姚春燕 陳思源 彭 偉

浙江工業(yè)大學(xué)特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，310032

0 引言

太陽(yáng)能光伏發(fā)電產(chǎn)業(yè)的迅猛發(fā)展對(duì)硅片的切割加工技術(shù)提出了更高的要求。目前，硅片切割主要采用多線鋸切割的方式，即在研磨液配合下，用高強(qiáng)度超細(xì)切割鋼絲將單晶硅或多晶硅的基體硅錠鋸切成片。切割用線鋸主要包括游離磨料線鋸和固結(jié)磨料線鋸兩大類(lèi)。在工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域，基體硅片的切割通常采用游離磨料線鋸，但這種切割方式存在著生產(chǎn)效率低下、環(huán)境污染嚴(yán)重及研磨液后續(xù)處理成本較高等主要缺點(diǎn)。由此，彭偉等［1］提出了一種全新的線鋸切割技術(shù)。這種新型線鋸的主要特點(diǎn)是：在超細(xì)琴鋼絲的基體（內(nèi)線）表面，包覆有較耐磨與耐拉的金屬絲線（外線，如碳素彈簧鋼絲等）冷繞成形的致密微細(xì)槽型。為保證鋸絲纏繞的強(qiáng)度與穩(wěn)定性，冷繞外線的直徑應(yīng)小于基體內(nèi)線的直徑，且滿足跨高比，從而忽略剪切變形在冷繞過(guò)程中對(duì)橫截面的影響。

鋸絲冷繞成形時(shí)，外線將承受較大的彈塑性彎曲，而彈性部分卸載后的恢復(fù)使得成形后曲率有所減小，因此，外線冷繞彎曲存在回彈的問(wèn)題［2］。影響回彈的因素很多，很難從理論上精確計(jì)算彎曲的回彈量并通過(guò)現(xiàn)有的工藝來(lái)完全避免回彈。回彈的存在使彎曲后的制件尺寸精度降低并產(chǎn)生形狀誤差，它是制約彎曲件生產(chǎn)質(zhì)量、成本，并限制生產(chǎn)效率的關(guān)鍵因素之一，也是彎曲成形中亟待解決的質(zhì)量問(wèn)題［3-6］。

最早的簡(jiǎn)單彎曲回彈研究始于20世紀(jì)50年代，Gardiner等基于彎曲理論模型對(duì)理想彈塑性板彎曲及回彈問(wèn)題進(jìn)行了研究［7］。而采用數(shù)值模擬方法對(duì)實(shí)際存在的復(fù)雜彎曲回彈問(wèn)題研究始于20世紀(jì)70年代［8-9］。盡管各國(guó)學(xué)者在板料彎曲回彈方面做了大量工作，但對(duì)于鋼絲的彎曲成形及回彈問(wèn)題研究則較少。已有鋼絲、鋼管等的彎曲回彈研究大多采用類(lèi)似于板材的彎曲回彈理論［10-11］?？谞N［12］針對(duì)口腔正畸不銹鋼絲，運(yùn)用有限元方法對(duì)其彎曲成形和回彈問(wèn)題進(jìn)行了模擬；Tang［13］根據(jù)塑性理論對(duì)管材彎曲中的應(yīng)力分布、壁厚變形及彎矩等進(jìn)行了分析；張立玲［14］根據(jù)彎曲條件下的應(yīng)力應(yīng)變分析和回彈理論，推導(dǎo)了管材回彈量的計(jì)算公式；劉志剛等［15］依據(jù)恒力場(chǎng)理論和彈性極限回彈理論，采用分段曲線型和折線型法，通過(guò)試彎確定了回彈角公式。這些文獻(xiàn)大都從彈塑性純彎曲理論出發(fā)，討論鋼絲、鋼管等彎曲時(shí)截面內(nèi)的應(yīng)力與應(yīng)變、彎矩與曲率以及回彈的問(wèn)題。但是，新型鋸絲的冷繞成形是一個(gè)蘊(yùn)含了拉伸和彎曲的復(fù)合變形過(guò)程，是一種包含幾何非線性、材料非線性和邊界非線性在內(nèi)的復(fù)雜非線性問(wèn)題。

為了清晰地揭示新型鋸絲在冷繞成形過(guò)程中的彎曲變化規(guī)律及回彈對(duì)鋸絲內(nèi)外線徑所帶來(lái)的影響以提高鋸絲成形的精度，本文基于理想彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系的彎曲及彈性卸載理論，以解析的方法對(duì)鋸絲冷繞成形及回彈問(wèn)題進(jìn)行了分析，以期為后續(xù)的研究提供參考。

