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        規(guī)范精度維數(shù)及其收斂性

        2013-12-03 01:16:48魏麗娜盛中平
        關(guān)鍵詞:維數(shù)分形盒子

        賈 亮,魏麗娜,盛中平

        (東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長春 130024)

        1 分形的拼貼分解與拼貼逼近

        在分形幾何中,分形維數(shù)[1]是一般圖像的重要數(shù)字特征,應(yīng)用廣泛[2-9]. 對(duì)于非自相似的一般圖像,通常采用Hausdorff維數(shù)與盒維數(shù)刻畫. Hausdorff維數(shù)是基于可數(shù)覆蓋和測(cè)度而引入的,盒維數(shù)則是基于有限覆蓋和容度而引進(jìn)的. 因此,盒維數(shù)在實(shí)際估算中更方便可行,也是模式識(shí)別的數(shù)學(xué)工具之一[2-8].

        一般情況下,分形的拼貼分解與拼貼逼近由問題的實(shí)際背景確定.

        其中:Fi稱為分形F的第i個(gè)組合體;Ei稱為分形F的第i個(gè)逼近體. 也稱分形組合體Fi的逼近體為Ei.

        例如,記區(qū)間 [a,b]生成的三分Cantor集為F. 設(shè)

        E1=[a,a+(b-a)/3],E2=[a+2(b-a)/3,b],F1=F∩E1,F2=F∩E2,

        則F=F1∪F2為F拼貼分解,F≈E1∪E2為F拼貼逼近.

        若取基準(zhǔn)體F0=F,基準(zhǔn)逼近體E0=E1∪E2,則基本尺度L=b-a,基容數(shù)

        c=V/V0=Vol(E1∪E2)/Vol(E0)=1;

        若取基準(zhǔn)體F0=F1,基準(zhǔn)逼近體E0=E1,則基本尺度L=(b-a)/3,基容數(shù)

        c=V/V0=Vol(E1∪E2)/Vol(E0)=2.

        2 規(guī)范精度維數(shù)與校正精度維數(shù)

        盒維數(shù)的計(jì)算,通常利用某類盒覆蓋實(shí)現(xiàn). 如利用網(wǎng)方體覆蓋計(jì)算盒維數(shù)是一種最常用的方法. 下面先對(duì)盒覆蓋的盒長和盒子數(shù)進(jìn)行規(guī)范化處理.

        1)r=δ/L(關(guān)于基本尺度的相對(duì)盒長)稱為分形F關(guān)于盒覆蓋的微精度. 此時(shí),也稱該盒覆蓋為F的一個(gè)r-精度盒覆蓋;記基本尺度相對(duì)于盒長數(shù)為ν=L/δ,ν稱為分形F對(duì)于盒覆蓋的基線數(shù).

        2) 在以δ(≤L)為盒長的盒覆蓋下,記N為覆蓋分形F的最少盒子數(shù),N稱為F在r-精度盒覆蓋下的微盒數(shù);記Ni為覆蓋分形F的第i個(gè)組合體Fi的最少盒子數(shù),Ni稱為F在r-精度盒覆蓋下的第i個(gè)微盒數(shù);記N0為覆蓋分形基準(zhǔn)體F0的最少盒子數(shù),N0稱為F在r-精度盒覆蓋下的基盒數(shù);記F相對(duì)于F0的平均微盒數(shù)N*=N/c,N*稱為分形F在r-精度盒覆蓋下的規(guī)范微盒數(shù).

        對(duì)于三分Cantor集,可用其生成步驟中產(chǎn)生的閉區(qū)間作為盒覆蓋. 當(dāng)基準(zhǔn)體F0=F時(shí),取盒覆蓋的盒長δ=(b-a)/3k,則微精度r=δ/L=1/3k,基線數(shù)ν=L/δ=3k;基盒數(shù)N0=2k,微盒數(shù)N=2k;規(guī)范微盒數(shù)N*=N/c=2k. 當(dāng)基準(zhǔn)體F0=F1時(shí),取盒長δ=(b-a)/3k,則微精度r=δ/L=1/3k-1,基線數(shù)ν=L/δ=3k-1;基盒數(shù)N0=2k-1,微盒數(shù)N=2k;規(guī)范微盒數(shù)N*=N/c=2k-1.

