張 淼，周福泉，王 震

（1.長(zhǎng)春工程學(xué)院理學(xué)院；2.能源動(dòng)力工程學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引言

任一線彈性結(jié)構(gòu)或機(jī)械系統(tǒng)，在承受外界激勵(lì)或動(dòng)力載荷時(shí)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)取決于其物理特性，以適當(dāng)?shù)膮?shù)形式來(lái)表征這些特性，形成數(shù)學(xué)模型是動(dòng)力學(xué)分析的起點(diǎn)，所揭示的本質(zhì)現(xiàn)象和研究方法是結(jié)構(gòu)振動(dòng)研究的基礎(chǔ)。

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程總是在一定的坐標(biāo)系中用坐標(biāo)來(lái)描述的，設(shè)法使一組本來(lái)耦合的方程組，變?yōu)橐唤M無(wú)耦合的方程組，使每一個(gè)方程中只有一個(gè)待求的坐標(biāo)時(shí)，每個(gè)微分方程便可獨(dú)立求解［1］。工程結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程的解耦，事實(shí)上是選擇或構(gòu)造適當(dāng)?shù)目臻g（例如歐氏或酉特征空間等）把系統(tǒng)性質(zhì)矩陣對(duì)角化的過(guò)程。

1 工程中廣義特征問(wèn)題的產(chǎn)生及形式

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動(dòng)的微分方程

式中：M，C和K∈CN×N分別代表質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣等性質(zhì)矩陣；x（t）∈RN為廣義坐標(biāo)向量；t∈R＋代表時(shí)間。

做拉普拉斯變換x（t）＝uest＝ueiωt（s＝iω），代入式（1）得

如果si∈C滿足特征方程

稱(chēng)為系統(tǒng)（1）的第i個(gè)頻率，同時(shí)ui∈CN稱(chēng)為系統(tǒng)（1）與si相對(duì)應(yīng)的第i個(gè)右（復(fù)）模態(tài)。在工程實(shí)踐中，特征對(duì)（si，ui）是系統(tǒng)最重要的參數(shù)之一——模態(tài)參數(shù)，是振動(dòng)測(cè)試與分析的主要對(duì)象［2］。

1.1 工程振動(dòng)系統(tǒng)的劃分

當(dāng)系統(tǒng)性質(zhì)矩陣為Hermite矩陣時(shí)，此時(shí)稱(chēng)系統(tǒng)（1）稱(chēng)為保守系統(tǒng)，但當(dāng)系統(tǒng)性質(zhì)矩陣為非Hermite矩陣時(shí)，則稱(chēng)系統(tǒng)（1）為非保守系統(tǒng)。

若系統(tǒng)的頻率全不相同，則稱(chēng)為單頻結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，若系統(tǒng)有重頻，但重頻的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)相符，則對(duì)應(yīng)的振動(dòng)系統(tǒng)稱(chēng)為重頻完備系統(tǒng)，若系統(tǒng)有重頻，但重頻的幾何重?cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù)，則對(duì)應(yīng)的振動(dòng)系統(tǒng)稱(chēng)為重頻虧損系統(tǒng)［3］。由于這一問(wèn)題的復(fù)雜性，本文的討論僅針對(duì)單頻對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)。

1.2 無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的特征問(wèn)題

在相當(dāng)短的一個(gè)時(shí)間內(nèi)來(lái)研究機(jī)械系統(tǒng)自由振動(dòng)狀態(tài)時(shí)，可以認(rèn)為它是一種無(wú)阻尼的自由振動(dòng)，此時(shí)令振動(dòng)系統(tǒng)（1）中的阻尼陣為零矩陣，即產(chǎn)生廣義特征問(wèn)題：

或?qū)懗?/p>

解出滿足上述特征方程的ui和si（?i＝1，2，…，2N）即為系統(tǒng)的無(wú)阻尼純模態(tài)及頻率。此時(shí)頻率均為共軛的虛數(shù)，對(duì)應(yīng)的純模態(tài)將含有復(fù)值模態(tài)位移，但某個(gè)模態(tài)向量的各元素之間的相位差不是0°就是180°，因此選擇適當(dāng)?shù)谋壤蜃涌蓪⑦@些模態(tài)向量換算成純實(shí)數(shù)值向量，即為固有振型向量（實(shí)態(tài)）。