1 鋸絲冷繞成形過(guò)程分析

鋸絲（圖1）的冷繞成形是一個(gè)外線沿著彎曲線逐漸變形的過(guò)程，也是一個(gè)鋸絲橫截面由外至內(nèi)逐漸變形的過(guò)程，因此，外線的彎曲過(guò)程經(jīng)歷了彈性應(yīng)力應(yīng)變和塑性應(yīng)力應(yīng)變的不同變形階段，這種連續(xù)漸進(jìn)的變形路徑會(huì)對(duì)彎曲卸載后的回彈產(chǎn)生復(fù)雜的影響。

圖1 鋸絲的結(jié)構(gòu)示意圖

彎曲初期，彎矩較小，外線處于較大曲率狀態(tài)，只產(chǎn)生彈性變形。隨著彎矩的增大，當(dāng)曲率達(dá)到一定值時(shí)，外線開(kāi)始產(chǎn)生塑性變形。當(dāng)彎矩繼續(xù)增大，塑性變形由外部向內(nèi)部擴(kuò)展，塑性變形區(qū)域不斷擴(kuò)大，而彈性變形區(qū)域則因曲率的增大而不斷減小。

在實(shí)際冷繞過(guò)程中，外線由摩擦力產(chǎn)生軸向張緊而時(shí)刻處于拉直狀態(tài)，故除彎矩作用下的純彎曲，若考慮外線拉直狀態(tài)下所受的軸向力影響，其力學(xué)模型即為拉伸彎曲組合模型，如圖2所示。

圖2 拉伸彎曲組合變形下的力學(xué)模型

2 外線彈塑性彎曲及其應(yīng)力分析

2.1 外線彎曲變形的基本假設(shè)

為簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)上的運(yùn)算且在不影響外線彎曲的回彈分析基礎(chǔ)上，采用如下基本假設(shè)：①外線材料是各向同性且均勻的，不考慮各向異性的影響；②單向應(yīng)力假設(shè)，外線在彎曲過(guò)程中的軸向纖維之間沒(méi)有擠壓錯(cuò)位，橫截面上僅承受沿軸線方向的拉應(yīng)力或壓應(yīng)力；③平截面假設(shè)，外線彎曲前的橫截面變形后仍保持為平面，且和變形后的軸線正交；④外線采用理想彈塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變模型，且在使用范圍內(nèi)拉伸與壓縮曲線相同，如圖3所示；⑤不考慮外線在冷繞成形過(guò)程中產(chǎn)生的橫截面扁化、外壁拉裂和內(nèi)壁起皺影響；⑥成形外線卸載時(shí)遵循彈性卸載規(guī)律，且不會(huì)發(fā)生反向屈服。

圖3 理想彈塑性材料應(yīng)力－應(yīng)變曲線

2.2 外線彎曲成形的彈塑性分析

記外線半徑為ro，內(nèi)線半徑為ri，當(dāng)外線在彎矩與軸向力的共同作用下時(shí)，任意截面上的載荷均保持不變并只引起截面的軸向應(yīng)力。其中彎矩是造成外線彎曲變形的最主要因素，它使變形區(qū)的外側(cè)材料受到拉伸，在中性層上方截面產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力，內(nèi)側(cè)材料受到壓縮，在中性層下方截面產(chǎn)生軸向壓應(yīng)力。而軸向力始終垂直于彎曲后的橫截面，并且只產(chǎn)生軸向拉應(yīng)力作用，其結(jié)果使外線的上半截面拉應(yīng)力總是大于下半截面拉應(yīng)力，上側(cè)外緣較下側(cè)外緣也更快達(dá)到屈服，同時(shí)中性軸也將向下發(fā)生偏移。

起初彎矩和軸向力較小，整個(gè)截面不存在塑性屈服，截面彈性應(yīng)力呈三角形直線分布，可稱(chēng)為完全彈性應(yīng)力階段，如圖4a所示。隨著彎矩的逐漸增大，軸向力大小保持不變，由于上半截面的拉應(yīng)力比下半截面拉應(yīng)力大，故上半截面外層纖維應(yīng)力將首先達(dá)到屈服應(yīng)力并開(kāi)始進(jìn)入塑性階段，而下半截面仍處在彈性階段。上半截面應(yīng)力呈梯形折線分布，下半截面應(yīng)力呈三角形直線分布，并僅在上半截面外層出現(xiàn)塑性屈服區(qū)，可稱(chēng)為單邊彈塑性應(yīng)力階段，如圖4b所示。當(dāng)彎矩繼續(xù)增大，下半截面外層纖維應(yīng)力達(dá)到屈服應(yīng)力并進(jìn)入塑性階段時(shí)，上半截面的塑性區(qū)域不斷向內(nèi)層延伸擴(kuò)大，從而使截面內(nèi)外層都出現(xiàn)塑性屈服區(qū)，中性軸開(kāi)始向截面形心軸靠近，截面應(yīng)力呈梯形折線分布，可稱(chēng)為雙邊彈塑性應(yīng)力階段，如圖4c所示。圖4中，中性軸偏移截面形心軸的距離設(shè)為b，彈塑性交界面到中性軸的距離為μro（0≤μ≤1）。

