于晉臣,張彩艷

(1.山東交通學(xué)院 理學(xué)院,山東 濟(jì)南 250357;2.山東電子職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250014)

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)從本質(zhì)上而言屬于動(dòng)力系統(tǒng)的范疇，數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式為微分方程或差分方程。在經(jīng)濟(jì)動(dòng)力學(xué)理論中，存在許多微分或差分動(dòng)力模型，諸如Cournot模型、Stacklberg模型以及Chamblin模型等?；谶@些模型，通過(guò)對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、周期以及混沌行為進(jìn)行深入研究，得出了一系列結(jié)果[1]。

三寡頭博弈是一種基本的寡頭博弈行為，對(duì)于典型的基于產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)的三寡頭博弈而言，各寡頭廠(chǎng)商同時(shí)做出產(chǎn)量決策，其Cournot解是唯一的Nash平衡點(diǎn)。在重復(fù)的三寡頭博弈中，各寡頭廠(chǎng)商均把獲取最大收益作為自己追求的目標(biāo)。三寡頭博弈與真實(shí)的市場(chǎng)博弈最接近，鑒于此，已有一些學(xué)者對(duì)三寡頭博弈的情形進(jìn)行研究[2-6]。其中，在各寡頭廠(chǎng)商均具有樸素預(yù)期的假定下，文獻(xiàn)[2]研究了一類(lèi)具有相同預(yù)期的三寡頭博弈模型，研究表明，該模型的動(dòng)力學(xué)行為非常復(fù)雜，出現(xiàn)了周期甚至混沌行為。文獻(xiàn)[3]將文獻(xiàn)[7]的Kopel雙寡頭博弈模型推廣到三寡頭情形，并研究了該模型的多穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[6]研究了電力市場(chǎng)上三寡頭博弈模型的復(fù)雜性。

本文研究的三寡頭博弈模型基于這樣的假定：2個(gè)寡頭廠(chǎng)商為有限理性預(yù)期，另1個(gè)寡頭廠(chǎng)商為自適應(yīng)預(yù)期，并且均生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品。這樣，由于市場(chǎng)容量有限，為防止競(jìng)爭(zhēng)而引起價(jià)格戰(zhàn)現(xiàn)象，寡頭廠(chǎng)商會(huì)理智的選擇聯(lián)合起來(lái)形成定價(jià)同盟，避免不必要的利潤(rùn)損失。因而，在價(jià)格相同的前提下，產(chǎn)量高的廠(chǎng)商可以通過(guò)產(chǎn)量?jī)?yōu)勢(shì)銷(xiāo)售更多的產(chǎn)品(買(mǎi)方需求很大，幾乎處于產(chǎn)多少要多少的狀態(tài))，從而獲取最大利潤(rùn)。顯然，若以產(chǎn)量和產(chǎn)量調(diào)整速度作為變量可以在某種程度上反映廠(chǎng)商的生產(chǎn)規(guī)模以及產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率。

考慮到現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中產(chǎn)量與成本費(fèi)用并非具有簡(jiǎn)單的線(xiàn)性關(guān)系，本文在非線(xiàn)性成本函數(shù)的基礎(chǔ)上建立產(chǎn)量博弈模型。各寡頭廠(chǎng)商實(shí)際上對(duì)市場(chǎng)的調(diào)節(jié)、反應(yīng)能力不同，故不同廠(chǎng)商的產(chǎn)量關(guān)系結(jié)構(gòu)也會(huì)有所區(qū)別。此外，寡頭廠(chǎng)商通常會(huì)有信息不對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，即使信息對(duì)稱(chēng)，對(duì)信息的處理能力也各不相同。因此，本文將非線(xiàn)性成本函數(shù)、線(xiàn)性逆需求函數(shù)和不同產(chǎn)量決策等因素引入到Cournot模型中，建立了三寡頭產(chǎn)量博弈模型，使得更加貼近真實(shí)寡頭競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)情況，并以此為基礎(chǔ)研究競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程中博弈的復(fù)雜性。

1 建模

考慮1個(gè)Cournot三寡頭博弈模型。qi表示廠(chǎng)商的產(chǎn)量，i=1,2,3。Q=q1+q2+q3為總供給量，則相同的線(xiàn)性逆需求函數(shù)為

p=f(Q)=a-bQ,

(1)

式中p為產(chǎn)品的市場(chǎng)出清價(jià)格；a，b為正常數(shù)。

廠(chǎng)商i二次可微的成本函數(shù)為

(2)