        下面引入盒維數(shù)的兩種近似形式. 當(dāng)分形F存在盒維數(shù)(設(shè)為d)時(shí),記c0=N0/νd,c0稱為r-精度(r=1/ν)基自容數(shù). 進(jìn)而N0=c0νd. 由于基容數(shù)c可視為分形F包含基準(zhǔn)體F0的個(gè)數(shù),因此逼近分形F總的盒子數(shù)可以近似地視為cN0=cc0νd=cc0(L/δ)d=cc0r-d. 又在微盒數(shù)及拼貼逼近的意義下可知,總的盒子數(shù)即為微盒數(shù)N. 從而有N≈cN0=cc0νd=cc0(L/δ)d=cc0r-d,進(jìn)而可得

        N*=N/c≈N0=c0(L/δ)d,N*≈c0νd,N*≈c0r-d.

        于是lnN*≈lnc0-dlnr,因此

        d≈(lnN*-lnc0)/(-lnr)=lnN*/lnν-lnc0/lnν.

        特別地,當(dāng)r→0時(shí),ν→∞,而基自容數(shù)c0是常數(shù). 故當(dāng)r非常小時(shí)或者c0趨近于1時(shí),近似有d≈-lnN*/lnr=lnN*/lnν.

        當(dāng)微精度r不變時(shí),顯然基自容數(shù)c0=N0/νd=N0/r-d是只與分形的基準(zhǔn)體F0相關(guān)的常數(shù),從而lnc0/lnν也是僅與分形的基準(zhǔn)體F0相關(guān)的常數(shù). 當(dāng)做聚類分析時(shí),要用同一個(gè)基準(zhǔn)體(對(duì)于不同的分形),此時(shí)諸lnN*/lnν相當(dāng)于該相應(yīng)維數(shù)d的一個(gè)平行移動(dòng),即lnN*/lnν=d+lnc0/lnν. 因此,把維數(shù)lnN*/lnν作為聚類分析的一種特征(當(dāng)微精度r不變時(shí)),而且可以進(jìn)一步校正為lnN*/lnν-lnc0/lnν.

        1)dr(F)?-lnN*/lnr=(lnN-lnc)/(lnL-lnδ),dr=dr(F)稱為有界集F在該r-精度盒覆蓋下的r-精度維數(shù),也稱為規(guī)范精度維數(shù).

        3 規(guī)范精度維數(shù)的收斂性

        規(guī)范精度維數(shù)和校正精度維數(shù)都是與盒覆蓋和盒覆蓋精度相關(guān)的一種數(shù)字特征,二者均可用于快速分類. 在數(shù)值上,校正精度維數(shù)更接近于盒維數(shù),是盒維數(shù)很好的逼近.

        證明:已知給定 Rn中的集合F(有界集),用邊長為δ的空間網(wǎng)方體盒覆蓋,設(shè)其微盒數(shù)為N. 記F0的基容數(shù)為c(常數(shù)),基本尺度為L(常數(shù)),則微精度r=δ/L,規(guī)范盒數(shù)N*=N/c. 又因?yàn)?/p>

        當(dāng)分形存在盒維數(shù)時(shí),由盒維數(shù)的定義可得

        證畢.

        定理1表明,在規(guī)范精度維數(shù)中當(dāng)δ→0時(shí),lnc和lnL可忽略不計(jì),進(jìn)而得到盒維數(shù)的形式. 但在實(shí)際計(jì)算中,取極限是不能實(shí)現(xiàn)的,因此,規(guī)范盒維數(shù)中l(wèi)nc和lnL的影響不可忽略.

        [1] Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications [M]. New York: John Wiley &Sons,1990: 36-69.

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