2.3 雙邊彈塑性階段彎矩M 與彎曲半徑ρ的關(guān)系

圖4 彎曲成形三個(gè)階段的應(yīng)力分布

對(duì)于鋼材設(shè)計(jì)，一般不完全利用塑性的極限彎矩強(qiáng)度，而只考慮截面內(nèi)部分發(fā)展塑性［16］，故外線在最后的彎曲成形階段截面應(yīng)力多為雙邊彈塑性應(yīng)力分布。由圖4c、圖4d可知，其截面正應(yīng)力σ應(yīng)為

式中，σs為外線材料的屈服應(yīng)力；y為截面內(nèi)任一點(diǎn)到截面形心軸的垂直距離。

外線所受彎矩與截面正應(yīng)力的關(guān)系為

由圖4d可知，在外線截面上任取一平行z軸的微元矩形，由幾何關(guān)系可計(jì)算該微元面積為

在雙邊彈塑性階段，外線截面上所承受的彎矩由上側(cè)塑性區(qū)彎矩、中部彈性區(qū)彎矩和下側(cè)塑性區(qū)彎矩共同組成，將式（1）、式（3）代入式（2），分別計(jì)算三部分彎矩如下。

（1）上側(cè)塑性區(qū)彎矩為

對(duì)式（4）積分并整理可得

（2）中部彈性區(qū)彎矩為

對(duì)式（6）積分并整理可得

（3）下側(cè)塑性區(qū)彎矩為

對(duì)式（8）積分并整理可得

故整個(gè)截面的彎矩為

將式（5）、式（7）、式（9）代入式（10）并整理可得

式中，E為外線材料的彈性模量；F為外線受到的軸向力；ρ為中性層的彎曲半徑。

不同于完全彈性階段彎矩M與曲率（1／ρ）之間的簡(jiǎn)單線性關(guān)系，式（11）表明：彈塑性成形階段，在軸向力的影響下外線彎矩與曲率之間存在著復(fù)雜的非線性關(guān)系。

3 外線卸載回彈分析計(jì)算與控制

3.1 卸載回彈分析

外線冷繞完成后，將以加載彎矩M和軸向力F進(jìn)行卸載，這可看作是對(duì)外線施加一個(gè)反向加載彎矩M和反向軸向力F所產(chǎn)生的彈性彎曲效應(yīng)，但軸向力的彈性彎曲效應(yīng)不會(huì)影響彎曲回彈，僅有彎矩和回彈半徑服從彈性關(guān)系。

對(duì)于塑性成形階段，彎矩與彎曲半徑之間為非線性關(guān)系，故直接計(jì)算卸載彎矩存在一定困難。因外線所受軸向力僅由外線輪的摩擦力提供，其值很小幾乎不造成變形，故在不影響回彈分析的基礎(chǔ)上，令軸向力F＝0，此時(shí)外線冷繞的拉彎過(guò)程即為純彎過(guò)程，式（11）變?yōu)?/p>

式中，Me為外線材料的彈性極限彎矩；ρe為外線材料的彈性極限彎曲半徑。

顯然對(duì)于純彎過(guò)程，其塑性階段的彎矩與曲率之間仍為非線性關(guān)系。為便于進(jìn)一步討論，不妨令

卸載階段相對(duì)彎矩與曲率之間的關(guān)系與彈性階段相同：

圖5 彎矩－曲率曲線圖

將式（18）代入式（17），再按式（14）進(jìn)行換算后得

式中，ρ1為成形彎曲半徑；ρ2為殘余彎曲半徑。

3.2 鋸絲冷繞內(nèi)外線徑理論計(jì)算公式

鋸絲冷繞成形時(shí)，內(nèi)外線的幾何關(guān)系如圖2所示，將ρ1＝ro＋ri與ρ2＝r代入式（19）并化簡(jiǎn)可得到內(nèi)外線徑的理論計(jì)算公式如下：

式中，r為名義半徑，為鋸絲冷繞成形后的實(shí)際半徑與外線半徑之差。

3.3 鋸絲冷繞線徑計(jì)算及實(shí)驗(yàn)研究

以冷繞新型鋸絲為例，內(nèi)外線采用理想彈塑性體的超細(xì)彈簧鋼絲。 已知：內(nèi)線直徑為0.16mm，抗拉強(qiáng)度σb為2200MPa，外線直徑為0.08mm，抗拉強(qiáng)度σb為2400MPa，屈服強(qiáng)度σs＝0.9σb，彈性模量E＝2.06×105MPa，計(jì)算冷繞成形后鋸絲的名義直徑如下。