1.3 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)空間格式的特征問(wèn)題

狀態(tài)空間格式在多自由度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析、與靈敏度分析相關(guān)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改、結(jié)構(gòu)集成和結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域［4－5］中有著廣泛的應(yīng)用。一方面由于狀態(tài)方程具有可分離的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，因此比傳統(tǒng)的方法更為優(yōu)越，特別是對(duì)于多激勵(lì)輸入輸出系統(tǒng)，狀態(tài)空間具有明顯的優(yōu)勢(shì)，其次狀態(tài)方程描述一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，不論系統(tǒng)多復(fù)雜，狀態(tài)空間的描述總是具有統(tǒng)一簡(jiǎn)潔的形式，并可用多種分析技術(shù)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算［6］。

另一方面，對(duì)非比例黏性阻尼，如果用無(wú)阻尼固有振型向量無(wú)法使阻尼矩陣對(duì)角化，或者說(shuō)阻尼力與速度成正比，不能用復(fù)剛度來(lái)體現(xiàn)其作用時(shí)，就必須尋找合適的坐標(biāo)體系進(jìn)行坐標(biāo)變換，使振動(dòng)微分方程解耦。因?yàn)闋顟B(tài)空間法可以將N維空間中描述的結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)移到2 N維狀態(tài)空間中描述，其根本目的是利用狀態(tài)向量的解耦性能來(lái)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)方程的解耦，從而把相關(guān)結(jié)論反映至原N維空間中描述的結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程中去。

設(shè)

代入方程（1），則該二階系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為如下一階系統(tǒng)：

其中

稱(chēng)為系統(tǒng)（1）的狀態(tài)矩陣，式（6）稱(chēng)為AB型狀態(tài)方程［7］。

作拉普拉斯變換x（t）＝uest＝ueiωt（s＝iω）代入式（6），則有

經(jīng)驗(yàn)證可知特征對(duì)（si，ui）同時(shí)滿足特征方程

由式（8）和式（9）可知，原系統(tǒng)（1）的振動(dòng)特征問(wèn)題轉(zhuǎn)化為廣義特征問(wèn)題：

其中

稱(chēng)為右狀態(tài)向量，注意到它的后N維恰為振動(dòng)系統(tǒng)（1）的右模態(tài)向量。

事實(shí)上，無(wú)論是N維向量空間中描述的無(wú)阻尼特征方程式（4），還是在2 N維狀態(tài)空間中描述的狀態(tài)方程式（10），都具有統(tǒng)一的廣義特征形式

分析這種統(tǒng)一性，為工程中復(fù)雜系統(tǒng)的振動(dòng)分析提供了更為廣闊的視野，依賴(lài)這種統(tǒng)一性，許多針對(duì)無(wú)阻尼系統(tǒng)開(kāi)發(fā)的振動(dòng)分析方法均可應(yīng)用于阻尼系統(tǒng)。

2 廣義特征問(wèn)題的求解及特征矩陣的對(duì)角化

對(duì)式（12）的廣義特征問(wèn)題：

（1）如果Q是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，P是實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，則可通過(guò)對(duì)P進(jìn)行楚列斯基分解，直接求得廣義特征值與廣義特征向量。

（2）如果僅當(dāng)P可逆時(shí)，廣義特征問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般特征問(wèn)題

注意，一般情況下，P－1Q是非對(duì)稱(chēng)陣。

（3）如果僅當(dāng)M可逆時(shí)，還可通過(guò)轉(zhuǎn)化狀態(tài)方程的形式，也可將廣義特征問(wèn)題（10）轉(zhuǎn)化為一般特征問(wèn)題。

對(duì)線性振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式（1），設(shè)