式中ci為正常數(shù)，與各企業(yè)技術(shù)水平成反比。

因此各企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為

(3)

由于假定Cournot三寡頭市場(chǎng)上的產(chǎn)品為同質(zhì)商品(可完全替代)，將式(1)，(2)代入式(3)中得到

這個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題有唯一解

現(xiàn)在假定寡頭廠(chǎng)商1和2均為有限理性，也就是說(shuō)，由于寡頭廠(chǎng)商對(duì)市場(chǎng)需求并不完全了解，其產(chǎn)量決策是一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，在每一階段t寡頭廠(chǎng)商都要對(duì)下一階段對(duì)手的產(chǎn)量做出一個(gè)預(yù)期來(lái)確定使收益最大化的下一階段的相應(yīng)產(chǎn)量。用qi(t)表示廠(chǎng)商在t階段時(shí)的產(chǎn)量，下一階段的產(chǎn)量qi(t+1)與t階段的邊際利潤(rùn)息息相關(guān)。若邊際利潤(rùn)為正(負(fù))，則將在下一階段增加(減少)產(chǎn)量，動(dòng)態(tài)方程為

式中 αi為正參數(shù)，表示廠(chǎng)商i的產(chǎn)量調(diào)整速度。

結(jié)合式(3)，可以得到有限理性寡頭廠(chǎng)商的動(dòng)態(tài)方程為

假定廠(chǎng)商3具有適應(yīng)性預(yù)期的能力，即下一階段的產(chǎn)量q3(t+1)是依據(jù)上一階段的產(chǎn)量q3(t)以及反應(yīng)函數(shù)r3(q1,q2)得出的，從而有

q3(t+1)=(1-v)q3(t)+v〔a-b(q1+q2)〕/〔2(b+c3)〕,

式中 v為廠(chǎng)商3的調(diào)整速度，v∈[0,1]。

這樣，得到的三寡頭博弈模型為

(4)

式(4)表明，廠(chǎng)商1和2進(jìn)行產(chǎn)量博弈時(shí)，都會(huì)根據(jù)各自上期邊際利潤(rùn)的情況進(jìn)行產(chǎn)量調(diào)整。廠(chǎng)商在t階段的邊際利潤(rùn)為正，則可通過(guò)在下一階段增加產(chǎn)量來(lái)提高利潤(rùn)，反之就要減少產(chǎn)量，不然的話(huà)利潤(rùn)就會(huì)下降。而廠(chǎng)商3由于采用適應(yīng)性預(yù)期，其調(diào)整產(chǎn)量的方式與其余2個(gè)廠(chǎng)商不同。從而，三寡頭廠(chǎng)商對(duì)產(chǎn)量的調(diào)整速度不可能完全相同，這樣就會(huì)影響寡頭廠(chǎng)商之間博弈的結(jié)果。所以，寡頭廠(chǎng)商對(duì)產(chǎn)量的調(diào)整速度，即α1,α2,v是影響產(chǎn)量博弈的主要因素。下面就針對(duì)α1,α2,v的變化對(duì)三寡頭動(dòng)態(tài)博弈過(guò)程的影響進(jìn)行研究。

2 Nash平衡點(diǎn)的存在性以及局部穩(wěn)定性分析

由于Nash平衡點(diǎn)對(duì)真實(shí)的市場(chǎng)博弈具有指導(dǎo)意義，因而，盡管式(4)的平衡點(diǎn)很多，本文僅考慮Nash平衡點(diǎn)的存在性以及穩(wěn)定性。

通過(guò)求解下面的非線(xiàn)性方程

為了討論方便，取a=10,b=1,c1=0.15,c2=0.2,c3=0.3,v=0.8，則此時(shí)的Nash平衡點(diǎn)為E*(2.474 6,2.297 8,2.010 6)。式(4)在E*的Jacobian矩陣為

故特征多項(xiàng)式為

f(λ)=λ3+Aλ2+Bλ+C,

式中 A=5.691 6α1+5.514 8α2-2.2，B=1.4-7.591 3α1-7.324 8α2+25.701 6α1α2，C=1.899 7α1+1.81α2-9.864 2α1α2-0.2。

從而，確定Nash平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性的計(jì)算式[8]為

(5)

