檢驗(yàn)時(shí)刻的誤差較小，能更好地預(yù)測(cè)產(chǎn)品各個(gè)時(shí)刻的可靠度，避免了模型假設(shè)時(shí)可能存在的誤差，具有良好的適應(yīng)性。

5 結(jié)束語(yǔ)

利用威布爾分布具有隨著形狀參數(shù)的變化反映了不同失效規(guī)律的特性，建立了退化軌跡未知的具有多性能退化量的產(chǎn)品可靠性預(yù)測(cè)的模型，并通過(guò)實(shí)例對(duì)模型預(yù)測(cè)的能力進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明:本文建立的模型不依賴于退化軌跡，具有良好的適應(yīng)性。

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