代入方程（1），則該二階系統(tǒng)將轉(zhuǎn)化為如下一階系統(tǒng)：

其中

稱(chēng)為系統(tǒng)（1）的狀態(tài)矩陣，式（14）稱(chēng)為A型狀態(tài)方程［7］。

作拉普拉斯變換代入式（14），則有

且同樣滿足式（9），由此可知原系統(tǒng)（1）的振動(dòng)特征問(wèn)題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)矩陣A的一般特征問(wèn)題

其中

稱(chēng)為狀態(tài)矩陣A的狀態(tài)向量，它的前N維恰為振動(dòng)系統(tǒng)（1）的模態(tài)向量。

在上述轉(zhuǎn)化方法下，將廣義特征問(wèn)題的求解處理成一般特征問(wèn)題，轉(zhuǎn)化后比較容易應(yīng)用矩陣代數(shù)理論討論其對(duì)角化問(wèn)題，在此不再贅述。但值得注意的是因?yàn)楣こ虇?wèn)題的獨(dú)特性，其一般結(jié)論將有所變化。下面提出一種基于工程振動(dòng)分析思想來(lái)求解廣義特征問(wèn)題及討論其對(duì)角化的新方法。

（4）眾所周知，對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)，其固有振型（實(shí)模態(tài)）是可以將質(zhì)量和剛度矩陣對(duì)角化。利用這一點(diǎn)，可以使用Matlab工具箱中的命令即可對(duì)任一廣義特征問(wèn)題λPx＝Qx求解并實(shí)現(xiàn)對(duì)角化。

步驟1：輸入原始性質(zhì)矩陣P和Q。

步驟2：用命令polyeig（P，0，Q），輸出無(wú)阻尼純模態(tài)及頻率s1，s2，…，（其中（·）＊代表（·）的共軛）。

步驟3：構(gòu)造實(shí)模態(tài)矩陣U ＝ ［u1，u2，…，un］。

步驟5：檢驗(yàn)UHPU＝E，UHQU＝Λ。

需要注意的是在步驟3中，需將含有復(fù)值模態(tài)位移的純模態(tài)調(diào)整為實(shí)模態(tài)。經(jīng)過(guò)本文作者多次實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，即便使用沒(méi)有經(jīng)過(guò)調(diào)整的純模態(tài)也可以完成對(duì)角化。數(shù)值算例1將說(shuō)明這種方法的有效性。

3 實(shí)現(xiàn)廣義特征問(wèn)題對(duì)角化的條件

下面給出矩陣代數(shù)中的酉空間對(duì)角化的相關(guān)理論。

定義1 如果方陣A滿足AH＝A，則A為一個(gè)Hermite矩陣。（（）·H表示（）·的共軛轉(zhuǎn)置，即（）·H＝

定義2 如果復(fù)矩陣A滿足AHA＝E，則稱(chēng)A為一個(gè)酉矩陣。

定義3 如果復(fù)矩陣A滿足AHA＝AAH，則稱(chēng)A為一個(gè)正規(guī)矩陣。

定理1 在數(shù)域F上，n階矩陣A能與某對(duì)角陣相似的充要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

定理2 在數(shù)域F上，n階矩陣A相應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。

定理3 在數(shù)域F上，若n階矩陣A存在n個(gè)互異的特征值，則A在數(shù)域F上相似于對(duì)角陣。

定理4 Hermite矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。

定理5 Hermite矩陣相應(yīng)于不同特征值的特征向量相互正交。

定理6 對(duì)于n階Hermite矩陣必有n階酉矩陣U使

U－1AU ＝UHAU ＝diag（λ1，…，λn）其中λ1，…，λn是A的全部特征值。

定理7 A酉相似于對(duì)角陣的充分必要條件是A為正規(guī)矩陣。

根據(jù)上述酉空間對(duì)角化理論，結(jié)合本文對(duì)工程中廣義特征問(wèn)題的討論，可推得如下結(jié)論：

（1）單頻對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)對(duì)角化實(shí)現(xiàn)的條件：對(duì)廣義特征問(wèn)題λPx＝Qx，特征空間一般不能對(duì)角化P－1Q或A型狀態(tài)矩陣，但卻能對(duì)角化P和Q，數(shù)值算例2將說(shuō)明這一結(jié)論的正確性。