因此，若固定v不變，則當(dāng)α1，a2的取值落在式(5)確定的區(qū)域時(shí)，Nash平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性不會(huì)變化。當(dāng)α1或α2的取值一旦超出穩(wěn)定域，系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定，并最終進(jìn)入混沌狀態(tài)。這反映出，在實(shí)際的市場(chǎng)博弈中，寡頭廠(chǎng)商尚未達(dá)到Nash平衡前，為了獲得更多的利潤(rùn)，會(huì)不斷地進(jìn)行產(chǎn)量博弈，即不斷調(diào)整各自的產(chǎn)量。經(jīng)過(guò)不斷的調(diào)整，當(dāng)處于Nash平衡時(shí)，若寡頭廠(chǎng)商對(duì)產(chǎn)量的調(diào)整速度不快，能落在穩(wěn)定域時(shí)，產(chǎn)量平穩(wěn)，市場(chǎng)穩(wěn)定。若任何一方產(chǎn)量調(diào)整速度過(guò)快，超出了穩(wěn)定區(qū)域，市場(chǎng)會(huì)處于波動(dòng)之中。尤其是系統(tǒng)進(jìn)入混沌初態(tài)時(shí)，市場(chǎng)會(huì)發(fā)生紊亂，陷入動(dòng)蕩之中，這時(shí)需要國(guó)家進(jìn)行宏觀調(diào)控來(lái)維護(hù)市場(chǎng)的穩(wěn)定。

顯然，若固定α1或α2不變，而對(duì)(α2,v)或(α1,v)進(jìn)行調(diào)整時(shí)，也有類(lèi)似的結(jié)論。

3 產(chǎn)量調(diào)整速度對(duì)穩(wěn)定性的影響

通過(guò)上述分析可知，只要寡頭廠(chǎng)商中的任何一方加快調(diào)整速度，使得參數(shù)取值超出穩(wěn)定區(qū)域，Nash平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性就會(huì)發(fā)生變化，進(jìn)而影響各廠(chǎng)商的總體利潤(rùn)。

圖1 α2=0.25,v=0.8時(shí),q2關(guān)于參數(shù)α1的分岔圖

為了更直觀的認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，下面采用數(shù)值仿真的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。首先對(duì)各參數(shù)賦初值：q1(1)=0.1,q2(1)=0.2,q3(1)=0.3,a=10,b=1,c1=0.15,c2=0.2,c3=0.3。

鑒于3個(gè)寡頭廠(chǎng)商的動(dòng)力學(xué)行為完全類(lèi)似，下面僅以寡頭廠(chǎng)商2為例來(lái)說(shuō)明整個(gè)動(dòng)態(tài)博弈過(guò)程。

固定寡頭廠(chǎng)商2的調(diào)整速度為α2=0.25，廠(chǎng)商3的調(diào)整速度為v=0.8。圖1顯示了隨著寡頭廠(chǎng)商1的產(chǎn)量調(diào)整速度α1的增大，廠(chǎng)商2的產(chǎn)量演化過(guò)程。

寡頭廠(chǎng)商2的產(chǎn)量q2隨著α1的增大，首先達(dá)到Nash平衡狀態(tài)(q2=2.297 8)，而后經(jīng)歷倍周期分岔過(guò)程最終進(jìn)入混沌狀態(tài)，呈現(xiàn)出了復(fù)雜而豐富的演化結(jié)果。觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α1<0.178時(shí)，Nash平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即三寡頭廠(chǎng)商的產(chǎn)量處于均衡狀態(tài)。隨著α1的增大，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生變化，寡頭廠(chǎng)商的產(chǎn)量出現(xiàn)了倍周期分岔現(xiàn)象。其中α1∈(0.178,0.313)，為產(chǎn)量波動(dòng)的2周期窗口，α1∈(0.313,0.331)為4周期窗口，α1∈(0.331,0.337)為產(chǎn)量波動(dòng)的8周期窗口，……，最終系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖2 α2=0.3,v=0.8時(shí),q2關(guān)于參數(shù)α1的分岔圖

固定寡頭廠(chǎng)商2的調(diào)整速度為α2=0.3，廠(chǎng)商3的調(diào)整速度為v=0.8。圖2顯示了寡頭廠(chǎng)商2隨著產(chǎn)量調(diào)整速度α1變化的分岔情形。