內(nèi)外線徑跨高比為 π（0.16＋0.08）／0.08＝9.42＞7，若整個(gè)冷繞過(guò)程中鋸絲無(wú)卸載回彈影響，則理論上成形后的實(shí)際直徑（圖1）應(yīng)為

式中，dr為實(shí)際繞后直徑；di為內(nèi)線直徑；do為外線直徑。

現(xiàn)考慮卸載回彈帶來(lái)的影響，將示例中的數(shù)據(jù)分別代入式（20）～式（22）中，各公式下計(jì)算的名義直徑及適用范圍列于表1中。

表1 計(jì)算結(jié)果 mm

由表1知，本例應(yīng)選用式（22）所計(jì)算的結(jié)果作為冷繞成形后鋸絲的名義直徑（0.254mm），則實(shí)際直徑應(yīng)為

相比理論計(jì)算直徑的0.32mm，由于回彈的存在，成形后的實(shí)際直徑增大了近5.8%。

為驗(yàn)證公式計(jì)算結(jié)果的可靠性，采用自行研制的JG-52C新型線鋸纏繞設(shè)備進(jìn)行鋸絲的冷繞成形實(shí)驗(yàn)，并應(yīng)用VW-6000／5000三維顯微系統(tǒng)進(jìn)行尺寸的觀察與測(cè)量，實(shí)驗(yàn)設(shè)備及觀測(cè)平臺(tái)如圖6所示。

圖6 冷繞實(shí)驗(yàn)設(shè)備及觀測(cè)平臺(tái)

為盡量減少由于實(shí)驗(yàn)所用內(nèi)外線本身的橢圓度及直徑誤差對(duì)觀測(cè)造成的影響，首先采用預(yù)繞張緊的方式來(lái)測(cè)量外線緊繞在內(nèi)線表面（無(wú)回彈）時(shí)的截面直徑尺寸，放大倍率設(shè)置為300倍，如圖7所示。

圖8為經(jīng)纏繞設(shè)備冷繞成形并已卸載回彈后鋸絲的實(shí)測(cè)直徑尺寸，放大倍率設(shè)置為300倍。

卸載回彈后鋸絲的實(shí)測(cè)直徑為333.89μm，而由公式計(jì)算所得直徑為334μm，誤差為0.03%。說(shuō)明采用公式計(jì)算回彈后的鋸絲直徑具有較高的可靠性，滿足工程上對(duì)精度的要求。可見(jiàn)，回彈的存在將直接影響鋸絲最后的成形精度。

圖7 實(shí)驗(yàn)內(nèi)外線尺寸觀測(cè)（×300）

圖8 卸載回彈后的鋸絲實(shí)測(cè)直徑尺寸（×300）

3.4 鋸絲冷繞成形回彈控制

通過(guò)上述分析，為保證鋸絲最后的成形精度，應(yīng)當(dāng)采取必要可行的措施來(lái)減小和控制回彈帶來(lái)的影響［18］：①在滿足成形鋸絲使用要求的條件下，外線盡量選取彈性模量大、屈服極限小的材料；②采用拉彎工藝［19］，加大軸向力使中性層內(nèi)外均處于拉應(yīng)力狀態(tài)，使得卸載后的部分回彈相互抵消；③鋸絲冷繞前可在內(nèi)線表面預(yù)先涂覆黏結(jié)劑，外線冷繞成形后再進(jìn)行相關(guān)的固化，從而將外線粘附在內(nèi)線表面；④對(duì)成形后的鋸絲進(jìn)行熱處理，以減小外線內(nèi)部的彎曲應(yīng)力等。

由于卸載回彈是鋸絲成形的最后一步，而成形過(guò)程中產(chǎn)生的任何誤差都會(huì)累積到回彈計(jì)算階段，因此有必要對(duì)其進(jìn)行更為深入的研究和有效的控制。

4 結(jié)論

（1）基于理想彈塑性材料本構(gòu)關(guān)系的彎曲理論，建立外線在拉彎組合下的力學(xué)模型進(jìn)行彎曲成形的彈塑性分析，按截面應(yīng)力分布將其成形過(guò)程劃分為完全彈性應(yīng)力、單邊彈塑性應(yīng)力及雙邊彈塑性應(yīng)力三個(gè)階段。針對(duì)雙邊彈塑性應(yīng)力階段建立了軸向力影響下彎矩與彎曲半徑之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。

（3）從材料和工藝兩個(gè)方面，提出了減小和控制鋸絲成形后回彈的四項(xiàng)措施，對(duì)新型鋸絲的生產(chǎn)具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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