（2）在酉空間中任意線性無(wú)關(guān)的向量可以用施密特正交化方法正交化，這在重頻保守系統(tǒng)解耦過(guò)程中可以得到很好的應(yīng)用，但要注意性質(zhì)

（3）任一非零酉空間都存在正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基，這為各種振系的解耦提供了可實(shí)現(xiàn)的基本條件。

（4）定理6中U的求法與歐氏空間中相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣求正交相似變換陣使之對(duì)角化的方法類(lèi)似。

4 數(shù)值算例

設(shè)某振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)矩陣為

顯然這是一個(gè)對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)。

4.1 數(shù)值算例1

利用本文2.3中提出的算法，下面按無(wú)阻尼形式的廣義特征問(wèn)題模式s2Mu＝－Ku實(shí)現(xiàn)（M，K）對(duì)角化。純模態(tài)為

無(wú)阻尼固有頻率矩陣為

規(guī)范化后無(wú)阻尼固有振型（實(shí)模態(tài)）為

檢驗(yàn)后可知：UTMU＝E，UTKU＝－Λ

4.2 數(shù)值算例2

首先用式（3）、式（10）及式（17）三種特征形式解得的有阻尼系統(tǒng)的不同頻率所屬的復(fù)模態(tài)向量雖不完全相同，卻成比例，因此可以說(shuō)明它們是一致的。其次用狀態(tài)向量的構(gòu)成形式式（18），對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)空間格式的廣義特征問(wèn)題sAφ＝－Bφ來(lái)實(shí)現(xiàn)（A，B）的對(duì)角化。

阻尼頻率矩陣為S＝diag（－0.024 5＋9.7i－0.024 5－9.7i －0.043 3＋1.502 3i －0.044 3－1.502 3i －0.035 2＋6.135 4i －0.035 2－6.135 4i－0.360 0＋4.227 3i －0.360 0－4.227 3i －0.120 0＋2.446 5i －0.120 0－2.446 5i）。

通過(guò)計(jì)算可知此例中規(guī)范化常數(shù)為復(fù)數(shù)，因此只能分配給一組狀態(tài)向量，而使另一組狀態(tài)向量不變，所以規(guī)范化后的狀態(tài)向量分別為

檢驗(yàn)可知：VTAU＝E，VTBU＝－S

5 結(jié)語(yǔ)

本文是從數(shù)學(xué)與力學(xué)的交叉角度出發(fā)，首先提煉了工程力學(xué)中產(chǎn)生廣義特征問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，然后提出了求解廣義特征問(wèn)題的3種方法，再指出系統(tǒng)性質(zhì)矩陣或狀態(tài)矩陣對(duì)角化的實(shí)現(xiàn)條件，并建立了用工程方法實(shí)現(xiàn)廣義特征模型對(duì)角化的算法，最后數(shù)值算例證明了本文方法與結(jié)論的正確性。

［1］于瀾.關(guān)于阻尼線性振動(dòng)系統(tǒng)的廣義特征問(wèn)題的討論［J］.長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，8（3）：83－85.

［2］于瀾，張任，樂(lè)明鋒，等.模態(tài)參數(shù)的靈敏度分析在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域中的應(yīng)用［J］.長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，13（3）：1－3.

［3］張淼，于瀾，鞠偉.基于松馳技術(shù)的重頻密頻結(jié)構(gòu)模態(tài)靈敏度分析［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，35（12）：1605－1609.

［4］朱凼凼，馮咬齊，宋海豐.一種基于加速度頻響函數(shù)的動(dòng)力學(xué)模型修正方法 ［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，26（3）：329－331.

［5］任建亭，姜節(jié)勝.一種逆優(yōu)化設(shè)計(jì)振動(dòng)控制作動(dòng)器的數(shù)目和位置的方法 ［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2002，23（1）：120－124.

［6］張森文，曹開(kāi)彬.計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的狀態(tài)方程直接積分法［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，17（1）：94－97.

［7］張淼，陳慶文.兩種常見(jiàn)的狀態(tài)方程及其特征向量的正交性［J］.長(zhǎng)春工程學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，12（2）：122－125.