由圖2可知，從α1=0.07開(kāi)始，隨著α1的增大，產(chǎn)量曲線(xiàn)歷經(jīng)倍周期分岔過(guò)程最終走向混沌。結(jié)合圖1,2可以發(fā)現(xiàn)，α2取值不同，圖中分岔點(diǎn)的位置和分岔的形態(tài)都發(fā)生了變化。顯然，當(dāng)α2變大后，隨著α1繼續(xù)增大，寡頭廠(chǎng)商會(huì)加快進(jìn)入混沌狀態(tài)，即市場(chǎng)會(huì)加速處于紊亂狀況。

圖3 α2=0.25,v=0.95時(shí),q2關(guān)于參數(shù)α1的分岔圖

這個(gè)博弈過(guò)程中，分岔點(diǎn)左移，說(shuō)明在影響分岔點(diǎn)漂移方面，α1與α2有反向相依關(guān)系。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，增大α2后，寡頭廠(chǎng)商產(chǎn)量分岔的2周期窗口變長(zhǎng)，導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性質(zhì)發(fā)生變化。

固定寡頭廠(chǎng)商2的調(diào)整速度為α2=0.25，廠(chǎng)商3的調(diào)整速度為v=0.95。圖3顯示了寡頭廠(chǎng)商2隨著產(chǎn)量調(diào)整速度α1變化的分岔情形。

由圖3可知，增大v時(shí)，寡頭廠(chǎng)商仍會(huì)加快進(jìn)入混沌狀態(tài)。而且，也出現(xiàn)了分岔點(diǎn)漂移現(xiàn)象(向左)，因而，在影響分岔點(diǎn)漂移方面，α1與v也存在反向相依關(guān)系。

這就說(shuō)明，無(wú)論增大α2還是v，隨著α1的增大，寡頭廠(chǎng)商產(chǎn)量失穩(wěn)的現(xiàn)象都會(huì)提前出現(xiàn)，即市場(chǎng)會(huì)提前進(jìn)入波動(dòng)狀況。

4 系統(tǒng)的混沌行為分析

為了分析系統(tǒng)的混沌演化過(guò)程，下面分別從最大Lyapunov指數(shù)和奇異吸引子兩個(gè)方面予以說(shuō)明。

4.1 最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)表示平均每次迭代引起的指數(shù)分離中的指數(shù)，描述了相空間內(nèi)系統(tǒng)中相鄰軌道收斂或發(fā)散的平均水平。通過(guò)計(jì)算Lyapunov指數(shù)，可以從定量角度研究混沌系統(tǒng)。一個(gè)系統(tǒng)中往往存在多個(gè)Lyapunov指數(shù)，并不需要一一進(jìn)行計(jì)算，其中具有指標(biāo)意義的是最大Lyapunov指數(shù)。若最大Lyapunov指數(shù)為正，則說(shuō)明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；若最大Lyapunov指數(shù)為負(fù)，則說(shuō)明系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖4為固定α2=0.25，v=0.8時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)隨著α1增大時(shí)的變化情形。顯然，此時(shí)最大Lyapunov指數(shù)可以看作α1的函數(shù)。

從圖4中很容易觀察到0<α1<0.4時(shí)，系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性情形。當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)<0時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)=0時(shí)，說(shuō)明出現(xiàn)了分岔現(xiàn)象；當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)>0時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。

4.2 奇怪吸引子

當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)奇怪吸引子。如前文所述，隨著α1的增大，Nash平衡點(diǎn)失穩(wěn)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)離開(kāi)穩(wěn)定區(qū)域，并通過(guò)倍周期分岔，最終進(jìn)入混沌狀態(tài)。取a=10,b=1,c1=0.15，c2=0.2，c3=0.3，α1=0.36，α2=0.25，v=0.8，可以得到系統(tǒng)的相圖如圖5所示。

圖4 q2關(guān)于參數(shù)α1的分岔圖

圖5 系統(tǒng)的相圖

5 結(jié)論

本文建立了三寡頭博弈模型，分析了Nash平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并對(duì)博弈的過(guò)程進(jìn)行了數(shù)值模擬。結(jié)果表明，市場(chǎng)穩(wěn)定程度與產(chǎn)量調(diào)整速度呈反向變動(dòng)關(guān)系；從規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的角度考慮，均衡狀態(tài)是博弈各方都比較滿(mǎn)意的狀態(tài)。這就為真實(shí)市場(chǎng)中寡頭廠(chǎng)商的競(jìng)爭(zhēng)策略選擇和政府宏觀調(diào)控方式提供了借鑒。

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